第二节微积分的研究对象一一函数主要内容：函数、基本初等函数与复合函数
第二节 主要内容： 函数、基本初等函 数与复合函数 微积分的研究对象 函数
函数常量：1保持不变的量如常数1、一2、50、e、元变量：可以取不同值的量如 sinx 中的x, sinxIn(1+x)中的 x ,In(1+x)
常量：保持不变的量. 如常数 1、－2、50、 e 、π 变量：可以取不同值的量. ln(1+ x)中的 x ,ln(1+ x) 如 sinx 中的 x, sinx 一、函数
定义（传统定义）如果在变化过程中有两个变量x、y,在x某个变化范围X内的每一确定的值按照某个对应法则f，V都有唯一确定的值与它对应,那么就是x的函数.记作y=f(x)，称x为自变量，X是f的定义域,全体函数值的集合称作函数的值域
定义（传统定义） 如果在变化过程中有两个变 量x、y,在 x某个变化范围 X 内的每一确定的值, 按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的值与它 对应,那么 y 就是 x 的函数.记作y = f (x)，称 x 为 自变量, X 是 f 的定义域,全体函数值的集合称 作函数的值域
函数的定义表明了函数的结构。函数是由定义域对应法则、值域组成的.函数的模型如同一部机器，把X中任一原材料x输入f(x),就可产出实数y=f(x)
函数的定义 表明了函数的结 构. 函数是由定义域、 对应法则、值域组成 的. 函数的模型如同一部机 器，把X中任一原材料x输入 f (x),就可产出实数y = f (x)
定义域(x)y=f(D=[a,b)y=f(x),xEDy自变量因变量yoM(xo, yo)定义域是自变量所能取的，使算式有意义的一a切实数值。bx0X解析法、图像法、列表法对应规律的表示方法：
定义域 y f x x D = ( ), ( [ , ] ) D a b = 因变量 自变量 定义域是自变量所能 取的,使算式有意义的一 切实数值. y x y=f（x） 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法. O x0 0 y ( , ) 0 0 • M x y a b • •
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相等的，f(x)=/x4-x3, g(x)= x3/x-1.如如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同，那么这两个函数是不同的g(x) = /1-cos2 x如f(x) = sin x,实际上g(x)= /1-cos2 x = |sin xl
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相 同，那么这两个函数就是相等的. 如 3 4 3 f x x x ( ) , = − 3 g(x) = x x −1 如果两个函数定义域和对应法则二者有一个 不同，那么这两个函数是不同的. 2 如 f x x g x x ( ) sin ( ) 1 cos = = − ， 2 实际上 g x x x ( ) 1 cos sin . = − =
1例1设f(x)=求f(f(x)-1)1+x1可知，提示与分析：由函数表达式f(x)21+ x1左端表示该函数加工工艺为f（1+()2加工出的产品，右端表示加工器，要求f(f(x)-1)，就是将原材料f(x)-1输入函数，再将加工器进行加工，因此先求出f(x)-1，其结果输入到函数加工器中进行加工
2 1 1 ( ) ( ( ) 1). 1 f x f f x x = − + 例 设 ,求 2 2 1 ( ) 1 1 1 ( ( ) 1) ( ) 1 ( ) 1 . f x x f f f x f x f x = + = + − − − 由函数表达式 可知， 该函数加工工艺为（ ） ，左端表示 （） 加工出的产品，右端表示加工器，要求 ，就是将 提示与分 原材料 输入函数 加工器进行加工，因此先求出 ，再将 其结果输入到函数加工器中进 析 行加工 ：
1解f(x)-1:21+x1+x2xC1+x1x2. f(f(x)-1)=2"+x4H(1+x21+
2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 x f x x x − − − = − = + + 解 2 2 2 1 ( ( ) 1) 1 1 f f x x x − = + − + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 . 1 x x x + = + + 2 2 1 x x = − +
分段函数例2在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标富裕程度在定义域的不同区间上由不同的代数式来表示的函数称为分段函数绝对富裕比较富裕小康水平温饱贫困...70020100405060
分段函数 例2 在统计学上饮食消费占日常支出的比例 称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕 程度，也是国际通用的一项重要指标. x(%) 20 40 50 60 100 绝对富裕 比较富裕 小康水平 温饱 贫困 。 。 。 。 富裕程度 O 在定义域的不同区间上 由不同的代数式来表示的 函数称为分段函数
前例中的分段函数是不能用统一的代数式表示的函数.再如：sin xx± 0,f(x)=x=0,需注意：☆分段函数不可认为是若干函数的和也不是几个函数,而是一个函数.只是随着自变量x取不同范围的值,函数的表达式不同
sin 0 1 ) 0 ( x x x f x x = = ， ， ， ， 前例中的分段函数是不能用统一 的代数式表示的函数.再如: 需注意: ☆ 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数,而是一个函数.只是 随着自变量x 取不同范围的值,函数的 表达式不同