第二章一极限微积分的直接基础
第二章 微积分的直接基础——极限
第一节数列极限主要内容：数列及数列极限的概念
第一节 数列极限 主要内容： 数列及数列极限的概念
早在两于多年前，人们从生活、生产实际中产生了和素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺之，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进入了数学随之牛顿页（Newton、英国）和莱布尼茨（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的单程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步.经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极限”是微积分的基础
早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴 素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺 之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国 数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就 进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼茨 （Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发 明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞 生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个 时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪的 自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极 限”是微积分的基础
阿基里斯追龟iiZenon，约一位古希腊学者芝诺公元前496一约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上龟！
阿基里斯追龟 一位古希腊学者芝诺（Zenon，约 公元前496 — 约前429）曾提出一个著 名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟 素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追 不上乌龟！
假定阿基单斯现在A处，乌角现在B处.为了赶上乌角，阿基单斯先跑到乌角的出发点B，当他到达B点时，龟已前进到B,点；当他到达B,点时，乌龟又已前进到B,点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BABB1BuB2
A B B B1 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时， 乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到 B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是 永远追不上乌龟的！ B1 B2
让我们再看一看乌角所走过的路程：设阿基单斯的速度是乌龟的十倍，角在前面10米当阿基单斯跑了10米时，龟已前进了1米：当阿基里斯再追1米时，龟又前进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米..把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：10，1，0.1, 0.01,...，102-n,这称为数列，an=102-n为通项，数列常简记为(an]所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为110100aS=10+1+(米)10100910所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！
让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速 度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米 时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前 进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米.把阿基里 斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 10，1，0.1，0.01，.，102－n ，. 这称为数列，an ＝102－n为通项，数列常简记为 ｛ an ｝. 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 1 10 100 ( 1 9 1 1 10 a q = = = − − 米）. 所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以 追上乌龟！ 1 1 10 1 10 100 S = + + + +
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建丘之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战一列数:10,1,0.1， 0.01,...， 102-n，..称为数列.102-n为通项以下均为数列：工.2'4'82-1,1,-1,..,(-1)",...2,4,6,...,2n
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀 疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当 长时间内不得不把“无限”排除在数学之外. 直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论 建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战. : 1 1 1 1 , , , , , . 2 4 8 2 1,1, 1, ,( 1) , . 2,4,6, ,2 , . n n n − − − 以下均为数列 一列数： 10，1，0.1，0.01，.，102－n ，. 称为数列. 102－n为通项
问题的引入数列的极限在《庄子.天下篇》中有“截丈问题”的精彩论述：一尺之，日取其半，万世不竭初始长度为：1
一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 初始长度为：1 一、数列的极限（问题的引入）： 在《庄子·天下篇》 中有“截丈问题”的 精彩论述：
截丈问题：一尺之捶，日取其半，万世不竭第一天剩的长度为：1—2
第一天剩的长度为： 1 2 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭
截丈问题：一尺之捶，日取其半，万世不竭第二天剩的长度为22
第二天剩的长度为： 2 1 2 截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭