第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结思考题经济数学微积分
一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结 思考题 第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形1. F(x,y)= 0隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(xo,yo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo,Jo）=0,F,(xo,Jo)±0，则方程F(x,y)=0在点P(xo,Jo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件yo=f(x)，并Fdy有xFdx隐函数的求导公式T经济数学微积分
1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在 点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f (x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ， 并 有 d d x y y F x F = − . 隐函数的求导公式
例 1 验证方程x2 +y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时v=1的隐函数=f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值解 令 F(x,J)=x2+y2-l则 F =2x,F,=2y,F(0,1) = 0, ,F,(0,1)= 2 ± 0,依定理知方程x2+ y21=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时V=1的函数y= f(x).经济数学微积分
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数 y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．
函数的一阶和二阶导数为dyFdyx= 0,dxdxFyx=0yXd'yxydx?2-yVd'y=-1.dr?x=0经济数学微积分
函数的一阶和二阶导数为 d d x y y F x F = − , y x = − 0 d 0, d x y x = = 2 2 2 d d y y xy x y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 2 2 0 d 1. d x y x = = −
dyy求例 2 已知ln/x2+ y2=arctandxxy解 令 F(x,y)=ln /x2+y2-arctanxx+yy-x则 F(x,y)=F,(x,y)x? + y2x?+ y2Fdyx+yXFdxy-xJ微积分经济数学
例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求d d y x . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = d d x y y F x F = − . y x x y − + = −
2. F(x,y,z) = 0隐函数存在定理2设函数F(x,,z)在点P(xoyo,z)的某一邻域内有连续的偏导数，且F(xo,yo,zo)=0, F,(xo,yo,zo)± 0, 则方程F(x,y,z)=0在点P(xo,Jo,z)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z= f(x,y)，它满足条件zo= f(xo,yo),Faz.Faz.X并有axFayF7经济数学微积分
隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , F x0 y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 ) 0，则方程F(x, y, z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = − ， z y F F y z = − . 2. F(x, y,z) = 0
a?z求例3设x2+2+z2-4z=0,ax?解 令 F(x,y,z)=x2+2+z2-4z,FOzx则 F,=2x,F, =2z-4,XaxF2- zNOz.x(2 -z) + x(2 -z)+ xa?z2- zaxax?(2 - z)2(2 - z)2(2 - z) + x2(2 - z)3电经济数学微积分
例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z . 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x F F x z z x − = − = 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x − − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + =
Ozaxdy例4 设z=f(x++z，xyz)，求azaxayOz.思路：把z看成x,y的函数对x 求偏导数得axax把x看成z,的函数对y求偏导数得ayQy把y看成x,z的函数对 求偏导数得Oz解 令 u=x+y+z， v=xyz,则 z= f(u,v),经济数学微积分
例 4 设z = f ( x + y + z, xyz)，求 x z ， y x ， z y . 思路： 把z看成x, y 的函数对x 求偏导数得 x z ， 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 y x ， 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 z y . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v)
把z看成x,y的函数对x求偏导数得Ozaza7(1+ f,·(yz +xyt+ax1axaxOzfu + yzf整理得ax1- fu-xyf,把x看成z，V的函数对，求偏导数得ax+1) + f,(xz+ yzOO经济数学微积分
把z看成x, y的函数对x 求偏导数得 x z (1 ) x z f u = + ( ), x z f yz xy v + + 整理得 x z , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 0 ( + 1) = y x f u ( ), y x f xz yz v + +
axfu+xf整理得ayf. + yzf,把y看成x,z的函数对求偏导数得( + 1) + f, (xy + xzf.Oz.Oz.ay _ 1- fu-xyf,整理得OzJ. + xf,经济数学微积分
整理得 , u v u v f yzf f xzf + + = − y x 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 1 ( + 1) = z y f u ( ), z y f xy xz v + + 整理得 z y . 1 u v u v f xzf f xyf + − − =