第七节平面与空间直线平面及其方程一、二、空间直线及其方程三、小结思考题经济数学微积分
一、平面及其方程 二、空间直线及其方程 三、小结 思考题 第七节 平面与空间直线
一、平面(plane)及其方程(equation)2n平面的点法式方程M如果一非零向量垂直M于一平面，这向量就叫做Y0该平面的法线向量(normalvector)法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。已知 n=(A, B,C), M,(xo, Jo, zo),设平面上的任一点为 M(x,y,z)必有 M,Mln=M,M.n=0经济数学微积分
一、平面(plane)及其方程(equation) x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n A B C = ( , , ,) ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 n ( normal vector ) 平面的点法式方程
M,M=(x-X,y-yo,z-z(A(x -x)+ B(y - yo)+C(z - zo) = 0平面的点法式方程其中法向量n=(A,B,C)，已知点(xo，Jo,z)平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形，经济数学微积分
M M x x y y z z 0 0 0 0 = − − − ( , , ) A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上 的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的 方程，平面称为方程的图形． 其中法向量 n A B C = ( , , ,) 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
例 1 求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和C(0,2,3)的平面方程解AB=(-3, 4,-6)AC =(-2, 3,-1)取 n= AB×AC =(14, 9,-1)所求平面方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=014x+9y-z-15=0.化简得微积分经济数学
例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = − − ( 3, 4, 6) AC = − − ( 2, 3, 1) 取 n = AB AC = − (14, 9, 1 ,) 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0
例2求过点(1,1,1)，且垂直于平面x-y+z=7和3x+2y-12z+5=0的平面方程解n =(1,-1,1), n, =(3,2,-12)取法向量 n=n, ×n, =(10,15,5)所求平面方程为10(x -1) +15(y -1) + 5(z -1) = 0,化简得 2x+3y＋z-6=0.华经济数学微积分
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y −12z + 5 = 0的平面方程. ( ) 1 n = − 1, 1,1 , ( ) 2 n = − 3,2, 12 取法向量 n n1 n2 = = (10,15,5 , ) 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解
平面的一般方程由平面的点法式方程A(x-x,)+ B(y- yo)+C(z-zo)= 0=0= Ax + By+Cz -(Axo + Byo + Czo)DAx+By+Cz+D=0平面的一般方程法向量n=(A,B,C)经济数学微积分
由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n A B C = ( , , .) 平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点：(1) D = 0,D= 0,平面通过x轴；(2) A = 0,D≠0，平面平行于x轴；类似地可讨论B=0，C=0 情形(3)A=B=0，平面平行于xoy坐标面;类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形经济数学微积分
平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形
例3设平面过原点及点(6,3,2)，且与平面4x－+2z=8垂直，求此平面方程解 设平面为 Ax+By+Cz+D=0,由平面过原点知 D = 0,由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0: nl(4,-1,2),4A-B+2C=02C,A=B=3所求平面方程为2x+2y-3z = 0.经济数学微积分
例 3 设平面过原点及点(6,−3,2)，且与平面 4x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3,2)知 6A− 3B+ 2C = 0 n ⊥ − (4, 1,2 ,) 4A− B+ 2C = 0 , 3 2 A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2y − 3z = 0. 解
例 4设平面与x,J,z三轴分别交于P(a,0,0)Q(0,b,0)、R(0,0,c) (其中a±0,b0, c±0),求此平面方程解 设平面为Ax+By+Cz+D=0,aA+ D= 0,将三点坐标代入得^bB+D=0,cC+ D=0.DDDBC4bacC微积分经济数学
例 4 设平面与x, y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0）， 求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 将三点坐标代入得 + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D , a D A = − , b D B = − . c D C = − 解
DDD将A=B :CbaC代入所设方程得平面的截距式方程(intercept form)z轴上截距x轴上截距y轴上截距经济数学微积分
, a D A = − , b D B = − , c D 将 C = − 代入所设方程得 + + = 1 c z b y a x 平面的截距式方程 x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距 (intercept form)