第八节定积分的经济应用一、由边际函数求原函数二、由变化率求总量三、收益流的现值和将来值经济数学微积分
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 第八节 定积分的经济应用 三、收益流的现值和将来值
一、由边际函数求原函数25C'(x)= 7+例1已知边际成本为固定成本为1000，求总成本函数，解 C(x) =C(0)+ (C(x)dx25=1000 + (7 + -)dxVx= 1000 +[7x + 50/x]=1000+7x+50Vx微积分经济数学
一、由边际函数求原函数 25 C x( ) 7 x = + 0 ( ) (0) ( )d x C x C C x x = + 0 25 1000 (7 )d x x x = + + 例1 已知边际成本为 , 固定成本为1000,求总成本函数． x x x 0 = 1000+[7 + 50 ] = 1000 + 7x + 50 x 解
二、由变化率求总量例2 某工厂生产某商品在时刻t的总产量的变化率为x(t)=100+12t（单位/小时）。求t=2 到t=4 这两小时的总产量。解 Q=J,x'(t)dt=J’(100+12t)dt= [100 + 6t ] = 272.经济数学微积分
二、由变化率求总量 4 2 Q x t t = ( )d [100 6 ] 272. 4 2 2 = + t = 解 ( ) 4 2 100 2 d t t = ＋1 例2 某工厂生产某商品在时刻 的总产量的变 化率为 （单位∕小时）. 求 到 这两小时的总产量. t x'(t) = 100 +12t t = 2 t = 4
三、收益流的现值和将来值、收益流收益若是连续地获得，则收益被看作是一种随时间连续变化的收益流。收益流量收益流对时间的变化率，收益流将来值将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。收益流现值真收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。经济数学微积分
三、收益流的现值和将来值 收益若是连续地获得，则收益被 看作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流的现值是这样一笔款 项，若将它存入银行，将来从收益流中 获得的总收益，与包括利息在内的银行 存款值有相同的价值。 将收益流存入银行并加上 利息之后的存款值。 收益流对时间的变化率。 • 收益流 • 收益流量 • 收益流将来值 • 收益流现值
若有一笔收益流的收益流量为p(t)(元/年)考虑从现在开始t=0到T年后这一时间段的将来值和现值(以连续复利率计息分析 在区间[o,T内任取一小区间 [,t+dt],在[,t+ dt]内所获得的金额近似为 p(@)t,从t=0 开始,plt 这一金额是在 t 年后的将来获得,从而在[,t+ dt]内收益现值I ~[p(t)dt]e-r = p(t)e-"dt总 现 值 =f p(t)e-ndt.经济数学微积分
收益现值 总 现 值 [ ( )d ] ( ) d rt rt p t t e p t e t − − = 0 ( ) d . T rt p t e t − = ( )( ) ( ) 将来值和现值 (以连续复利率计息) 考虑从现在开始 到 年后这一时间段的 若有一笔收益流的收益流量为 元 年 . 0 / , t T p t = 分析 [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 获得 从而在 [ ]内 开始 这一金额是在 年后的将来 在 内所获得的金额近似为 从 在区间 内任取一小区间 t t dt t p t dt t t t dt p t dt T t t dt + = + + , , 0 , , , 0, ,
对于将来值，p(lt 在 T-t 年后获得利息从而在 [,t +dt]内收益流的将来值~[p(t)dt]er(T-t) : p(t)er(T-t)dt,p(t)er(T-t)dt.故，总的将来值一经济数学微积分
收益流的将来值 故，总的将来值 ( ) ( ) [ ( )d ] ( ) d r T t r T t p t t e p t e t − − = ， ( ) 0 ( ) d . T r T t p t e t − = ( ) 从而在 [ ]内 对于将来值 在 年后获得利息 t t dt p t dt T t + − , ,
例3假设以年连续复利率0.1计息，求收益流量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值，.20-0.1t dt解 100e现值：= 1000(1-e-2)~ 864.66;.20"100e0.1(20-t)dt将来值 =0= 1000e2(1-e-2)~ 6389.06.微积分经济数学
例3 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值. 解 现值 将来值 20 0.1 0 100 dt e t − = 1000(1 ) −2 = − e 864.66； 20 0.1(20 ) 0 100 dt e t − = 2 2 1000 (1 ) e e− = − 6389.06
四、小结·由边际函数求原函数由变化率求总量·收益流的现值和将来值经济数学微积分
四、 小结 •由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题设有一项计划现在（即t=0)需一项投入α（元），可[0,T]中的常数收益流量b（元)，若连续获得一项在复利的利率为，求收益的资本价值，经济数学微积分
思考题 设有一项计划现在(即 t = 0)需一项投入 a (元)，可 获得一项在 [0,T] 中的常数收益流量 b (元)，若连续 复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答b0df:a:0即收入的资本价值为(1一0.即T→8时，当收益流量是无限期时y = limT8经济数学微积分
0 (1 ) d rT T rt b e v be t a a r − − − = − = − 即收入的资本价值为 e a。 r b r T − − − (1 ) A r b e a r b v r T T = − = − − − → lim (1 ) 思考题解答 当收益流量是无限期时， 即T → 时