第四节定积分的换元法换元公式一、手二、小结思考题经济数学微积分
一、换元公式 二、小结 思考题 第四节 定积分的换元法
一、换元公式定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=β(t)在[α,β上是单值的且有连续导数；(3）当t在区间[α,β]上变化时，x=β(t)的值在[a,b]上变化， 且β(α)=a、(β)=b,则 有[~ f(x)dx = [ f[p(t)]p'(t)dt.经济数学微积分
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 ( )d [ ( )] ( )d b a f x x f t t t = . 一、换元公式
证 设F(x)是f(x)的一个原函数( f(x)dx = F(b)- F(a),Φ(t) = F[β(t)ldFdx@'(t)f(x)@'(t)= f[o(t)lp'(t)dtdx:. Φ(t)是f[p(t)]p'(t)的一个原函数f[p(t)lp(t)dt = Φ(β) -Φ(α),微积分经济数学
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， ( )d ( ) ( ), b a f x x F b F a = − (t) = F[(t)], d d ( ) d d F x t x t = = f (x)(t)= f [(t)](t), f t t t [ ( )] ( )d ( ) ( ), = − (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
p(α)=a、β(β)=b,Φ(β)-(α) = F[β(β)]- F[β(α)I= F(b)- F(a),(~ f(x)dx = F(b) - F(a) =Φ(β)-Φ(α)J, lo(t)o'(t)dt.注意当α>β时，换元公式仍成立仁微积分经济数学
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), ( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = − = ( ) − () f t t t [ ( )] ( )d . = 注意 当 时，换元公式仍成立
计算cos' xsinxdx.例1Jodt = -sin xdx,解 令 t=cosx,元t=0,x=0=t=1xU2元1cos x sin xdx0660经济数学微积分
例1 计算 2 5 0 cos sin d . x x x 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 5 0 cos sin d x x x 0 5 1 = − t t d 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt x x = −sin d
应用换元公式时应注意（一）：(1）用x=@(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变(2)求出f[(t)]p'(t)的一个原函数Φ(t)后，不必象计算不定积分那样再要把Φ（t）变换成原变量x的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入Φ(t)然后相减就行了（3）用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不换元，当然也就不存在换上下限的问题了。经济数学微积分
应用换元公式时应注意（一）: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不必 象计算不定积分那样再要把(t)变换成原变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代 入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变. （3） 用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不 换元，当然也就不存在换上下限的问题了
cos xsin xdx.计算又解例1Jo15cos' x sin xdx.解cos' x sinxdx0t = cosx1cos' xd(cos x)=-{'t'dt0元2￥6cos°x6Jo6经济数学微积分
又解例1 计算 2 5 0 cos sin d . x x x π 2 5 0 cos sin d x x x 解 ( ) π 2 5 0 = − cos d cos x x . 6 1 = π 2 5 0 cos sin d . x x x t = cos x 0 5 1 = − t t d 1 0 6 6 t = . 6 1 = π 2 6 0 1 cos 6 x = −
Isin' x -sin' xdx.例2计算f(x)= /sin' x-sin' x =|cos x(sinx)解(" /sin' x -sin' xdx- f" |cosx(sinx) dxJe cos x(sin x) dx-J cos x(sinx) dx23f (sinx) dsinx-f (sinx)i dsinx2422sin xSI55?匹2微积分经济数学
例2 计算 解 π 3 5 0 sin sin d . x x x − f x x x 3 5 ( ) = sin −sin ( )2 3 = cos x sin x π 3 5 0 − sin sin d x x x ( ) 3 π 2 0 = cos sin d x x x ( ) π 3 2 2 0 = cos sin d x x x ( ) 3 π 2 π 2 − cos sin d x x x ( ) π 3 2 2 0 = sin dsin x x ( ) 3 π 2 π 2 − sin dsin x x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =
3dx例3计算Je xJnx(1-Inx)3d(lnx)解原式：=Jk Jinx(1-Inx)33d/inxd(ln x)Jinx (1-Inx)/1-(/inx)2元: 2[arcsin(In x)]6经济数学微积分
例3 计算 解 3 4 d . ln (1 ln ) e e x x x x − 原式 3 4 d(ln ) ln (1 ln ) e e x x x = − 3 4 d(ln ) ln (1 ln ) e e x x x = − 3 4 2 d ln 2 1 ( ln ) e e x x = − 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 =
1adx.(a> 0)例4计算2-2x+ya解令x=asint,dx = acostdt,元x=0=t=0x=a=t2元acost2dt原式=(1asint+ a'(1-sin't)元costcost-sint2dtdt :1 +2 Jo0sint +costsint+cost1元元[in sin t + cos t]?42. 2C经济数学微积分
例4 计算 解 0 2 2 1 d . ( 0) a x a x a x + − 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, d cos d , x a t t = 原式 π 2 0 2 2 cos d sin (1 sin ) a t t a t a t = + − π 2 0 cos d sin cos t t t t = + π 2 0 1 cos sin 1 d 2 sin cos t t t t t − = + + 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 =