第四节函数的最大值和最小值及其在经济中的应用函数的最大值与最小值、二、经济应用问题举例三、小结思考题经济数学微积分
一、函数的最大值与最小值 二、经济应用问题举例 三、小结 思考题 第四节 函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用
一、函数的最大值与最小值经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题根据自变量的取值范围，分以下两种情况讨论。经济数学微积分
一、函数的最大值与最小值 经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最 低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最 大值或最小值问题． 根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论．
1：自标函数在闭区间连续由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，自标函数一定有最大值和最小值，具体求法步骤如下：第一步，求出有可能取得最值的点，包括使f(x)=0和f'(x)不存在的点，及区间端点.第二步，计算所求出的各点的函数值，比较其大小，选出最大值和最小值经济数学微积分
1．目标函数在闭区间连续 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下： 第一步，求出有可能取得最值的点，包括 使 f (x) = 0和 f (x)不存在的点，及区间端点． 第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值．
2.自标函数在开区间连续开区间的连续函数不一定有最大、最小值即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求出：若函数满足下列两个条件：（1）f(x)在开区间有且仅有最大（小）值；(2）f(x)在开区间只有一个可能取得极值的点;则可以断定这个极值点一定是函数的最大（小）值点。经济数学微积分
2．目标函数在开区间连续 开区间的连续函数不一定有最大、最小值． 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求 出．若函数满足下列两个条件： （1） f (x)在开区间有且仅有最大（小）值； （2） f (x)在开区间只有一个可能取得极值的点； 则可以断定这个极值点一定是函数的最大 （小）值点．
经济应用问题举例二、41.最大利润问题在经济学中，总收入成本都可以表示为产量O的函数，分别记为R(Q)和C(Q)则总利润L(Q)可表示为L(Q) = R(Q)-C(Q)为使总利润最大，须一阶导数等于dL(Q) _ d[R(Q) -C(Q)] 零，即dQdQ经济数学微积分
1. 最大利润问题 二、经济应用问题举例 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L Q L Q R Q C Q Q R Q C Q 则总利润 可表示为 = − 示为产量 的函数，分别记为 和 ， 在经济学中，总收入和总成本都可以表 0 ( ) ( ) ( ) = − = dQ d R Q C Q dQ dL Q 零，即 为使总利润最大，须令其一阶导数等于
dR(Q)dC(Q)dQdQdR(Q)dC(Q)表示边际成本表示边际收益dQdQ显然，为使总利润达到最大，还应有d'[R(Q)-C(Q)]< 0,(R"(Q)-C"(Q)<0)dq?d[c(Q)]12 (R(Q)即(R"(Q)<C"(Q))do?do?微积分经济数学
dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) = 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) 显然，为使总利润达到最大，还应有 0,( ( ) ( ) 0) ( ) ( ) 2 2 − − R Q C Q dQ d R Q C Q ,( ( ) ( )) ( ( )) ( ) 2 2 2 2 R Q C Q dQ d C Q dQ d R Q 即
例1某厂每批生产A商品X台的费用为C(X）=5X+200（万元），得到的收入为R(X）=10X-0.01X2（万元），问每批生产多少台，才能使利润最大？解：设利润为L(X),则L(X) = R(X)-C(X) = 5X - 0.01X2 - 200L'(X) = 5- 0.02X令L'(X)=0，解得X=250(台)，由于L"(X) = -0.02<0所以L(250)=425(万元)为极大值，也就是最值福经济数学微积分
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C(X) = 5X + 200(万 元)，得到的收入为 2 R(X) = 10X − 0.01X (万元)，问每批生 产多少台，才能使利润最大？ 解： 设利润为L(X),则 ( ) ( ) ( ) 5 0.01 200 2 L X = R X −C X = X − X − L(X) = 5 − 0.02X 令L(X) = 0，解得X = 250(台)，由于 L(X) = −0.02 0 所以L(250) = 425(万元)为极大值，也就是最大值
例2设某厂的成本函数为C(Q)=aQ°+bQ+，需求函数为Q=(d-P)/e，其中C(Q)为成本，Q 为需求量产量，P为价格，a，b，c，d，e均为正常数，且>b，求利润最大时的产量及最大利润解:由Q=(d-p)/e,得P=d-eQ,故得收益函数R(Q) = Q. P = Q(d -eQ)利润函数为L(Q) = R(Q) - C(Q)=(d -b)Q-(e+a)Q? -c吧经济数学微积分
例 2 设某厂的成本函数为 2 C Q aQ bQ c ( ) = + + ，需求函数为 Q = (d − P)/ e，其中C(Q)为成本，Q 为需求量产量，P 为价 格，a，b，c，d，e 均为正常数，且 d>b，求利润最大时的产量 及最大利润. 解： 由Q = (d − p)/ e,得P = d − eQ,故得收益函数 R(Q) = Q P = Q(d − eQ) 利润函数为 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L Q R Q C Q d b Q e a Q c = − = − − + −
L'(Q) = (d -b) - 2(e + a)O由L(Q) = 0,得唯一驻点Q=(d-b) /2(e+a)又L"=-2(e+a)<0,故Q = Q。 = (d -b) /2(e+a)时利润最大最大值为L(Q.) = L[(a - b) / 2(e + a)]= [(d -b)? / 4(e +a)]-经济数学微积分
L(Q) = (d − b) − 2(e + a)Q ( )/ 2( ) ( ) 0 Q0 d b e a L Q = − + = 得唯一驻点 由 ， 又L = −2(e + a) 0,故 时利润最大,最大值为 ( )/ 2( ) Q = Q0 = d − b e + a d b e a c L Q L a b e a = − + − = − + ( ) / 4( ) ( ) ( )/ 2( ) 2 0
例3假设某种商品的需求量Q是单价P（单位：元）的函数：Q=12000-80P；商品的总成本C是需求量的函数：C=25000+50Q，每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润解 L = (12000-80P)(P-2)-(25000 + 50Q)=-80P2 +16160P-649000L'(P) = -160P +16160令L'(P)=0得P=101且是唯一极值点，又因L"(101)=-160<0,故当P=101元时,L(P)有最大值，且最大值为L(101) =167080(元)经济数学微积分
例 3 假设某种商品的需求量Q 是单价 P (单位:元)的函数： Q = 12000 − 80P ；商品的总成本 C 是需求量的函数： C = 25000 + 50Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利 润最大的商品价格和最大利润. 解 L = (12000− 80P)(P − 2) −(25000+ 50Q) 80 16160 649000 2 = − P + P − L(P) = −160P +16160 令L(P) = 0得P = 101且是唯一极值点， 又因L(101) = −160 0,故当P = 101元时， (101) 167080( ) ( ) 元 有最大值，且最大值为 L = L P