第三节导数的应用函数的单调性二、函数的极值三、曲线的凹凸性与拐点四、é函数图形的描绘五、小结思考题经济数学微积分
一、函数的单调性 二、函数的极值 四、函数图形的描绘 第三节 导数的应用 三、曲线的凹凸性与拐点 五、小结 思考题
函数的单调性(monotonicity)单调性的判别法1.yV:By= f(x)y= f(x)B4bxx0a0久f(x)≤ 0f'(x)≥0定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内 f(x)>0，那末函数y= f(x)在[a,b]上单调增加(2)如果在(a,b)内 f'(x)< 0，那末函数y= f(x)在[a,b]上单调减少经济数学微积分
一、函数的单调性(monotonicity) x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) . 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 在 设函数 在 上连续，在 内可导 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 1．单调性的判别法
证 xi,X2 E (a,b),且 xi 0,则 f()>0,若在(a,b)内，f'(x)>0,: f(x2)>f(x)。 = f(x)在[a,b]上单调增加若在(a,b)内,f'(x)<0,则 f(é)<0,:. f(x2)< f(x). . y= f(x)在[a,b]上单调减少福微积分经济数学
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1 讨论函数y=e＊-x-1的单调性解 ： y'= e*-1. 又： D:(-oo,+o).3在(-80,0)内，'0,函数单调增加注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性经济数学微积分
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D:(−,+)
2．单调区间(monotonicalinterval)求法问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调。定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。方法：用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号经济数学微积分
2．单调区间(monotonical interval)求法 问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 内导数的符号 点来划分函数 的定义区间 然后判断区间 用方程 的根及 不存在的 f x f x = f x
例2 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间W解 D :(-00,+0).f(x) = 6x2 - 18x + 12= 6(x -1)(x - 2)0.51.52.52解方程f'(x)=0 得，x, =1,x,=2.当-800，： 在(-8,1]上单调增加:当10，：.在[2,+o0)上单调增加;单调区间为(-0,1]，[1,2]，[2,+),华经济数学微积分
例2 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3不确定函数 f(x)=/x2的单调区间解: D : (-80,+o),2.52f'(x) :(x±0)V33/反-2当x=0时,导数不存在当-00，：在[0,+8)上单调增加单调区间为(一80,0],[0,+),经济数学微积分
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意：区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性例如，y=x3，Jx==0，但在(-o0,+)上单调增加例4f(x)= x+ sinx, x e (-oo,+o)f'(x) =1+cosx ≥0解（等号仅在某些点成立！）所以f(x)=x+sin x在x E(-o0,+o)上单调增加化经济数学微积分
注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 例4 （等号仅在某些点成立！） f (x) = x + sin x, x(− ,+ ) 解 f (x) = 1 + cos x 0 所 以f (x) = x +sin x在x(−,+)上单调增加
3．利用单调性证明不等式例4 当x>0时,试证x>ln(1+x)成立x证 设f(x)=x-In(1+x), 则 f(x)=1+ x: f(x)在[0,+)上连续，且在(0,+o)可导,f'(x)>0,：:在[0,+)上单调增加；：f(0)=0,: 当x>0时， x-ln(1+x)>0，即 x>In(1+x).思路：构造函数使f(x)>f(a),(f(a)≥0)或(x)< f(a),(r(a)≤0)微积分经济数学
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 3．利用单调性证明不等式 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ( ) 0) , 0 f x f a f a f x f a f a 或 思路：构造函数，使 f x( ) [0, ) 在 + 上 连续，且在 (0, ) ( ) 0, + 可 导， f x
函数的极值(二extremum1．函数极值的定义yy=f(x)xax0xsxbX2X3x42L0Xo0xoxx经济数学微积分
二、函数的极值( extremum ) o x y a b y = f (x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 o x y o x y x0 0 x 1．函数极值的定义