第七节函数的微分微分的定义一、微分的几何意义二三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题经济数学微积分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 五、小结 思考题 第七节 函数的微分 四、微分在近似计算中的应用
一、 微分的定义(differential)1.实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量(Ar)设边长由x.变到x。+△x，XAXAr：正方形面积A= x°，.. △A = (x, + Ax)? - x?.2XoA=xoXAt= 2x。 : △x +(△x)?(1)(2)(1)：△x的线性函数且为△A的主要部分2：△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略经济数学微积分
一、微分的定义(differential) 1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如，设函数y=x在点x,处的改变量为△x时，求函数的改变量△yAy =(xo + Ax)3 - x)= 3x . Ax +3x (Ax) +(Ax)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x),既容易计算又是较好的近似值:. Ay ~ 3x Ax.问题：这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求？经济数学微积分
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2.定义设函数y= f(x)在某区间内有定义x及xo+△x在这区间内，如果Ay = f(xo + Ax) - f(xo) = A. △x + o(Ax)成立(其中A是与△x无关的常数)，则称函数y=f(x)在点x,可微，并且称A·△r为函数y=f(x)在点x,相应于自变量增量△r的微分记作dy x=x或df(xo)，即dy= A.Ax.X=X微分dy叫做函数增量△y的线性主部（微分的实质）经济数学微积分
2. 定义 d d ( ), d . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y f x y A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记作 = 或 即 = 在点 相应于自变量增量 的微分 在点 可微 并且称 为函数 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
由定义知：(1)dy是自变量的改变量△x的线性函数(2)Ay－dy=o(△x)是比△x高阶无穷小:(3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小Ay0(△x)→1 (△x →0),dyA.△r(4) A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关(5)当△x|很小时,Ay~dy (线性主部)。经济数学微积分
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; y y d A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)
3.可微(differentiable)的条件定理函数f(x)在点x,可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导，且A=f(x)证 (1)必要性主：f(x)在点x,可微Ayo(△r).. Ay = A . Ax + o(Ar),4ArAxAyo(△x)则 limA+ limA.AxAr-0AxAr-→>0即函数f(x)在点x,可导，且A=f'(x)微积分经济数学
3. 可微(differentiable)的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性：函数f(x)在点x,可导Ay即limf'(x),= f'(x)+α,Ar→0 △xAx从而 Ay = f'(x)·△xr + α·(△x),: α→0 (△x-→0)= f'(x)· Ar + o(Ar),：函数f(x)在点x,可微，且f(x)=A.可导台可微A= f'(xo).函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f'(x)Ax.2经济数学微积分
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), d ( ) . ( ) , dy df x y f x x y f x x = = 微分 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的
例1求函数y=x3当x=2，△x=0.02时的微分解 : dy=(x3)Ax = 3xAx.= 3xAx= 0.24.:. dyC|x=2x=2Ar=0.02Ax=0.02通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分记作dx，即dx=△x.dyf'(x):. dy = f'(x)dx.dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数．导数也叫"微商”经济数学微积分
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 d 3 == = = = xx xx y x x = 0.24. , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. ( ). dd f x xy = . " ". d d 该函数的导数 导数也叫 微商 即函数的微分 y与自变量的微分 x之商等于
二、微分的几何意义(geometrical meaning of the differential)yI几何意义：（如图）N当△y是曲线的纵0(Ar)Aydy坐标增量时，dyMy= f(x)Ar就是切线纵坐标a对应的增量。0xoXo +△xx当△x很小时，在点M的附近切线段MP可近似代替曲线段MN经济数学微积分
二、微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近 ( geometrical meaning of the differential )
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则dy = f'(x)dx求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分1.基本初等函数的微分公式d(x")= μxu-Idxd(C)= 0d(cos x) = -sin xdxd(sin x) = cos xdxd(tan x) = sec xdxd(cot x) = -csc2 xdxd(sec x) = sec x tanxdxd(csc x) = -cscxcot xdx经济数学微积分
三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x d(sec ) sec tan d d(csc ) csc cot d d(tan ) sec d d(cot ) csc d d(sin ) cos d d(cos ) sin d d( ) 0 d( ) d 2 2 1 = = − = = − = = − = = −