第四章中值定理与导数的应用习题课主要内容典型例题经济数学微积分
主要内容 典型例题 第四章 中值定理与导数的应用 习 题 课
一、主要内容洛必达法则0°,1°,80°型Cauchy令y=fs0型-0中值定理取对数8-8型0 .80型I-s-V8型F(x)= xf·g=81f(a) = f(b)LagrangeRolle导数的应用中值定理定理单调性，极值与最值n=0凹凸性，拐点，函数图形的描绘；Taylor常用的最值的经济应用中值定理泰勒公式经济数学微积分
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 最值的经济应用 导数的应用 一、主要内容
1.罗尔中值定理罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零即f()=0经济数学微积分
1. 罗尔中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
2.拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使等式f(b)- f(a) = f()(b-a) 成立.有限增量公式(0 <0<1)Ay = f'(x + x)· △x增量△y的精确表达式经济数学微积分
2. 拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式
推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那末f(x)在区间I上是一个常数3.柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使等式f(b)- f(a) -f'()成立.F()F(b)- F(a)经济数学微积分
3. 柯西中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
4.洛必达法则0X(1)型及=型未定式08定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则(2) 0 .80,80-0,0°,1°,80°型未定式关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型(g)(%) .注意：洛必达法则的使用条件经济数学微积分
4. 洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ⑴ 型及 型未定式 0 0 ⑵ 0, − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件
5.泰勒中值定理泰勒（Taylor）中值定理如果函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x一x)的一个n次多项式与一个余项R,(x)之和：f"(xo)f(x) = f(xo)+ f'(x)(x-x,)+2!X- x)" + R,(x)n!r(n+1) (3)其中R,(x)(x-x)n+1 (在x,与x之间)(n + 1)!经济数学微积分
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1) 阶的导数, 则 当 x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一个n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5. 泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式t3tt2n+12n+2(-1)sinx =3!5!(2n-1!2t!tot2ncosx=2!4!6!(2n)!ox?t+1In(1 + x)（-1）++0023n+111+x+x+...+x" +o(x")1-xm(m-1)(1+x)" =1+mx+X-2!m(m -1)...(m - n +1)r"n!馆经济数学微积分
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6.导数的应用(1)函数单调性的判定法定理设函数y= f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导1°如果在(a,b)内f'(x)>0,那末函数y= f(x)在[a,bl上单调增加;2°如果在(a,b)内 f'(x)<0,那末函数y= f(x)在[a,bl上单调减少经济数学微积分
6. 导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 内可导 设函数 在 上连续，在 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法定义 设函数,f(x)在区间(a,b)内有定义，x是(a,b)内的一个点如果存在着点x。的一个邻域,对于这邻域内的任何点x，除了点x外，f(x)f(x)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极小值经济数学微积分
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极小值 的任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 就 称 是函数 的一个极大值 的任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 (2) 函数的极值及其求法