第一节导数概念问题的提出二三导数的定义导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系五、小结思考题经济数学微积分
一、问题的提出 二、导数的定义 四、函数可导性与连续性的关系 五、小结 思考题 三、导数的几何意义 第一节 导数概念
问题的提出1.变速直线运动的瞬时速度问题考虑最简单的变速直线运动一一自由落体运动，如图，△t求t,时刻的瞬时速度,取一邻近于t,的时刻t,运动时间△t.ASs-sog平均速度√(to +t)2△tt-to当t→t,时，取极限得g(to +t)瞬时速度v=limgto2t-→>to经济数学微积分
一、问题的提出 1.变速直线运动的瞬时速度问题 0 t , t 求t 0时刻的瞬时速度 t 考虑最简单的变速直线运 动－－自由落体运动，如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s 平均速度 v = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) lim 0 0 + = → g v t t 瞬时速度 . 0 = gt
2.切线问题切线位置割线的极限位置605040302010.播放1.7522.252.751.251.52.5经济数学微积分
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
yy= f(x)如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线TcMC在点M处的切线:a极限位置即0x xxo设 M(xo, yo), N(x, y).MN-→0,ZNMT →0.y-yo -f(x)-f(xo)割线MN的斜率为tan@=x-Xox-xo沿曲线CN>M,x-→xo'f(x)- f(x)切线MT的斜率为 k=tanα=limx-→xox-xoC福经济数学微积分
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
3.经济问题设某产品的总成本W是产量x的函数W=W(x)x>0.求总成本W(x)关于产量x的变化率1. xo → xo +Ax, W(x)-→W(xo +Ax)2.x变化为x+△x时，总成本的变化W =W(x +△x)-W(xo);AW3.x到x。+△x之间总成本的平均变化率AxAW4.x.处总成本的变化率limAx-0Ax经济数学微积分
3.经济问题 ( ) ( ) . 0. 求总成本 关于产量 的变化率 设某产品的总成本 是产量 的函数 ， W x x x W x W W x = ( ) ( ) ( ) ( ) 4. lim . 3. 2. 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x W x x W x x x W W x x W x x x x x x x W x W x x x + = + − + → + → + → 处总成本的变化率 到 之间总成本的平均变化率 ； ； 变化为 时，总成本的变化 ， ；
导数的定义(derivative)1.函数在一点处的导数与导函数定义设函数=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在x.处取得增量△x（点x。+△x仍在该邻域内)时，因变量y相应地取得增量△y=f(x+△x)-f(x)；如果△y与△x之比当△x一→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数，记为yX=Xo经济数学微积分
二、导数的定义(derivative) ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在点 处的导数 记为 在点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如果 与 仍在该邻域内 时 因变量 相应地取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在点 的某个邻域内 1. 函数在一点处的导数与导函数
dydf(x)或X=x"x=Xodxdx2yf(x, + Ax)- f(x)lim即limX=XoAxAr-→0AxAr-→0f(x +h)- f(xo)f'(x)=lim其它形式hh-→0f(x)- f(xo)f'(xo)= limx-→xox-xo微积分经济数学
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , d d ( ) d d x x0 x x0 x f x x y = 或 = 即
关于导数的说明：★点导数是因变量在点x.处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度11★对于点x，如果当△x→0时比值8Ax此时函数= f(x)在x.处是不可导的，但是为了方便，也往往说函数y=f(x)在x点处的导数为无穷大，并记作f'(x)=80.★如果函数y=_f(x)在开区间I内的每点处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导经济数学微积分
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明： ★ 对于点 0 x ，如果当x → 0时比值 → x y ， 此时函数y = f (x)在 0 x 处是不可导的，但是为了方 便，也往往说函数y = f (x)在 0 x 点处的导数为无穷 大，并记作 f (x0 ) = ．
对于任一 x EI,都对应着 f(x)的一个确定的导数值f(x).这个f'(x)叫做函数 f(x)的dydf(x)或导函数.记作y,f'(x)dxdxf(x +△x)- f(x)即 y'= limAxAr-→>0f(x+h)- f(x)或 f(x)= limhh-→0在上式中虽然x可以取区间I内的任何数值。但在取极限的过程中，x是常量，△x是变量注意： 1. f'(x)= f'(x)x=xo微积分经济数学
. d d ( ) d d . , ( ), ( ). ( ) ( ) , ( ) x f x x y y f x f x f x f x x I f x 导函数 记作 或 的导数值 这个 叫做函数 的 对于任一 都对应着 的一个确定 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x = = ★ 在上式中虽然 x 可以取区间 I 内的任何数值 , 但在取极限的过程中, x 是常量 , ∆ x 是变量
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限函数.100755025123255075-100经济数学微积分
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