对称矩阵和正定矩阵（SymmetricMatricesandPositiveDefiniteMatrices)
对称矩阵和正定矩阵 (Symmetric Matrices and Positive Definite Matrices)
对称矩阵和正定矩阵（SymmetricMatricesandPositiveDefiniteMatrices)对称矩阵
对称矩阵和正定矩阵 (Symmetric Matrices and Positive Definite Matrices) 对称矩阵
上海师玩大学对称矩阵的回顾Shanghai Normal University我们称一个方阵是对称（Symmetric)的，如果其满足A=AT例197.下述矩阵都是对称的12325CCA23512354867492
对称矩阵的回顾 我们称一个方阵是对称 (Symmetric)的，如果其满足： A = A T 例 197. 下述矩阵都是对称的： " 1 2 2 4# , 1 2 3 2 4 5 3 5 4 , 1 2 3 4 2 4 5 6 3 5 1 7 4 6 7 8 492
对称矩阵的对角化？上海师烧大学Shanghai NormalUniversit让我们思考一下如果一个对称矩阵S可以对角化会发生什么？假设其可以对角化为S =XΛX-1那我们有：ST= (XAX-1)T= (XT)-1^TxT= (X)-1AxT= S = XAX-1一个理想的状况是XT=X-1，即XTX=I。事实上也正是如此，我们将证明对于对称矩阵1.特征值是实数。2.不同特征值的特征向量是正交的。493
对称矩阵的对角化？ 让我们思考一下如果一个对称矩阵 S 可以对角化会发生什么？假设其可以对角化为: S = XΛX−1 那我们有： S T = (XΛX−1 ) T = (X T ) −1Λ TX T = (X T ) −1ΛX T = S = XΛX−1 一个理想的状况是 X T = X −1，即X TX = I。事实上也正是如此，我们将证明对于对称矩阵： 1. 特征值是实数。 2. 不同特征值的特征向量是正交的。 493
特征值是实数！上海饰烧大学Shanghai Normal University我们将首先证明对于对称矩阵S，其特征值是实数。定理198所有实对称矩阵的特征值都是实数。我们还可以证明一个更强的版本定理199所有实对称矩阵的特征向量是实数，并且每个特征值都有一个对应的实特征向量。494
特征值是实数！ 我们将首先证明对于对称矩阵 S，其特征值是实数。 定理 198. 所有实对称矩阵的特征值都是实数。 我们还可以证明一个更强的版本： 定理 199. 所有实对称矩阵的特征向量是实数，并且每个特征值都有一个对应的实特征向量。 494
复数的一些复习上海饰境大学Shanghai Normal Universit令xEC，则我们有存在a,bER,使得：x=a+bi我们定义x的共轭复数（complexconjugate）为x=a-bi引理200.给定复数x,yEC，我们有：.如果x=0，则x=0.x+y=x+.xy =xy.495
复数的一些复习 令 x ∈ C，则我们有存在 a, b ∈ R, 使得： x = a + bi 我们定义 x 的共轭复数 (complex conjugate) 为： x¯ = a − bi 引理 200. 给定复数 x, y ∈ C，我们有： • 如果 xx¯ = 0，则 x = 0. • x + y = x¯ + y¯. • xy = x¯y¯. 495
共轭矩阵上海饰烧大筝Shanghai NormalUniversit定义201[共轭矩阵（ConjugateMatrix)]对于一个矩阵A，我们定义其共轭矩阵A为：A(i,i) =A(i,j)引理202令A是一个mxn的复矩阵1.对任意的入EC，我们有：入A=入A2.对任意的复向量xECn,我们有：Ax=Ax引理203令xECn，如果×xx=0,则x=0496
共轭矩阵 定义 201 [共轭矩阵 (Conjugate Matrix)]. 对于一个矩阵 A，我们定义其共轭矩阵 A¯ 为： A¯ (i, j) = A(i, j) 引理 202. 令 A 是一个 m × n 的复矩阵： 1. 对任意的 λ ∈ C，我们有：λA = ¯λA¯ . 2. 对任意的复向量 x ∈ C n, 我们有：Ax = A¯ x¯. 引理 203. 令 x ∈ C n，如果 x¯ T x = 0, 则 x = 0. 496
上海饰境大学特征值是实数的证明Shanghai Normal Universit定理199的证明.令S是n×n的实对称矩阵，入EC是S的特征值，xECn/[O]是入对应的特征向量。我们有：Sx= 入xS=x==(S是实对称的，从而ST=S）xTsx=xxx=x—()×=0口显然由于×≠0，从而×≠0，因此入一入=0，即入是实数。497
特征值是实数的证明 定理199的证明. 令 S 是 n × n 的实对称矩阵，λ ∈ C 是 S 的特征值，x ∈ C n \ {0} 是 λ 对应 的特征向量。我们有： Sx = λx =⇒S¯x¯ = ¯λx¯ =⇒x¯ TS¯T = ¯λx¯ T =⇒x¯ TS = ¯λx¯ T (S 是实对称的，从而 S¯T = S) =⇒x¯ TSx = ¯λx¯ T x =⇒λx¯ T x = ¯λx¯ T x =⇒(λ − ¯λ)x¯ T x = 0 显然由于 x 6= 0，从而 x¯ T x 6= 0，因此 λ − ¯λ = 0，即 λ 是实数。 497
特征向量是实向量的证明上海饰烧大筝Shanghai Normal University定理199的证明续。假设x=ai+bji，即：ai+b,iX1b11a+ibX=.an+bnibnXnan由于Sx=入x，我们有：Sx=S(a+ib) =入(a+ib)由于S是实对称矩阵，入是实数，我们有Sa=a.Sb=入b由于x≠0.a和b至少有一个是s的特征向量。口498
特征向量是实向量的证明 定理199的证明续. 假设 xj = aj + bji，即： x = x1 . . . xn = a1 + b1i . . . an + bni = a1 . . . an + i b1 . . . bn = a + ib 由于 Sx = λx，我们有： Sx = S(a + ib) = λ(a + ib) 由于 S 是实对称矩阵，λ 是实数，我们有： Sa = λa, Sb = λb 由于 x 6= 0，a 和 b 至少有一个是 S 的特征向量。 498
正交的特征向量上海饰境大学Shanghai Normal Universit定理204.对于一个实对称矩阵S，如果入1和入2是S的两个不同的特征值，x1和x2是入1和入2对应的特征向量，则x1和x2是正交的。证明.由假设我们有：Sx1=入1X1,SX2=入2X2从而：入1(X1 X2) = (X1X1) ·X2 =(Sx1) · X2 = (Sx1)x2 =x[sTx2= xSX2 = x(SX2) = x(入2X2) = X1 : (2X2) = 入2(X1 - X2)口由于入1≠入2，从而×1X2=0，即×1和×2是正交的。499
正交的特征向量 定理 204. 对于一个实对称矩阵 S，如果 λ1 和 λ2 是 S 的两个不同的特征值，x1 和 x2 是 λ1 和 λ2 对 应的特征向量，则 x1 和 x2 是正交的。 证明. 由假设我们有： Sx1 = λ1x1, Sx2 = λ2x2 从而： λ1(x1 · x2) = (λ1x1) · x2 = (Sx1) · x2 = (Sx1) T x2 = x T 1S T x2 = x T 1Sx2 = x T 1 (Sx2) = x T 1 (λ2x2) = x1 · (λ2x2) = λ2(x1 · x2) 由于 λ1 6= λ2，从而 x1 · x2 = 0，即 x1 和 x2 是正交的。 499