第六章Riemann积分g1Riemann可积如右图，考虑由直线a=a.y=b.y=0及曲线y=f(c)围成的曲边梯形为了计算它的面积，我们用若干小矩形面积之和去逼近：将[a,b]划分为π:a=20<a1<...<an=b第i个小梯形的面积可用f(s)△a近似逼近，其中E[i-1,],△a=-ri-1于是和f(si)·△r;表示曲边梯形ABCD的面积的近似值.我们期望当[a,b]i=1的划分越来越细时，这个近似值越来越接近所求面积我们用下式表示SABCD =,lim,Zf(S) Ari1元0台这里Il=max[Aai]如果上述极限存在，则记为f(r)dr一般地,设函数f(r)定义于区间[a,b],[a,b] 内有n+1个点依次为a=ro<1an=b,它们将[a,]分成n个小区间△,=[ri-1,ai],i=1,2,,n这些分点及闭子区间构成了[α,b的一个分割，记为π:a=ro<ai<...<an=b小区间△的长度为Ari=-i-1，并称元/ = max [Ar;)1<i<为分割元的模对于分割元，任取点sE△,=[i-1,ri],i=1,.,n.称f(s) -Arii=l为f在[a,]上的一个Riemann和或积分和1
)=N Riemann 5/ §1 Riemann :4 -|L, yz_ x = a, y = b, y = 0 ^%_ y = f(x) Q%% Eg, S `AC%\, Wy/?bug\Q's: k [a, b] W:S π : a = x0 f(x) ,u~$f [a, b], [a, b] { n+ 1 B)oS a = x0 < x1 < · · · < xn = b, Ck [a, b] : n Bb$f ∆i = [xi−1, xi ], i = 1, 2, · · · , n, c:)^ $fF [a, b] %nB:A, aS π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b b$f ∆i %.S ∆xi = xi − xi−1, Æ kπk = max 1≤i≤n {∆xi} S:A π %. 1~:A π, *&) ξi ∈ ∆i = [xi−1, xi ], i = 1, · · · , n. Xn i=1 f(ξi) · ∆xi S f [a, b] 0%nB Riemann QZ\:Q. 1
定义1(Riemann积分）设f如上，如果存在实数I.使得对>0.三8>0,对任何分割元，只要1元0,对[a,]的任意分割:a=o令=a-6-a),=0,.…,n，则此时元-b-<8,不等式成为n(6) -I<1, Vie[a+=l(b-a),a+(b-对于je{1,2,..n],我们如下取s，≠j2(b-a)si=a+2
*K 1 (Riemann 4.) 1 f -0, -M5> I, 6$1 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 1*R:A π, l kπk , [a, b] S\:$f, a, b : S\:\^\:0^. S (1) \:Q x %j XJ, _ Z b a f(x)dx = Z b a f(t)dt. (2) -M f [a, b] 0z\, \: Z b a f(x)dx :Rn(,%. *; 1 (:4'$ID7) / f(x) [a, b] 0z\, f [a, b] 0{q, 6). O? d1 f [a, b] 0z\, ky0%aP, a I S \:. & ε = 1, z, 1, ∃ δ > 0, 1 [a, b] %*t:A π : a = x0 n > b − a δ , xi = a + i n (b − a), i = 0, · · · , n, 4 kπk = b − a n < δ, &7S b − a n Xn i=1 f(ξ) − I < 1, ∀ ξi ∈ a + i − 1 n (b − a), a + i n (b − a) . 1~ j ∈ {1, 2, · · · , n}, W-\& ξi , i 6= j: ξi = a + i n (b − a) 2
令M=max0<i<n划成有如积估计1nf(5)-(1 + )n=1nEf(s)If(S))/ ≤-(1 + [zl)b-a计nL(n-1)-M +-(1 + [I)-a)i=ab-(b因为这所估计设于j=1,2,..·，n如们Caa立,故n(1 + (),If(r)/ ≤ (n - 1)M +Vre[a,b],h-(线f有界反例有界望数未必由下Dirichlet望数D(r）线为例子：设于一所是算，当S取[ci-1,ai]中无理数时，下是围为0,当S取[ri-1,ai]中有理数时，下是围为1.故下是围无极及（完整证明并作习题）根据定矩1来直接判上一所望数分否由下分非常右难曲.积面引度新曲式法来判上为模以积总假定f有界,并记M=supf(r),m=inf,f(r),设于rE[a,b]E[a,6]是算元:a=To<ai<..<an=b,记M; =inff(a),f(a),supmi=re[ri-1,r]zE[r,-1,r]S-Mi-Ari,miAri.S=i=1i=1wi = Mi - mi,3
M = max 0≤i≤n f a + i n (b − a) W{-\G`: Xn i=1 f(ξi) ≤ n b − a (1 + |I|) |f(ξj )| ≤ X i6=j f(ξi) + n b − a (1 + |z|) ≤ (n − 1) · M + n b − a (1 + |I|) (ξi = a + i n (b − a)) ∀ ξj ∈ a + j − 1 a (b − a), a + j a (b − a) . vS BG`1~ j = 1, 2, · · · , n - , H |f(x)| ≤ (n − 1)M + n b − a (1 + |I|), ∀ x ∈ [a, b], _ f {q. -Uz\. Dirichlet O> D(x) _S : 1~nB:A, ! ξi & [xi−1, xi ] X> 4, \:QS 0, ! ξi & [xi−1, xi ] {>4, \:QS 1. H\:QX]^ (N ÆÆ"YG). Dv,u 1 }m 0nBO>:;z\:9|%. \w.e%7 5} 0. S, q\ d, f {q, Æa M = sup x∈[a,b] f(x), m = inf x∈[a,b] f(x), 1~ :A π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, a Mi = sup x∈[xi−1,xi] f(x), mi = inf x∈[xi−1,xi] f(x), S = Xn i=1 Mi · ∆xi , s = Xn i=1 mi · ∆xi , ωi = Mi − mi , 3
我们称S为f关于元的Darboux上和，简称上和，也记为S(元）或S(元，f).而s称为Darboux下和，简称下和，也记S()或S(元，f)，称wi为f在[ci-1,cil上的振幅由定义,S-8=wiAri.=1习题wi=sup(lf(r)-f(y),ye[ri-1,ril)引理1对于一个确定的分割元，有f(s) -Arilsie[ri-1,ril,1 0,由上确界的定义，可选E[ri-1,ril，使得Ef(sa) > M-b-a此时,有nnEE(M,).Arif(s).△ri>>b-ai=1i=1nnEZu·AriArib-ai1i-1S-E这说明f(s) -Arilie[ri-1,ril,1 ≤i≤n>Ssup-1从而证明了第一个等式，第二个等式可同理证明，或考虑一f，然后利用前一个等式4
W S S f J~ π % Darboux 0Q, g0Q, maS S(π) Z S(π, f). 3 s S Darboux \Q, g\Q, ma S(π) Z S(π, f), ωi S f [xi−1, xi ] 0% 0, z0(q%,u, zj ξi ∈ [xi−1, xi ], 6$ f(ξi) > Mi − ε b − a 4, { Xn i=1 f(ξi) · ∆xi > Xn i=1 (Mi − ε b − a ) · ∆xi = Xn i=1 µi · ∆xi − ε b − a Xn i=1 ∆xi = S − ε ? sup (Xn i=1 f(ξi) · ∆xi |ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n ) ≥ S. 3 (nB&7. (4B&7zK, Zy −f, )Uy nB &7. 4
引理2设分割元是从元添加k个分点得到，则有S()≥S(元)≥ S()-(M -m) k /元ll,s()≤8()≤s(元) +(M -m) k . l元/l特别地，对于给定的分割增加新的分点时，下和不减，上和不增证明为了简单起见，就k=1证明。此时，设新添加的分点为，则必落在某个区间（k-1,k）内.由上和的定义nS()=M,Ari= M-Ark+MAri=1itkS(元)=M-(-k-1)+M(k-)+M·Ar详这里M及M"分别是f在[k-1,司]及[,a]上的上确界因为M≤MkM'≤Mk，从而0 ≤S()-S()=(M-M)(--1)+(M-M)(-)≤ (M -m) -(-ak-1)+(M -m) -(rk-)=(M-m)△rk≤ (M -m)/元ll-即S()≥ S(元)≥ S() -(M -m) 元ll同理可证s()≤ s()≥ S() -(M -m) Ill推论对于任意两个分割元1及π2，有S(元1)≤S(元2)证明用元1U元2表示将元1和π2的所有分点合并后得到的分割（重复的分点只取一次，则元1U元2既可以看成由元1添加分点而来，又可以看作从元2添加分点而来由引理2，有s()≤S(U2)≤S(1U2)≤S(2)5
L; 2 1:A π 0 : π Hc k B:)$#, { S(π) ≥ S(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · k · kπk, s(π) ≤ s(π 0 ) ≤ s(π) + (M − m) · k · kπk D ', 1~C,%:A ce%:)4, \Qh, 0Q . O? S g i, t k = 1 . 4, 1eHc%:)S x¯, x¯ B$f (xk−1, xk) . z0Q%,u, S(π) = Xn i=1 Mi · ∆xi = Mk · ∆xk + X i6=k Mi · ∆xi S(π 0 ) = M0 k · (¯x − xk−1) + M00 k (xk − x¯) +X i6=k Mi · ∆xi M0 k ^ M00 k : : f [xk−1, x¯] ^ [¯x, xk] 0%0(q. vS M0 k ≤ Mk, M00 k ≤ Mk, 3 0 ≤ S(π) − S(π 0 ) = (Mk − M0 k )(¯x − xk−1) + (Mk − M00 k )(xk − x¯) ≤ (M − m) · (¯x − xk−1) + (M − m) · (xk − x¯) = (M − m) · ∆xk ≤ (M − m)kπk. _ S(π) ≥ S(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · kπk. Kz s(π) ≤ s(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · kπk. E> 1~*tB:A π1 ^ π2, { S(π1) ≤ S(π2). O? y π1 ∪ π2 8k π1 Q π2 %B{:)SÆU$#%:A (=% :)&n), π1 ∪ π2 bzqxz π1 Hc:)3}, }zqx" π2 H c:)3}. zw 2, { s(π1) ≤ S(π1 ∪ π2) ≤ S(π1 ∪ π2) ≤ S(π2). 5
定理2(Darboux)limS(元)=inf S(),lim_s()=sups(π)1元/—0元-0证明根据定义，有下面的估计m(b -a) ≤S()≤M (b -a), m- (b -a)≤s(π)≤M.(b-a)因此infS(）和sups(）都存在V>0,由下确界的定义知，日分割元，使得S(π) 0,3[a,l的某个分割元,使得S(元) - 8(元) =Ewi-Ari<e.i=l6
*; 2 (Darboux) lim kπk→0 S(π) = inf π S(π), lim kπk→0 s(π) = sup π s(π). O? Dv,u, {\%G`: m(b − a) ≤ S(π) ≤ M · (b − a), m · (b − a) ≤ s(π) ≤ M · (b − a) v inf π S(π) Q sup π s(π) -. ∀ ε > 0, z\(q%,u, ∃ :A π 0 , 6$ S(π 0 ) f [a, b] 0{q, _ |f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ [a, b], q\Ij&e: (1) f [a, b] 0 Riemann z\. (2) f [a, b] 0%0\:Q\\:`&. (3) ∀ ε > 0, ∃ [a, b] %B:A π, 6$ S(π) − s(π) = Xn i=1 ωi · ∆xi < ε. 6
lim(4)7wi·Ari=0.1元-02i=1(5)Ve>0,>0,日[a,可的某个分割元,使得Ari0,日>0,当I元/0, >0,当元<时，nI -E<s() ≤f(Si) -△Ti≤S()<I +Ei=1即有Ef(3) - Ar = I.lim1元104i=1也就是说f在[a，]上可积，积分为I.7
(4) lim kπk→0 Xn i=1 ωi · ∆xi = 0. (5) ∀ε > 0, η > 0, ∃ [a, b] %B:A π, 6$ X wi≥ε ·∆xi 0, ∃ δ > 0, ! kπk 0, ∃ δ > 0, ! kπk < δ 4, I − ε < s(π) ≤ Xn i=1 f(ξi) · ∆xi ≤ S(π) < I + ε _{ lim kπk→0 Xn i=1 f(ξi) · ∆xi = I. mt:? f [a, b] 0z\, \:S I. 7
(2)→(3)：由定理2,此时lim (S(π) - s(π)) = inf S(π) - sups(元) = 01元/—0从而>0,日分割，使得S(元) - 8(元)0,n>0,由(4),存在分割元，使得u Am ei=1从而ne.Ari<Cwi-ri<e.ni=1wiZe即Aai<nwie8
(2) ⇒(3): z, 2, 4 lim kπk→0 (S(π) − s(π)) = inf π S(π) − sup π s(π) = 0 3 ∀ ε > 0, ∃ :A π, 6$ S(π) − s(π) 0, η > 0, z (4), :A π, 6$ Xn i=1 ωi · ∆xi < ε · η 3 ε · X ωi≥ε ∆xi ≤ Xn i=1 ωi · ∆xi < ε · η _ X ωi≥ε ∆xi < η. 8
(5)→(3)：V>0,由(5),存在[a,的分割元，使得eZAri0,由于f在[a,上可积,由定理3(4),日8>0,当元<积，w△r<e.取[α,β]的一个分割元"，使得元l<8.易见，可构必[a,]的-1分割元，使得元可元通过添加[a,6]-[α,β]中的分点得到，且元ll<,则EwiAri<Ewi-Ari<eT'T由定理3(3)知,于在[α,β]上可积(2)用定理3(3)很容易虑明，留作习题为如果f在[a,b]上可积，9里于们在有限个点不同值，则g亦可积且f(a)da = / g(a)da(习题),任否4（是时设算(1)分f在[a,]上越续则f在[a,b]上可积(2)分们在[a,b]中有限个点处不越续则于可积(3)分f为[a,b]上的单调函数，则f可积(4)分f,9在[a,]上可积，则fg在[a,b]上也可积(5) 设f 在[a,b] 上越续 在[α, ] 上可积,a≤(t) ≥b,Vt [α,P],则 fo在[Q,]上仍可积9
(5) ⇒(3): ∀ ε > 0, z (5), [a, b] %:A π, 6$ X ωi≥ ε 2(b−a) ∆xi (1) 1 [α, β] ⊂ [a, b], -M f [a, b] 0z\, f [α, β] 0mz\. (2) 1 c ∈ (a, b), -M f [a, c] ^ [c, b] 0-z\, f [a, b] 0z\. O? (1) ∀ ε > 0, z~ f [a, b] 0z\, z, 3(4), ∃ δ > 0, ! kπk , f z\. (4) / f, g [a, b] 0z\, f · g [a, b] 0mz\. (5) 1 f [a, b] 0i, ϕ [α, β] 0z\, a ≤ ϕ(t) ≥ b, ∀t ∈ [α, β], f ◦ ϕ [α, β] 0+z\. 9
证明（1)若f在[a.b]上连续则f在[a.bl上一致连续因此Vs>0.三s>0,使得当,y[a,bl],ly-al时f(y) -f(r)/0,n>0,设（k=1,*,m）为f的不连续点，取00,取[a,b] 的分割元,使得 1<70)-(0)+,则wiAri =Z(f(ri)-f(ri-1) -Ari-1i1e<Z(f(ri) - f(ai-1): (6) - f(a) +1i=1e= (f(rn) -f(ro): 于(6)-()+I= (6) - (a) 0)-(a)+1≤e由定理3(3)知可积10
O? (1) / f [a, b] 0i, f [a, b] 0ni. v, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 6$! x, y ∈ [a, b], |y − x| 0, η > 0, 1 x¯k (k = 1, · · · , m) S f % i), & 0 , 81 f +h, ∀ ε > 0, & [a, b] %:A π, 6$ kπk < ε f(b) − f(a) + 1, Xn i=1 ωi · ∆xi = Xn i=1 (f(xi) − f(xi−1)) · ∆xi < Xn i=1 (f(xi) − f(xi−1)) · ε f(b) − f(a) + 1 = (f(xn) − f(x0)) · ε f(b) − f(a) + 1 = (f(b) − f(a)) ε f(b) − f(a) + 1 ≤ ε z, 3(3) f z\. 10