第九章函数项级数在对函数作Taylor展开时，自然就出现了以函数为一般项的无穷级数，下面我们就来研究这种级数的敛散性81一致收敛设I为区间，gn(r))为I上一列函数如果存在I上函数g(r)使得lim 9n(ro) =g(ro), V zo E I,则称（gn）收敛于g，记为lim9n=g.例19n()=z",E(0,1).因为对任意固定的oE(0,1),均有lim a = 0,故lim9n=0.定义(一致收敛）如果任给ε>0,均存在与EI无关的正整数N=N(e)，使得当n>N时(*)Ign(α) -g(r)I <e, E I,则称（9n）在I上一致收敛于9，记为9n=9显然，一致收敛→收敛。一致性体现在（*）式对于充分大的n和任意均成立例1中（9n）不是一致收敛的（why?)，例2 设gn(a)=1+n[-1,1]讨论(on)的收敛性解当0<≤1时[el国1I9n(α) - 0| =[1+n2=2n=2n上式对=0也成立。因此{9n}在[-1,1]上一致收敛于0定理1设（9nl在区间I上一致收敛于9，如果9m均为连续函数，则g也是连续函数1
0?h 5T];T ,H=( Taylor s2, $&l_xH=Rvd%X W=. \ ÆW lxpk W=%-k. §1 `jRF 0 I R!\, {gn(x)} R I .vH=. +F I .H= g(x) 4$ limn→∞ gn(x0) = g(x0), ∀ x0 ∈ I, {gn} : g, YR limn→∞ gn = g. D 1 gn(x) = x n , x ∈ (0, 1). |R,(zB*% x0 ∈ (0, 1), r limn→∞ x n 0 = 0, @ limn→∞ gn = 0. 1c (`jRF) +F(; ε > 0, r x ∈ I XC%= N = N(ε), 4$! n > N 2 |gn(x) − g(x)| ! 0 < |x| ≤ 1 2 |gn(x) − 0| = |x| |1 + n2x 2 | ≤ |x| 2n|x| = 1 2n , .5, x = 0 u~. | {gn} [−1, 1] .v: 0. 1C 1 0 {gn} !\ I .v: g, +F gn rRmH=, g u 8mH=. 1
证明任取oEI.我们要证明g在o处连续任给>0.由一致收敛定义,3正整数N=N(e),使得n>N时0使得I9no(n)- gno(ro)0,日N=N(e)使得当m,n>N时I9m(α) -gn(r)[0,N=N(e),使得n>N时0-1Ifn+i(r)+...+fn+p(r)/<e, VEI, Vp≥1.sinnc例3讨论在[0,2元】上的收敛性质nn=12
iL (# x0 ∈ I, W t g x0 m. (; ε > 0, v:* {, ∃ = N = N(ε), 4$ n > N 2 |gn(x) − g(x)| 0 4$ |gn0 (x) − gn0 (x0)| g x0 8m%. v:*{v$+\ 1, B /UT` g %oGj5: (Cauchy mf) *{ I .%H= {gn} v: ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε), 4$! m, n > N 2 |gm(x) − gn(x)| 0, ∃ N = N(ε), 4$ n > N 2 |fn+1(x) + · · · + fn+p(x)| < ε, ∀ x ∈ I, ∀ p ≥ 1. D 3 C X∞ n=1 sin nx n [0, 2π] .%:k . 2
sinn均收敛.下面说明它则是一存解前一章已说明对E[0,2元]，7nn=1A,不收敛的.事实上，取n=4nsin [sin(n + 1)量[S2n(an)-Sn(an)n+12n1sinT>n2V22n由Cauchy准不知收敛则是一存的有时，函数项级数的收敛判别定可从数项级数的收敛判别定自到，例如：X(1)如敛Ifn(a)I≤an，而充项级数an收敛,不fn(a）一存收敛。称是n=1n=1因为Ifn+1(cr) +...+ fn+p(α)/≤an+1+...+an+p,利用Cauchy准不即可设级数bn(a)的展函和 Bn(a)=(2)(Dirichlet)讠bk(r）一存有界，即n=1k=1M>0,使自[Bn(r)I ≤M, VrEI, Vn.P并且对每个aEI,(an(a))理于n单调,an(a)=0,不级数an(a)bn(ar)在In=1上一存收敛(2)的出明只要照于数项级数大的相应出明即可设级数bn()在I上一存收敛，且对每个EI,(an(a))理(3) (Abel)n=100于n单调,且在I上一存有界,不级数an(r)bn(a)在I上一存收敛n=1(3）的出明仍然是Abel变换的运用（当意和数项级数的则同之处)：Jan+1(r)bn+1(a)+..+an+p(a)bn+p(r)/≤3sup|anl:sup [bn+1(r)+.+bn+k(r)l.1<k<pA例4 级数Z(-1)-1=在r[0,1]上一存收敛nn=]3
> vw>, ∀ x ∈ [0, 2π], X∞ n=1 sin nx n r:. \Æ>B 8v :%. 73., # xn = π 4n , |S2n(xn) − Sn(xn)| = sin(n + 1) π 4n n + 1 + · · · + sin π 2 2n ≥ n · sin π 4 2n = 1 2 √ 2 . Cauchy " : 8v%. 2, H=dW=%: 1v=dW=%: 1$#. }+: (1) +F |fn(x)| ≤ an, /dW= X∞ n=1 an :, X∞ n=1 fn(x) v:. 8 |R |fn+1(x) + · · · + fn+p(x)| ≤ an+1 + · · · + an+p, |~ Cauchy " Vv. (2) (Dirichlet) 0W= X∞ n=1 bn(x) %5I Bn(x) = Xn k=1 bk(x) ve, V ∃ M > 0, 4$ |Bn(x)| ≤ M, ∀ x ∈ I, ∀n. , : x ∈ I, {an(x)} C n ), an(x) ⇒ 0, W= X∞ n=1 an(x)bn(x) I .v:. (2) %t=dW= %b}Vv. (3) (Abel) 0W= X∞ n=1 bn(x) I .v:, , : x ∈ I, {an(x)} C n ), I .ve, W= X∞ n=1 an(x)bn(x) I .v:. (3) %)&8 Abel O%~ (!zI=dW=% M): |an+1(x)bn+1(x)+· · · +an+p(x)bn+p(x)| ≤ 3sup |an| · sup 1≤k≤p |bn+1(x)+· · · +bn+k(x)|. D 4 W= X∞ n=1 (−1)n−1 x n n x ∈ [0, 1] .v:. 3
证明 an(n)= 2n, bn(a)=(-1)n-11, bn(a) =(-1)"-1 关于一致n'n0-10-1收敛而[an(r))≤1,V.对固定的a,an(a)=a"关于n单调故由Abel判别法知原级数一致收敛0000命题2设fn(a)和gn(a)一致收敛，入,μER.则(Afn(a)+μo1n=1n=19n(r))也一致收敛，且X(Afn(a) +μ- gn(r) =). fn(ar)+μgn(a).n=1n=1n=1证明用一致收敛的定义即可定理3(Dini）设gn(a)为[a,句]上非负连续函数，且对每个aE[a,b],bn(r)关于n单调趋于0则9m=0.证明（反证法）如果9n则一致收敛于0,则致在ε0>0以及ni<n2<...<nk<..使得n(n)≥e0, =1,2,.其中anE[a,b]。因为[a,b]是闭区间，故通过进一步取子列，我们可以假设Enk-roE[a,b].任给m，当k正分大时9m(rn)≥gn(n)≥E0,在上式中令k→80，则由9m的连续性，有9m(ro) ≥60.因为m是任取的，令m→80，则得到lim_9m(ro)≥0,这和我们的假设相矛盾推论设fn(a）为非负函数项级数，如果此级数收敛于连续函数f，则n=1必一致收敛于f.证明考虑部分和Sn(a)及连续函数列f(r)-Sn(r),应用Dini定理即可4
iL an(x) = x n , bn(x) = (−1)n−1 1 n , X∞ n=1 bn(x) = X∞ n=1 (−1)n−1 1 n C x v :. / |an(x)| ≤ 1, ∀ x. ,B*% x, an(x) = x n C n ). @ Abel 1W=v:. MU 2 0 X∞ n=1 fn(x) I X∞ n=1 gn(x) v:, λ, µ ∈ R. X∞ n=1 (λfn(x) + µ · gn(x)) uv:, X∞ n=1 (λfn(x) + µ · gn(x)) = λ · X∞ n=1 fn(x) + µ · X∞ n=1 gn(x). iL ~v:%*{Vv. 1C 3 (Dini) 0 gn(x) R [a, b] .47mH=, , : x ∈ [a, b], bn(x) C n ) 0, gn ⇒ 0. iL (21) +F gn v: 0, ε0 > 0 xU n1 < n2 < · · · < nk < · · · , 4$ gnk (xnk ) ≥ ε0, k = 1, 2, · · · . xnk ∈ [a, b]. |R [a, b] 8!\, @LGhvÆ##, W vx[0 xnk → x0 ∈ [a, b]. (; m, ! k 5 2, gm(xnk ) ≥ gnk (xnk ) ≥ ε0, .5 k → ∞, gm %mk, gm(x0) ≥ ε0. |R m 8(#%, m → ∞, $# lim m→∞ gm(x0) ≥ ε0, IW %[0b -. WI 0 X∞ n=1 fn(x) R47H=dW=, +FW=:mH= f, v: f. iL u5I Sn(x) UmH= f(x) − Sn(x), }~ Dini *{Vv. 4
82求和与求导、积分的可交换性80给定收敛的函数项级数fn(a)=f()，我们下面关心的问题是能否逐项n=1求积分以及逐项求导定理1(1)设(gnl在[a,bl上一致收敛于g.如果9n均为Riemann可积函数，则g也是Riemann可积函数，且blimlim, gn(r)dr =g(a)drgn(r)dr=-(2)设fn(a)在[a,]上一致收敛于f.如果 fn均为Riemann可积函数则f也是Riemanm可积函数，且Efn(a)da =Z / fn(a)dr =f(r)dr证明只要证明（1）即可.我们仅就9n均为连续函数这一简单情形加以证明。此时g=lim9n也是连续函数。由一致收敛的条件知，V>0，存在N=N(e),使得n>N时gn() -g()[ <e, V [a,b],从而9n(r)dr-g(ar)da(gn(z) - g(r)da(gn(r) - g(μr)da(b -a)e这说明n(r)drg(r)dr.对于一般可积函数的情形的证明也是类似的注由证明可以看出，(2）中函数项级数还满足下面的一致收敛性 / fn(t)dt = / f()dt.5
§2 N6eN.92/A=8^ ;*:%H=dW= X∞ n=1 fn(x) = f(x), W \ÆCi%VF86 d S5xU d ". 1C 1 (1) 0 {gn} [a, b] .v: g. +F gn rR Riemann vS H=, g u8 Riemann vSH=, limn→∞ Z b a gn(x)dx = Z b a limn→∞ gn(x)dx = Z b a g(x)dx. (2) 0 X∞ n=1 fn(x) [a, b] .v: f. +F fn rR Riemann vSH=, f u8 Riemanm vSH=, X∞ n=1 Z b a fn(x)dx = Z b a X∞ n=1 fn(x)dx = Z b a f(x)dx. iL t (1) Vv. W gl gn rRmH=v] jZx . 2 g = limn→∞ gn u8mH=. v:%J_, ∀ ε > 0, N = N(ε), 4$ n > N 2 |gn(x) − g(x)| limn→∞ Z b a gn(x)dx = Z b a g(x)dx. ,vvSH=% j%u8y@%. l vxt, (2) H=dW=N %\Æ%v:k X∞ n=1 Z x a fn(t)dt ⇒ Z x a f(t)dt. 5
定理2设(fn(r)}在[a,b]上连续可微，且8(1) fn(a) 收敛;n=1(2)f(a)一致收敛于g()n=1则fn(a)在[a,b]上一致收敛,且n=1fn(r) ) =fh(a)= g(r)-n=1n=1证明月由微积分基本公式fr(t)dt.fn(a) = fn(a) +由条件(2)和上面的注记 f(t)dt = / g(t)dt.3-再由条件(1)即知2a) =X fn(a) +g(t)dt.n=1n=1从而g(t)dt fn(a) +fn(a)n=1(n=1g(r)Io0Efh(a).n=1注(1)中点α可换成区间中其它任何一点6
1C 2 0 {fn(x)} [a, b] .mvQ, (1) X∞ n=1 fn(a) :; (2) X∞ n=1 f 0 n (x) v: g(x) X∞ n=1 fn(x) [a, b] .v:, X∞ n=1 fn(x) !0 = X∞ n=1 f 0 n (x) = g(x). iL QS5R>5, fn(x) = fn(a) + Z x a f 0 n (t)dt. J_ (2) I.Æ%!Y, X∞ n=1 Z x a f 0 n (t)dt ⇒ Z x a g(t)dt. J_ (1) V X∞ n=1 fn(x) ⇒ X∞ n=1 fn(a) + Z x a g(t)dt. / X∞ n=1 fn(x) !0 = X∞ n=1 fn(a) + Z x a g(t)dt !0 = g(x) = X∞ n=1 f 0 n (x). l (1) ( a vO!\ B(Jv(. 6
83幂级数形如an(r-ro)n（anER）的函数项级数称为幂级数，在Taylor展开那n=f章中我们已遇到过这样的级数。为简单起见，一般讨论o=0的情形，一般情形作变量代换t=-o即可引理1（Abel）如果幂级数ana"在a=i(ri≠0）处收敛，则它在区n=0间2上发散0证明设an·收敛，则存在M>0使得n=0[anl≤M,Vn≥1,这说明p<M.三Clana"]=lan·a'].1r1n=0n=0n=08即当[国<[ri|时,an"绝对收敛.n=09注从证明可以看出，如果其ana"在=1（1≠0）处收敛，则对任何n=000闭区间IC（-ril,lril)，ana"在I上都是一致收敛的n=00定理2(Cauchy-Hadamard)对幂级数ana"，记n=0p = lim sup /anl2-则(1)p=0时，级数在（-80,8）处绝对收敛；(2)p=+oo时,级数仅在r=0处收敛：1(3) 0<p< +αo 时, 级数在 (--)中绝对收敛,在[-之外发散.此pppp时，称二为收敛半径P7
§3 K:S j+ X∞ n=0 an(x − x0) n (an ∈ R) %H=dW=R W=, Taylor s v W w#Gs%W=. R] ^, vC x0 = 0 % j, v j( O t = x − x0 Vv. dC 1 (Abel) +F W= X∞ n=0 anx n x = x1(x1 6= 0) :, B ! \ |x| |x2| .0-. iL 0 X∞ n=0 an · x n 1 :, M > 0 4$ |an · x n 1 | ≤ M, ∀n ≥ 1, > X∞ n=0 |anx n | = X∞ n=0 |an · x n 1 | · x x1 | n ≤ M · X∞ n=0 | x x1 | n , V! |x| < |x1| 2, X∞ n=0 anx n q,:. l vxt, +F X∞ n=0 anx n x = x1 (x1 6= 0) :, ,(J !\ I ⊂ (−|x1|, |x1|), X∞ n=0 anx n I .+8v:%. 1C 2 (Cauchy-Hadamard) , W= X∞ n=0 anx n , Y ρ = lim sup n→∞ pn |an|, (1) ρ = 0 2, W= (−∞,∞) q,:; (2) ρ = +∞ 2, W=g x = 0 :; (3) 0 < ρ < +∞ 2, W= (− 1 ρ , 1 ρ ) q,:, [− 1 p , 1 ρ ] O0-. 2, 1 ρ R:j. 7
证明因为limsuplan·an|=p-[cl,由数项级数的Cauchy判别法即得欲证结论证以（3）的后半部分为例（反证1法):设史[1，an收敛，则存在M>0使得ppn-1lanr"l≤MJan| ≤ M- [ri]-n-→lim sup //an/≤[i/-1 <p-n-→o这是矛盾！注（1)在=±p-1处级数的收敛性必须视情况具体讨论(2)0<p<+oo时,对任意闭区间I C（-p-1,p-1),幂级数均在I上一致收敛例1几何级数rn.其系数an=1,故p=1.在=±1处显然发散n=0例2级数禁/=1.因此在a=1处发散；在,an =→p=limsup n=in=-1处收敛(交错级数)X级数厂n·an·n-1和an·an收敛半径相同.事实上，如果例3n=0n=0limsupan|=p则lim sup (n + 1)[an+1/ =lim sup /an+1/ = p:因此收敛半径相同8定理3设幂级数an-a"收敛半径为R,则S(a)=an·an在(-R,R)n=0n=0内任意次可微，且s(k)(r) =n(n-1)(n-k+1).an.an-kn=A8
iL |R lim sup n→∞ pn |an · x n| = ρ · |x|, =dW=% Cauchy 1V$d. x (3) %L5R} (2 1): 0 x1 6∈ [− 1 ρ , 1 ρ ], X∞ n=1 anx n 1 :, M > 0 4$ |anx n 1 | ≤ M ⇒ |an| ≤ M · |x1| −n ⇒ lim sup n→∞ pn |an| ≤ |x1| −1 < ρ. 8 -! l (1) x = ±ρ −1 W=%:kl9 woGC. (2) 0 < ρ < +∞ 2, ,(z!\ I ⊂ (−ρ −1 , ρ−1 ), W=r I .v: . D 1 XJW= X∞ n=0 x n . [= an = 1, @ ρ = 1. x = ±1 ^&0-. D 2 W= X∞ n=1 x n n , an = 1 n ⇒ ρ = lim sup n→∞ n q 1 n = 1. | x = 1 0-; x = −1 : (a W=). D 3 W= X∞ n=0 n · an · x n−1 I X∞ n=0 an · x n :jbM. 73., +F lim sup n→∞ pn |an| = ρ, lim sup n→∞ pn (n + 1)|an+1| = lim sup n→∞ pn |an+1| = ρ, |:jbM. 1C 3 0 W= X∞ n=0 an ·x n :jR R, S(x) = X∞ n=0 an ·x n (−R, R) (zvQ, S (k) (x) = X∞ n=k n(n − 1) · (n − k + 1) · an · x n−k . 8
00+(an·r")=n·anan-1的收敛半证明以k=1为例首先，则级数n=0n=18径仍为R,故它在闭区间IC（-R,R)这一致收敛。由致节定理2anz"在In=0这可微，且00an rnE(ana")'=-n·an an-n=0n=1对于S(r）的高阶可微性其证明和上面完全类似例别地，S(n)(O)=n!·an，这说明S()的Taylor展开就是该则级数数本定例4求飞兴之和inn=i解在(-1,1)这,有(2)-2-n-Grn1=0+>-dt =-In(1- r), r E(-1,1)LJo1-tn-1注意到上式在=-1处也成立，这不是证然的现象80设则级数an·r"的收敛半径为R(0an·anZan(-R)n2→R+n=0n=080证明如果an·R"收敛，则n=089ZEan·R"(an.rnRn=0n=09
iL x k = 1 R}. ;], W= X∞ n=0 (an · x n ) 0 = X∞ n=1 n · an · x n−1 %: j)R R, @B !\ I ⊂ (−R, R) v:. c*{ 2, X∞ n=0 anx n I vQ, X∞ n=0 an · x n !0 = X∞ n=0 (anx n ) 0 = X∞ n=1 n · an · x n−1 . , S(x) %9bvQkI.ÆP$y@. D ', S (n) (0) = n! · an, > S(x) % Taylor sl88 W==1. D 4 X∞ n=1 x n n I. > (−1, 1) , X∞ n=1 x n n !0 = X∞ n=1 x n−1 = 1 1 − x ⇒ X∞ n=1 x n n = 0 + Z x 0 1 1 − t dt = − ln(1 − x), x ∈ (−1, 1). !z#.5 x = −1 u~, 8&%_e. 1C 4 (Abel E_^1C) 0 W= X∞ n=0 an ·x n %:jR R (0 < R < +∞). +F X∞ n=0 anR n :, lim x→R− X∞ n=0 an · x n = X∞ n=0 an · R n ; +F X∞ n=0 an(−R) n :, lim x→R+ X∞ n=0 an · x n = X∞ n=0 an(−R) n . iL +F X∞ n=0 an · R n :, X∞ n=0 an · x n = X∞ n=0 an · R n ( x R ) n 9
X在[0, R) 上, I(≤)"|≤ 1,且 ()n 关于 n 单调。由 Abel 判别法知anan在n=0[0,R]上一致级敛,其和函数S(a在[0,R]上连续,因此80anRn = S(R) = lim_ S(a) = lim. )annr-→Ra-→R-n=0n=0关于-R的证展完全类似(或考虑an=（-1)n.an)例5求级数亡之和n=12m00解考虑则级数na"，其级敛半径为（-1,1)，且在（-1,1)这n=1880XAT.T(an)=r=-r.nsn:n=1n=1n=1从而XnrZ= 2.2n(1 - 2)2n二例6求级数-1"之和n= 3n + 18023n+11)n解考虑则级数 S(r)=其级敛半径为1,且r=1时级数3n+1n=0级敛，故Slim s(a),n=0 3n + 1在(-1,1)这,由于S(0)=08V23n+111-1)ng3mS'(c) =113n+11 + 23n=0n=0故由微积分基本公式Sdtdt(log 2 +limS(r)=lim-1+t31 + t33n+1/100-010
[0, R] ., |( x R ) n | ≤ 1, ( x R ) n C n ). Abel 1 X∞ n=0 anx n [0, R] .v:, IH= S(x) [0, R] .m, | X∞ n=0 anR n = S(R) = lim x→R− S(x) = lim x→R− X∞ n=0 anx n . C −R %P$y@ (Qu a˜n = (−1)n · an). D 5 W= X∞ n=1 n 2 n I. > u W= X∞ n=1 nxn , :jR (−1, 1), (−1, 1) X∞ n=1 n · x n = x · X∞ n=1 n · x n−1 = x · X∞ n=1 (x n ) 0 = x · X∞ n=1 x n !0 = x( 1 1 − x ) 0 = x (1 − x) 2 / X∞ n=1 n 2 n = x (1 − x) 2 x= 1 2 = 2. D 6 W= X∞ n=0 (−1)n 3n + 1 I. > u W= S(x) = X∞ n=0 (−1)n x 3n+1 3n + 1 , :jR 1, x = 1 2W= :, @ X∞ n=0 (−1)n 3n + 1 = lim x→1− S(x), (−1, 1) , S(0) = 0, S 0 (x) = X∞ n=0 (−1)n · ( x 3n+1 3n + 1 ) 0 = X∞ n=0 (−1)nx 3n 1 1 + x 3 @QS5R>5, X∞ n=0 (−1)n 3n + 1 = lim x→1− S(x) = lim x→1− Z x 0 dt 1 + t 3 = Z 1 0 dt 1 + t 3 = 1 3 (log 2 + π √ 3 ). 10