正交和投影（OrthogonalityandProjection）
正交和投影 (Orthogonality and Projection)
正交和投影（OrthogonalityandProjection正交性
正交和投影 (Orthogonality and Projection) 正交性
上海饰境大学Ax=0的解与行空间AShanghai Normal University我们来从几何的角度来看Ax=0的解。记矩阵A的形式如下[a]]A=.::Lam则每个a可以视作一个nx1的矩阵，即ailai=+[ain]则对于任意x=ER有Ax=0aux1+..+ainxn=0对于任—ie[m]对于任一iE[m]ai·x=0.即x与ai都是垂直(正交)的。一对于任一iE[m]a,x=0283
Ax = 0 的解与行空间 A 我们来从几何的角度来看 Ax = 0 的解。记矩阵 A 的形式如下： A = a T 1 . . . a T m 则每个 ai 可以视作一个 n × 1 的矩阵，即： ai = ai1 . . . ain 则对于任意 x = h x1 · · · xn iT ∈ R n 有： Ax = 0 ⇐⇒ ai1x1 + · · · + ainxn = 0 对于任一 i ∈ [m] ⇐⇒ 对于任一 i ∈ [m] ai · x = 0，即 x 与 ai 都是垂直 (正交)的。 ⇐⇒ 对于任一 i ∈ [m] a T ix = 0 283
上海饰境大学Ax0的解的几何性质（）Shanghai Normal University定理131.给定一个矩阵A，其行空间C(AI)和零空间N(A)是正交的（orthogonal)，即对于任意的uEC(A和vEN(A）我们都有：u.V=uv=0特别的，其逆命题也是成立的，即如果存在ER"满足v与C(AT）中的任何一个u都是垂直的，则AV=O,即:VEN(A)284
Ax = 0 的解的几何性质 (I) 定理 131. 给定一个矩阵 A，其行空间 C(AT ) 和零空间 N(A) 是正交的 (orthogonal)，即对于任意 的 u ∈ C(AT ) 和 v ∈ N(A)，我们都有： u · v = u T v = 0 特别的，其逆命题也是成立的，即如果存在 v ∈ R n 满足 v 与 C(AT ) 中的任何一个 u 都 是垂直的，则： Av = 0, 即：v ∈ N(A) 284
上海饰烧大筝Ax=0的解的几何性质（I）Shanghai Normal Universit定理131的证明.记A是之前的形式alA :Lam]则uEC(AT)等价于存在c：ERm使得：u=Ciai+...+Cmam=A'c从而对于任意VEN(A)有：u.V=uV=(A'c)Tc=AV=cO=0口285
Ax = 0 的解的几何性质 (II) 定理131的证明. 记 A 是之前的形式： A = a T 1 . . . a T m 则 u ∈ C(AT ) 等价于存在 c = c1 . . .cm ∈ Rm 使得： u = c1a1 + · · · + cmam = A T c 从而对于任意 v ∈ N(A) 有： u · v = u T v = (A T c) T c = c TAv = c T0 = 0 285
正交的子空间上海饰境大学Shanghai NormalUniversit定义132[OrthogonalSubspaces]令n≥o，和W是Rn的两个子空间，我们称V和W是正交的（orthogonal)，记作VIW如果每个V中的向量v和W中的任何一个向量w都是垂直的（perpendicular)，即：V.W-VTW=0我们同样用vlw来表示v·w=0例133.·[(x,O)|xER)和((O,y)IyER)是正交的。任何一个向量空间V和Z=O】都是正交的。[(x,0, 0) Ix,z E R) 和 ((O, y,z) Iy,zE R) 是正交的。286
正交的子空间 定义 132 [Orthogonal Subspaces]. 令 n ⩾ 0，V 和 W 是 R n 的两个子空间，我们称 V 和 W 是正交的 (orthogonal)，记作： V ⊥ W 如果每个 V 中的向量 v 和 W 中的任何一个向量 w 都是垂直的 (perpendicular)，即： v · w = v Tw = 0 我们同样用 v⊥w 来表示 v · w = 0 例 133. • {(x, 0) | x ∈ R} 和 {(0, y) | y ∈ R} 是正交的。 • 任何一个向量空间 V 和 Z = {0} 都是正交的。 • {(x, 0, 0) | x, z ∈ R} 和 {(0, y, z) | y, z ∈ R} 是正交的。 286
基与正交的关系()上海饰烧大筝Shanghai Normal University令V和W是Rn的两个子空间：·V的一组基为{V1,..,Vk].W的一组基为(Wi...，Wl。如果V和W是正交的，显然这两组向量是互相正交的，那么问题反过来呢？定理134V上W当且仅当对任意的iE[K],jE[]我们有：vilw287
基与正交的关系 (I) 令 V 和 W 是 R n 的两个子空间： • V 的一组基为 {v1, · · · , vk} • W 的一组基为 {w1, · · · , wl}。 如果 V 和 W 是正交的，显然这两组向量是互相正交的，那么问题反过来呢？ 定理 134. V⊥W 当且仅当对任意的 i ∈ [k], j ∈ [l] 我们有：vi⊥wj. 287
上海师苑大学基与正交的关系（）Shanghai Normal University定理134的证明，我们只需证明←的方向，另一边直接由定义可得。假设对于任意的v,和wi，我们有：vilwi，则对于任意的vEV和wEW，存在aERk和bERI满足：vka,w=wi..W从而：[vi]Tw=aTV.W=W1vi][v]wiviwi=aTb.viWivIwt00=atb=000...口288
基与正交的关系 (II) 定理134的证明. 我们只需证明 ⇐ 的方向，另一边直接由定义可得。 假设对于任意的 vi 和 wj，我们有：vi⊥wj，则对于任意的 v ∈ V 和 w ∈ W，存在 a ∈ R k 和 b ∈ R l 满足： v = h v1 · · · vk i a, w = h w1 · · · wl i b 从而： v · w = v Tw = a T v T 1 . . . v T k h w1 · · · wl i b = a T v T 1w1 · · · v T 1wl . . . . . . . . . v T kw1 · · · v T kwl b = a T 0 · · · 0 . . . . . . . . . 0 · · · 0 b = 0 288
C(AT)IN(A）的另一个证明上海饰境大学山Shanghai Normal Universit我们利用定理134来给出C(AT)LN(A）的另一个证明。1.记AT的列向量为a1,..，am，则可以从中选出C(A)的一组基(ai.....,ai.)其中r=rank(A)2.类似的选出N(A)的一组基(X1,...,Xn-T]3.对任意的kE[r]和jE[n-]我们有：aix口直观理解C(A)和N(A)可以看成将RⅡ分解成了两个正交的子空间。289
C(AT )⊥N(A) 的另一个证明 我们利用定理134来给出 C(AT )⊥N(A) 的另一个证明。 1. 记 AT 的列向量为 a1, · · · , am，则可以从中选出 C(AT ) 的一组基： {ai1 , · · · , air } 其中 r = rank(A). 2. 类似的选出 N(A) 的一组基： {x1, · · · , xn−r} 3. 对任意的 k ∈ [r] 和 j ∈ [n − r] 我们有：aik ⊥xj. 直观理解 C(A) 和 N(A) 可以看成将 R n 分解成了两个正交的子空间。 289
正交补上海饰境大筝Shanghai Normal University定义135[OrthogonalComplements]令V是Rn的一个子空间，我们称V的正交补（orthogonalcomplement）为V+=VERnvIu,对于任意的uEV)例136.考察R?的子空间(c,O)IcER),其正交补为：[(O,c)IcER)考察R2的子空间(c,2c)IcER)，其正交补为：【(-2c,c)IcER)考察 R3的子空间(x,y,z)Ix+y+z=0],其正交补为：[(c,c,c)IcER)290
正交补 定义 135 [Orthogonal Complements]. 令 V 是 R n 的一个子空间，我们称 V 的正交补 (orthogonal complement) 为： V ⊥ = {v ∈ R n | v⊥u, 对于任意的 u ∈ V} 例 136. • 考察 R 2 的子空间 {(c, 0) | c ∈ R}，其正交补为：{(0, c) | c ∈ R} • 考察 R 2 的子空间 {(c, 2c) | c ∈ R}，其正交补为：{(−2c, c) | c ∈ R} • 考察 R 3 的子空间 {(x, y, z) | x + y + z = 0}，其正交补为：{(c, c, c) | c ∈ R} 290