第七章定积分的应用和推广87.1定积分的应用87.1.1曲线的长度设I=[a.bl为区间.映射g：I→R2用分量表示为a(t) = (r(t),y(t), tE I.如果r(t)，y(t)均为连续函数，则称为R2上的连续曲线.如果a(t)，y(t)均可微（连续可微），则称为可微（连续可微）曲线设α为连续可微曲线，通过分割曲线并用直线段长度之和作逼近，我们可以定义的长度为L(o) =[(a(t)*+(g(t)]dt.例7.1.1.求摆线(r,y) = (a(t -sint),a(1 -cost), a > 0一拱的长度，解我们求tE[0,2元]时曲线的长度1 =[(r(t)? + (y'(t)jdta[(1 -cost)2 + sin t)dtT2asin -dt = 8a=21o需要注意的是，曲线也可以由别的参数给出，例如极坐标87.1.2简单图形的面积(1)如果f>0为[a,上的连续函数,则由y=f(r),r=a,=b (a<b)与y=0围成的曲边梯形的面积为f(a)drS.一般地，当于变号时，上式仍有意义，称为代数面积和，而If(r)]da.1
1ÔÙ ½È©A^Úí2 §7.1 ½È©A^ §7.1.1 Ý I = [a, b] «m, N σ : I → R 2 ^©þL« σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I. XJ x(t), y(t) þëY¼ê, K¡ σ R 2 þëY. XJ x(t), y(t) þ (ëY), K¡ σ (ëY) . σ ëY, ÏL©¿^ãÝÚ%C, ·±½  σ Ý L(σ) = Z b a [(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt. ~ 7.1.1. ¦{ (x, y) = (a(t − sin t), a(1 − cost)), a > 0 ÿÝ. ) ·¦ t ∈ [0, 2π] Ý l = Z 2π 0 [(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt = Z 2π 0 a[(1 − cost) 2 + sin2 t] 1 2 dt = 2a Z 2π 0 sin t 2 dt = 8a. I5¿´, ±dOëêÑ, ~X4I. §7.1.2 {üã/¡È (1) XJ f > 0 [a, b] þëY¼ê, Kd y = f(x), x = a, x = b (a F/¡È S = Z b a f(x) dx. /, f CÒ, þªEk¿Â, ¡ê¡ÈÚ, S = Z b a |f(x)|dx 1
2第七章定积分的应用和推广才是所围面积之和.更一般地，由y=f2(ar),y=fi()（f2≥fi)以及a=a,=b围成的图形的面积为S=If2(a) - fi(r)ldr(2）设α为平面曲线，由极坐标方程r=r(0), e[α,P]给出，其中r()关于连续，β-α2元.则由,=Q,=β所围成的图形面积为r2(0)do.5r2() -△0; =2.(3) 如果曲线 由 (t)= (μ(t),y(t), te [a,b) 给出, 则 与 =a, =b 以及y=0围成的图形的面积为S:ly(t)r' (t)]dt.如果α除在t=a,b处以外无自交点，则α本身围成的图形的面积为[ y(t)r(t)dtl =1 /S=Ir(t)gy(t)dt)22.92例7.1.2.求椭圆1所图成的面积2+解由图形的对称性，有Sda61/103Vi-sin?ta costdt4hf= 4abcos?tdt=TabJo例7.1.3.求双纽线（2+y2)2=a2（2-y2）所围成的面积解由图形的对称性，有r412(0)d=2a2cos20do=a2S=4.2JoJo(4）旋转曲面的面积.设为平面曲线o(t)= (r(t),y(t)),tE[a,bl,y(t)≥0
2 1ÔÙ ½È©A^Úí2 â´¤¡ÈÚ. /, d y = f2(x), y = f1(x) (f2 ≥ f1) ±9 x = a, x = b ¤ã/¡È S = Z b a |f2(x) − f1(x)|dx. (2) σ ²¡, d4I§ r = r(θ), θ ∈ [α, β] Ñ, Ù¥ r(θ) 'u θ ëY, β − α ≤ 2π. Kd σ, θ = α, θ = β ¤¤ã/¡È S = lim kπk→0 Xm i=1 1 2 r 2 (ξ) · ∆θi = 1 2 Z β α r 2 (θ)dθ. (3) XJ σ d σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] Ñ, K σ x = a, x = b ±9 y = 0 ¤ã/¡È S = Z b a |y(t)x 0 (t)|dt. XJ σ Ø3 t = a, b ?± Ãg:, K σ ¤ã/¡È S = | Z b a y(t)x 0 (t)dt| = | Z b a x(t)y 0 (t)dt|. ~ 7.1.2. ¦ý x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ¤¤¡È. ) dã/é¡5, k S = 4 Z a 0 b r 1 − x 2 a 2 dx = 4b Z π 2 0 p 1 − sin2 t a costdt = 4ab Z π 2 0 cos2 tdt = πab. ~ 7.1.3. ¦VÝ (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) ¤¤¡È. ) dã/é¡5, k S = 4 · 1 2 Z π 4 0 r 2 (θ)dθ = 2a 2 Z π 4 0 cos 2θdθ = a 2 . (4) ^=¡¡È. σ ²¡ σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], y(t) ≥ 0.
387.1定积分的应用a绕轴旋转所得曲面的面积为nS=lim 2元y($)[(r($)?+(y'($)))+△t1元-0台2y(t)[(r(t)2 +(y(t)]+dt例7.1.4.求将+(y-b)2=a2(0<a≤b)绕轴旋转所得曲面的面积解曲线的参数方程为r(t) =acost, y(t)=b+asint, t e[0,2]故旋转曲面面积为2(b +a sint)[a? sin’t+a?cos?t)dtS=2元0(b + a sint)dt = 4元2ab.87.1.3简单立体的体积(1)平行截面之间的立体体积设为R3中一块立体区域，夹在平面=a与=b(a<b)之间.记S()为E[a,]处垂直于轴的平面截的截面面积函数.如果S()关于连续则2的体积为VS(r)dr特别地，如果两块区域2A和2B的截面面积函数相等，则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖（祖冲之之子）所发现，17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实例7.1.5.求精球体d号++号=1的体积+解固定rE（-a,a),截面为椭圆面y222T2 = (1 -22),5+其面积为rLS(r) = 元b(1 -)+c(1 -) = 元bc(1 - 02a2a2故椭球的体积为. be(1-)dz = S(r)dr=ITabc3
§7.1 ½È©A^ 3 σ 7 x ¶^=¤¡¡È S = lim kπk→0 Xn i=1 2πy(ξ)[(x 0 (ξ))2 + (y 0 (ξ))2 ] 1 2 ∆ti = Z b a 2πy(t)[(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt ~ 7.1.4. ¦ò x 2 + (y − b) 2 = a 2 (0 < a ≤ b) 7 x ¶^=¤¡¡È. ) ëê§ x(t) = a cost, y(t) = b + a sin t, t ∈ [0, 2π]. ^=¡¡È S = Z 2π 0 2π(b + a sin t)[a 2 sin2 t + a 2 cos2 t] 1 2 dt = 2πa Z 2π 0 (b + a sin t)dt = 4π 2 ab. §7.1.3 {üáNNÈ (1) ²1 ¡máNNÈ Ω R 3 ¥¬áN«, Y3²¡ x = a x = b (a < b) m. P S(x) x ∈ [a, b] ?Ru x ¶²¡ Ω ¡¡È¼ê. XJ S(x) 'u x ëY, K Ω NÈ V = Z b a S(x)dx. AO/, XJü¬« ΩA Ú ΩB ¡¡È¼ê , KÙNÈÓ. ù¯¢ 3ú 5 6 Vdy3 (yÀf) ¤uy, 17 V¿|< Cavalieri uy ù¯¢. ~ 7.1.5. ¦ý¥N d x 2 a2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 NÈ. ) ½ x ∈ (−a, a), ¡ý ¡ y 2 b 2 + z 2 c 2 = (1 − x 2 a 2 ), Ù¡È S(x) = πb(1 − x 2 a 2 ) 1 2 c(1 − x 2 a 2 ) 1 2 = πbc(1 − x 2 a 2 ). ý¥NÈ V = Z a −a S(x)dx = Z a −a πbc(1 − x 2 a 2 )dx = 4 3 πabc.
4第七章定积分的应用和推广(2）旋转体的体积设f为[a,b]上的连续函数，2是由平面图形(aol()绕轴旋转一周所得旋转体.则在E[a,引]处的截面为圆盘，其面积为S(a)f(μ)2.因此2的体积为V:(r)daS()dr :例7.1.6.求高为h，底半径为r的圆锥体的体积.解由上面的体积公式，有V=(a)dr =5mr2h3hJo87.1.4物理应用举例(1）考虑空气阻力的自由落体运动质量为m的物体在重力作用下自由下落，下落时所受空气阻力与下落速度成正比，比例常数为k，则由牛顿定律dumg-ku=mat'其中，9为重力加速度，为物体的速度，我们选择指向地心的坐标。上面的方程等价于dl(estu)=geat,dtle假设初速度为零，则mg(ert-1)eutuem"ds=k即mg(1-e-t)v(t) =mg，即速度不会增加到无限大特别地，t→8o时w(t)→k(2)第二宇宙速度从地球表面发射火箭，如果要求火箭无限飞离地球，问：火箭的初速度至少为多大？
4 1ÔÙ ½È©A^Úí2 (2) ^=NNÈ. f [a, b] þëY¼ê, Ω ´d²¡ã/ {(x, y)| a ≤ x ≤ b, 0 ≤ |y| ≤ |f(x)|} 7 x ¶^=±¤^=N. K3 x ∈ [a, b] ? ¡ , Ù¡È S(x)πf(x) 2 . Ïd Ω NÈ V = Z b a S(x)dx = π Z b a f 2 (x)dx. ~ 7.1.6. ¦p h, .» r INNÈ. ) dþ¡NÈúª, k V = π Z h 0 ( r h x) 2 dx = 1 3 πr2h. §7.1.4 ÔnA^Þ~ (1) Äí{ågdáN$Ä. þ m ÔN3å^egdeá, eá¤Éí{åeáݤ ', '~~ê k, KdÚî½Æ, mg − kv = m dv dt , Ù¥, g å\Ý, v ÔNÝ, ·ÀJ/%I. þ¡§ du d dt(e k m t v) = ge k m t , bÐÝ", K e k m t v = g Z t 0 e k m s ds = mg k (e k m t − 1), = v(t) = mg k (1 − e − k m t ). AO/, t → ∞ v(t) → mg k , =ÝجO\Ã. (2) 1»Ý. l/¥L¡u», XJ¦»Ãl/¥, ¯: »ÐÝ õ?
587.1定积分的应用根据万有引力定律，在距地心处火箭所受地球引力为F= GMmr-2其中，G为万有引力常数，M为地球质量，m为火箭质量.在地球表面，有GMmR-2 =mg,其中R为地球半径.火箭从地面升到距地心r（r>R)处需要做的功为[ mgRa-2dr = mgR(-1)GMmr-2dr =RTJRR因此，火箭无限飞离地球需要做功11W= lim mgR2()=mgRR由能量守恒原理，火箭的初速度至少为Uo，则12=mgR,gmua因而Vo=V2gR=V2×9.81(m/s2)×6.371×106m~11.2(km/s)（3）缆绳的工作原理绳索在日常生活中应用十分广泛，例如在码头上经常用来系住船舶.为什么绳索能拉住大型船舶？下面我们就来作一个力学分析，它揭示了绳索产生巨大拉力的原理设一段绳索缠绕在一圆柱体上，绳索一端施以拉力f，绳索与圆柱体之间的摩擦系数为k，如果绳索共绕了n圈，在绳索的另一端产生的拉力为F，我们来求F的值取长度为△的一小段绳索，研究其受力状况.设这一段绳索承受圆柱体的正压力为AN.则摩擦力为kAN.这一段绳索两端所受拉力分别为F.F+AF.则考虑沿圆柱体外法向和切向这两个方向绳索的受力，得到方程A0Ae+Fsin△N=(F+△F)sin22A6A0=Fcos(F+△F)cos+kAN22令0→0得dF=kFda利用积分解得F(0) = f.ek01当?=2n元时，F=f·e2kn元。例如，设摩擦系数k=，n = 6, f = 10kg,则F>80000kg
§7.1 ½È©A^ 5 âkÚå½Æ, 3å/% x ?»¤É/¥Úå F = GMmx−2 , Ù¥, G kÚå~ê, M /¥þ, m »þ. 3/¥L¡, k GMmR−2 = mg, Ù¥ R /¥». »l/¡,å/% r (r > R) ?Iõ Z r R GMmx−2 dx = Z r R mgR2x −2 dx = mgR2 ( 1 R − 1 r ). Ïd, »Ãl/¥Iõ W = limr→∞ mgR2 ( 1 R − 1 r ) = mgR. dUþÅðn, »ÐÝ v0, K 1 2 mv2 0 = mgR, Ï v0 = p 2gR = p 2 × 9.81(m/s2) × 6.371 × 106m ≈ 11.2 (km/s) (3) C-ón -¢3F~)¹¥A^©2, ~X3èÞþ²~^5X4EÍ. o- ¢U.4.EÍ? e¡·Ò5åÆ©Û, §« -¢)ã.å n. ã-¢73 ÎNþ, -¢à±.å f, -¢ ÎNm ÞXê k, XJ-¢7 n , 3-¢,à).å F, ·5¦ F . Ý ∆θ ã-¢, ïÄÙÉåG¹. ùã-¢«É ÎN Øå ∆N, K Þå k∆N. ùã-¢üà¤É.å©O F, F + ∆F, K Ä÷ ÎN {Úùü-¢Éå, § ∆N = (F + ∆F) sin ∆θ 2 + F sin ∆θ 2 , (F + ∆F) cos ∆θ 2 = F cos ∆θ 2 + k∆N. - ∆θ → 0, dF dθ = kF, |^È©) F(θ) = f · e kθ . θ = 2nπ , F = f · e 2knπ . ~X, ÞXê k = 1 4 , n = 6, f = 10kg, K F > 80000kg.
6第七章定积分的应用和推广87.1.5进一步应用的例子(1)近似计算我们回忆一下，设于为[a,引]上的二次连续可微函数，则由Taylor展开的应用可以证明，If(r) -l(r)/≤M(r-a)(b-a), e[a,b),其中，M=max,If"(r)l，且TEla.b(a) = (a) + )二((μ- a), E[a,4 b-a由此我们得到如下的积分估计M(b-a)?f(r)dr1(a)da≤2-M(r-a)(b-r)d =12这就是f在[a,b上的积分用梯形面积逼近的误差公式我们考虑函数f=loga在[1,n]上的积分.令log rdr = rlog aln -An=da = n log n - n + 1,g1og2)+og2og3)og(+Bn=1= logn! --logn,2根据上面的估计，有11log rdr -(log k + 1og(k + 1)12k2令Cn=AnBn，由f为凸函数知Cn>0,Cn关于n是递增的从而(+2元110<Cn<+1)=N612k=1这说明极限limCn=C存在，且10<C-Cnk=n111.1112+3L=125元2+(n+1)(n+2)n(n+1)下面我们来求极限C的值.由定义，有1Cn=An-Bn=nlogn-n+1-logn!++ilogn
6 1ÔÙ ½È©A^Úí2 §7.1.5 ?ÚA^~f (1) CqO ·£Áe, f [a, b] þgëY¼ê, Kd Taylor ÐmA^ ±y², |f(x) − l(x)| ≤ 1 2 M(x − a)(b − x), x ∈ [a, b], Ù¥, M = max x∈[a,b] |f 00(x)|, l(x) = f(a) + f(b) − f(a) b − a (x − a), x ∈ [a, b]. dd·XeÈ©O Z b a f(x) dx − Z b a l(x)dx ≤ 1 2 M Z b a (x − a)(b − x)dx = 1 12 M(b − a) 2 . ùÒ´ f 3 [a, b] þÈ©^F/¡È%CØ úª. ·Ä¼ê f = log x 3 [1, n] þÈ©. - An = Z n 1 log xdx = x log x| n 1 − Z n 1 dx = n log n − n + 1, Bn = 1 2 (log 1 + log 2) + 1 2 (log 2 + log 3) + · · · + 1 2 (log(n − 1) + log n) = log n! − 1 2 log n, âþ¡O, k Z k+1 k log xdx − 1 2 (log k + log(k + 1)) ≤ 1 12 1 k 2 . - Cn = An − Bn, d f à¼ê Cn > 0, Cn 'u n ´4O. l 0 < Cn < 1 12 nX−1 k=1 1 k 2 < 1 12 (1 +X∞ k=1 ( 1 k − 1 k + 1 )) = 1 6 , ù`²4 limn→∞ Cn = C 3, 0 < C − Cn < 1 12 X∞ k=n 1 k 2 < 1 12 [ 1 n2 + 1 n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) + · · · ] = 1 12 ( 1 n2 + 1 n ). e¡·5¦4 C . d½Â, k Cn = An − Bn = n log n − n + 1 − log n! + 1 2 log n,
787.1定积分的应用因此n!=el-Cnnn+ie由Wallis公式，(nl)222n1lim=V元,(2n)！V斤把n!和（2n)！的表达式代入，有e2(1-Cn)n2n+1e-2n 22nel-V元=limV400e1-C2n(2n)(2n+±)n这就得到n！的如下表示)"eC-Cn,n!=V2元n(（Stirling公式）其中1111)+12n+10n2(2）元为什么为无理数历史上，第一个被发现的无理数是V2，这是毕达哥拉斯学派发现的，这个发现在当时引起了很大的恐慌.1761年，J.Lambert证明了元为无理数.1947年，由INiven给出了π为无理数的一个简单证明，下面我们给出的证明基本上就是Niven提出的.证明用的是反证法.假设元为有理数，元=号：0,6为互素正整数.令1r"(a-br)",re[0,],f(r) =n!其中n为待定正整数.我们有(1) f(α)=f(元-a), E[0,元l;(2)f()(0)为整数,k=1,2,...,2n;(3）()(）为整数,k=1,2....,2n令F() = f(μ) - f(2)(r) + f(4)(r) - ... + (-1)n f(2n)(r),则显然有F"(r) + F(μ) = f(r),因此f(r) sin rda = [F(a) sina - F(a) cos al = F(π) + F(0) E Z
§7.1 ½È©A^ 7 Ïd n! = e 1−Cn n n+ 1 2 e −n . d Wallis úª, limn→∞ (n!)22 2n (2n)! 1 √ n = √ π, r n! Ú (2n)! Lª\, k √ π = limn→∞ e 2(1−Cn)n 2n+1e −2n e 1−C2n (2n) (2n + 1 2 ) 2 2n √ n = e 1−c √ 2 , ùÒ n! XeL« n! = √ 2πn ( n e ) n e C−Cn , ( Stirling úª), Ù¥ 1 1). (2) π oÃnê. {¤þ, 1uyÃnê´ √ 2, ù´.x.dÆuy, ùuy 3Úå é. 1761 c, J. Lambert y² π Ãnê. 1947 c, d I. Niven Ñ π Ãnê{üy², e¡·Ñy²Ä þÒ´ Niven JÑ. y²^´y{. b π knê, π = a b , a, b pê. - f(x) = 1 n! x n (a − bx) n , x ∈ [0, π], Ù¥ n ½ê. ·k (1) f(x) = f(π − x), x ∈ [0, π]; (2) f (k) (0) ê, k = 1, 2, . . . , 2n; (3) f (k) (π) ê, k = 1, 2, . . . , 2n. - F(x) = f(x) − f (2)(x) + f (4)(x) − · · · + (−1)n f (2n) (x), Kw,k F 00(x) + F(x) = f(x), Ïd Z π 0 f(x) sin xdx = [F 0 (x) sin x − F(x) cos x] π 0 = F(π) + F(0) ∈ Z.
8第七章定积分的应用和推广另一方面，在(0,）上0f()≤(a)",因此1≤f(a)sinada≤f(a) da(πa)"<dr → 0, (n-→00)n!这就得到了一个矛盾。87.2广义积分在前一章中，我们在闭区间上研究了有界函数的Riemann积分，一个自然的问题就是，对于一般的区间以及对于无界的函数，如何定义积分？我们在前一节计算第二宇宙速度时，曾经用到取极限的办法，得到了区间[R，十）上的积分，我们来看另一个例子，这个例子中涉及的函数不是有界的.事实上，考虑（0,11区间上的函数f(a)=，这是一个连续函数，其图像=(a）和直线=0, =1以及y=0围成的区域虽然无界，但其面积却是有界的。下面我们就把这些例子推广到一般的情形定义7.2.1（无穷积分)设aER，定义在[a，+oo）上的函数f如果在任何有限区间[a,Al上都是Riemann可积的，且极限f(r)da11存在（且有限），则称无穷积分f(r)dr存在或收敛，记为 f(a) dar = Alim)f(r)dr否则就称无穷积分f(r)dr不存在或发散类似地，我们也可以定义无穷积分(a)dr，以及~(a)dz.并且(a)dar收敛当且仅当f(a)da和f(a)da均收敛，此时+ f(a)dr =/" f(a) da + / f(a) d, VaeR.需要注意的是，利用极限f(a)dalir
8 1ÔÙ ½È©A^Úí2 ,¡, 3 (0, π) þ 0 < f(x) ≤ 1 n! (πa) n , Ïd 1 ≤ Z π 0 f(x) sin xdx ≤ Z π 0 f(x) dx ≤ (πa) n n! Z π 0 dx → 0, (n → ∞) ùÒ gñ. §7.2 2ÂÈ© 3cÙ¥, ·34«mþïÄ k.¼ê Riemann È©. g, ¯KÒ´, éu«m±9éuÃ.¼ê, XÛ½ÂÈ©? ·3c!O 1»Ý, Q²^4{, «m [R, +∞) þÈ©. · 5w,~f, ù~f¥9¼êØ´k.. ¯¢þ, Ä (0, 1] «mþ ¼ê f(x) = 1 √ x , ù´ëY¼ê, Ùã y = f(x) Ú x = 0, x = 1 ±9 y = 0 ¤«,Ã., Ù¡È%´k.. e¡·Òrù ~fí2 /. ½Â7.2.1 (áȩ). a ∈ R, ½Â3 [a, +∞) þ¼ê f XJ3?Ûk «m [a, A] þÑ´ Riemann È, 4 lim A→+∞ Z A a f(x) dx 3 ( k ), K¡Ã¡È© Z +∞ a f(x) dx 3½Âñ, P Z +∞ a f(x) dx = lim A→+∞ Z A a f(x) dx, ÄKҡáȩ Z +∞ a f(x) dx Ø3½uÑ. aq/, ·±½Âáȩ Z a −∞ f(x) dx, ±9 Z +∞ −∞ f(x) dx. ¿ Z +∞ −∞ f(x) dx Âñ = Z a −∞ f(x) dx Ú Z +∞ a f(x) dx þÂñ, d Z +∞ −∞ f(x) dx = Z a −∞ f(x) dx + Z +∞ a f(x) dx, ∀ a ∈ R. I5¿´, |^4 lim A→+∞ Z A −A f(x) dx
987.2广义积分也可以定义f在（一00，十oo）上的一种积分，它和前一种定义不是等价的，称为Cauchy主值积分，记为(V.P.)f(r)drf(r)da =lim从无穷积分的定义立即得到如下的基本判别法（无穷积分的Cauchy准则）f(r在[a,+oo）上的积分收敛台任给>0,存在M=M(e),使得当B>A>M时,f(a)dr1时[log A,p=1,A1drp—(A1-P-1)P 1因此只有p>1时积分才是收敛的，此时1181-(A1-P - 1) =d=(P-1一般地，如果连续函数f在[a，+oo）上存在原函数F，则由微积分基本公式f(r)dr = lim F(A) - F(a),即积分收敛与否和极限limF（A）是否存在是一致的1例7.2.2.计算无穷积分1+ada1解的原函数为arctant,因此1+r2111drdTda1+ r21 + r2+J0arctanr+arctanrtTT=T+22和无穷积分类似，我们也可以通过极限来处理无界函数的积分
§7.2 2ÂÈ© 9 ±½Â f 3 (−∞, +∞) þ«È©, §Úc«½ÂØ´ d, ¡ Cauchy ÌÈ©, P (V.P.) Z +∞ −∞ f(x) dx = lim A→+∞ Z A −A f(x) dx. láȩ½Âá=XeÄ O{: (áȩ Cauchy OK) f(x) 3 [a, +∞) þÈ©Âñ ⇔ ? ε > 0, 3 M = M(ε), ¦ B > A > M , Z B A f(x) dx 1 , Z A 1 1 x p dx = log A, p = 1, 1 1−p (A1−p − 1), p 6= 1. Ïdk p > 1 È©â´Âñ, d Z +∞ 1 1 x p dx = lim A→+∞ 1 1 − p (A 1−p − 1) = 1 p − 1 . /, XJëY¼ê f 3 [a, +∞) þ3¼ê F, KdÈ©Ä úª, Z +∞ a f(x) dx = lim A→+∞ F(A) − F(a), =È©ÂñÄÚ4 lim A→+∞ F(A) ´Ä3´. ~ 7.2.2. Oáȩ Z +∞ −∞ 1 1 + x 2 dx . ) 1 1 + x 2 ¼ê arctan x, Ïd Z +∞ −∞ 1 1 + x 2 dx = Z +∞ 0 1 1 + x 2 dx + Z 0 −∞ 1 1 + x 2 dx = arctan x| 0 −∞ + arctan x| +∞ 0 = π 2 + π 2 = π. Úáȩaq, ·±ÏL45?nÃ.¼êÈ©.
10第七章定积分的应用和推广定义7.2.2（瑕积分)。设函数f在任何区间[a',b]（a<a'<b)上均Riemann可积，如果极限f(ar)dalimf(r)dr存在或收敛，记为存在（且有限），则称瑕积分f(r) dr = limf(z)da否则就称瑕积分f(r)dr不存在或发散不难看出，如果f在[a,b]上Riemann可积，则f的瑕积分等于其Riemann积分.如果f在a附近无界，或在[a,bl上不是Riemann可积的，则称a为f的瑕点，类似地，可以在[a，6）上定义瑕积分，当瑕点不只一个时也可类似地定义瑕积分，瑕积分的收敛性仍有类似的Cauchy准则判别法如果一个函数既是无界的，定义域又是无界区间，则把上面两种积分，即无穷积分和瑕积分的处理方法结合起来往往可以对于这种函数的积分加以处理，得到的积分统称广义积分1例7.2.3.讨论积分da(pER）的敛散性解当0<a<1时,loga,p= 1,1TP(1 -al-p), p1.因此只有p<1时积分才是收敛的，此时1-11(1 - a1-P) :dr=limTPm1-p1-p1例7.2.4.计算积分drV1-r2解被积函数有两个瑕点土1.我们有11dadaVI-r1V1-TV1-2arcsin r-, + arcsin rl元+元== T.2 +2广义积分具有和Riemann积分类似的性质，一些运算法则，例如分部积分，变量代换等也可以直接推广过来
10 1ÔÙ ½È©A^Úí2 ½Â7.2.2 (×È©). ¼ê f 3?Û«m [a 0 , b] (a < a0 < b) þþ Riemann È, XJ4 lim a0→a Z b a0 f(x) dx 3 ( k ), K¡×È© Z b a f(x) dx 3½Âñ, P Z b a f(x) dx = lim a0→a Z b a0 f(x) dx ÄKÒ¡×È© Z b a f(x) dx Ø3½uÑ. ØJwÑ, XJ f 3 [a, b] þ Riemann È, K f ×È© uÙ Riemann È ©. XJ f 3 a NCÃ., ½3 [a, b] þØ´ Riemann È, K¡ a f ×:. aq/, ±3 [a, b) þ½Â×È©, ×:Øaq/½Â×È©, × È©Âñ5Ekaq Cauchy OKO{. XJ¼êQ´Ã., ½Âq´Ã.«m, Krþ¡ü«È©, =á È©Ú×È©?n{(Üå5 ±éuù«¼êÈ©\±?n, È©Ú¡2ÂÈ©. ~ 7.2.3. ?ØÈ© Z 1 0 1 x p dx (p ∈ R) ñÑ5. ) 0 < a < 1 , Z 1 a 1 x p dx = − log a, p = 1, 1 1−p (1 − a 1−p ), p 6= 1. Ïdk p < 1 È©â´Âñ, d Z 1 0 1 x p dx = lim a→0 1 1 − p (1 − a 1−p ) = 1 1 − p . ~ 7.2.4. OÈ© Z 1 −1 1 √ 1 − x 2 dx . ) ȼêkü×: ±1. ·k Z 1 −1 1 √ 1 − x 2 dx = Z 0 −1 1 √ 1 − x 2 dx + Z 1 0 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x| 0 −1 + arcsin x| 1 0 = π 2 + π 2 = π. 2ÂÈ©äkÚ Riemann È©aq5, ${K, ~X©ÜÈ©, C þ ±í2L5.