第三节复合函数与反函数复合函数一2二、、反函数三、函数的运算四、初等函数五、小结思考题经济数学微积分
第三节 复合函数与反函数 一、复合函数 二、反函数 三、函数的运算 四、初等函数 五、小结 思考题
一、复合函数(compoundfunction)设y=/u, u=l-x?, → y=/1-x?定义:设有函数f和g，D,R。≠Φ，则称定义在(xIxeDgg(x)eD,)上的函数f。g为f和g的复合函数，其中(f o g)(x) = fig(x)x→自变量，u→中间变量,→因变量经济数学微积分
一、复合函数(compound function) 设 y = u, 1 , 2 u = − x 2 y = 1 − x 定义: x →自变量, u →中间变量, y →因变量 上的函数 为 和 的 定义在 设有函数 和 ， ，则称 f g f g x x D g x D f g D R g f f g { | , ( ) } 复合函数，其中 ( f g)(x) = f[g(x)]
例1 u=g(x)=2+x2 ，= f(u)=lnu,则 R。=[2,+o0) C Df '因此能够形成复合函数f o g(x) = ln(2 + x2)微积分经济数学
例1 ( ) 2 , ( ) ln , 2 u = g x = + x y = f u = u [2, ) , 则 Rg = + Df 因此能够形成复合函数 ( ) ln(2 ) 2 f g x = + x
注意：1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；例如 y =arcsinu, u=2+x2; y ≠ arcsin(2+ x2)2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成。X例如y=/cotu=cotv,V2经济数学微积分
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 例如 y = arcsinu, 2 ; 2 u = + x arcsin(2 ) 2 y + x 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. , 2 cot x 例如 y = y = u, u = cot v, . 2 x v =
二、 反函数(inverse function)设函数f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射f-1：f(D)→D，称此映射f-1为函数f的反函数反函数 x= (y)函数y=f(x)yoNWW00XoxxXDD电经济数学微积分
二、反函数(inverse function) 0 x 0 y 0 x 0 y x y D W 函数 y = f (x) o x y D W 反函数 x = ( y) o 设函数 f : D → f (D)是单射，则它存在逆映射 : ( ) , 1 f f D → D − 称此映射f −1为函数f的 反函数
y反函数y=f-(x)直接函数y=f(x)P(a,b)x直接函数与反函数的图形关于直线V=x对称经济数学微积分
直接函数y = f (x) x y o Q(b,a) P(a,b) ( ) 1 y f x − 反函数 = 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称
定理（反函数存在定理）：单调函数f必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性经济数学微积分
定理（反函数存在定理）：单调函数 f 必存在单调 的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性
例2求函数y=√e*+1的反函数.解 ：e*=2-1:. x = In(y2 -1)y=~e＊+1>1，即原函数的值域为(1,+):.反函数为 y=ln(x2-1)D f-+ = (1 , + 00)经济数学微积分
例 2 求函数 = + 1的反函数 . x y e(1 , ) ln( 1) 1 1 (1 , ) ln( 1) 1 1 2 2 2 = + = − = + + = − = − − f x x Dy x y e x y e y 反函数为 ，即原函数的值域为 解
三、函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域分别是D,、Dz，D=D,nD,Φ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：函数的和（差）f±g(f ±g)(x)= f(x)±g(x), xED函数的积 f·g(f · g)(x)= f(x)· g(x), xeDf()(x)= f(α)函数的商g(x)ggxe Di(x/g(x)= 0)经济数学微积分
三、函数的运算 的下列运算： ( ) , ( ) , x g x D1 D2 设函数 f 的定义域分别是 、 D = D1 D2 ，则我们可以定义这两个函数 函数的和（差） 函数的积 函数的商 f g ( f g)(x) = f (x) g(x)，x D ( f g)(x) = f (x) g(x)，x D g f f g ( ) ( ) ( )( ) g x f x x g f = x D \{x | g(x) = 0} 函数的和（差）
例3设函数 f(x)的定义域为(-l,l)，证明必定存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x) = g(x)+ h(x)分析如果这样的 g(x)和 h(x)存在，于是有f(x) = g(x)+ h(x)f(-x) = g(-x)+h(-x) = g(x)-h(x)经济数学微积分
例3 ( ) ( ) ( ) . ( ) , ( , ) ( ) ( ) ( , ) f x g x h x h x l l g x f x l l = + − − 使得 定存在 上的偶函数 及奇函数 设函数 的定义域为 ，证明必 − = − + − = − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x g x h x f x g x h x 分析 如果这样的 g x 和 h x 存 在，于是有