第十一章度量空间与连续映射81内积与度量定义1(内积）设X是实数域R上的向量空间，如果映射g=(): X×X-R(a,y) - g(r,y) = (r,y)满足以下条件(1)(r,)≥0,且(c,2)=0台=0 (正定性)(2)(c,y)=(y,r),V,yEX (对称性)(3)(+μy,z)=(,z)+μ(y,z),,μR,,yX(双线性性)则称g=《,）为X上的一个内积，(X,《,》）称为内积空间，(r,y)称为与y的内积，l=,)称为的范数例1记R"=[(ci，.·，an)[ciER)为n元有序实数组，以显然的方式，R"成为R上的向量空间，称为n维欧氏空间.R"上有标准的内积《，)：n(a,y)=ai-yi,Va=(ai,...,an), y=(yi,...,yn)eRn=1例2记Ca,可为闭区间[a,可]上连续函数的全体形成的向量空间．定义内积《，）如下：/f(r) - g(a)dr(f,g) =0定理1(Schwarz不等式）设（X，《,),）为内积空间，则K,y≤illllyll且等号成立当且仅当与y线性相关证明当=0(或y=0)时，由内积的线性知(0,y) = (0 . 0, y) = 0(0, 9) = 0.1
2?G )" E'=B1 §1 .D( @ 1(.) ! X )$,l R !MwmX, Cb g = h,i : X × X → R (x, y) 7→ g(x, y) = hx, yi [D8Z (1) hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 ⇔ x = 0 (u&R). (2) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X (*R). (3) hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi, ∀λ, µ ∈ R, x, y ∈ X (-IRR) s g = h,i > X !Y OmX, hx, yi > x j y ! O, kxk = p hx, xi > x !1,. % 1 U Rn = {(x1, · · · , xn)|xi ∈ R} > n meT$,, [F!2&, Rn > R !MwmX, > n ? *mX. R n e ! O h,i: hx, yi = Xn i=1 xi · yi , ∀ x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ R n . % 2 U C 0 [a, b] >X [a, b] uUE,!7Q!MwmX. &_ O h,i D: hf, gi = Z b a f(x) · g(x)dx. $ 1 (Schwarz 3) ! (X,h,i,) > OmX, s |hx, yi| ≤ kxk · kyk. "Ft d x j y IRJ@. H, x = 0(M y = 0) #, d O!IRw h0, yi = h0 · 0, yi = 0h0, yi = 0. 1
从而此时Schwarz不等式成立下设≠0,y≠0,则对vteR，有(r,r)-2t(c,y)+t2.(r,y)=(r-ty,a-ty)≥0→△=4(r,y)2-4(r,)(y,y)≤0(判别式)下面的证明略定义2（度量）设X为非零集合，如果映射p：X×X→R满足以下条件(1) p(r,y)≥0 且p(r,y) =0 台r=y;(2) p(r, y) = p(y, r);(3)p(,z)≤p(,)+p(y,2)(三角不等式则称p为X上的一个度量(或距离)，(X,p)称为度量空间(或距离空间)，p(c,y)称为y之间的距离例3（内全诱欧距时设(X，《，》）为内积空间，则令p(a,y)=r-yll,Va,yex显然p满足定义2中的（1)，(2)，而三角不等式也成立p2(,) = -=(-z,-z)= ((r-y)+(y -z),(r-y)+(y -z))= (r-y,a-y)+2(r-y,y-z)+(y-z,y-z)≤ (r-y,-y) +2-yl -ly-zll +(y-z,y-z)= (ll -yll + lly -zll)2 = (p(r,y) +p(y,z))?.因此p为X上的度量，称为由内积诱导的度量82度量设如的条扑本节假设(X,p)为度量空间.设EX,r>0,记B.(r) =(yEXIp(y,a)<r)称为以为中心，r为半径的开球2
-# Schwarz Æ"&t. D! x 6= 0, y 6= 0, s* ∀ t ∈ R, e hx, xi − 2thx, yi + t 2 · hx, yi = hx − ty, x − tyi ≥ 0 ⇒ ∆ = 4hx, yi 2 − 4hx, xihy, yi ≤ 0 (Æ &) D!v. @ 2 (() ! X >4{QI, Cb ρ : X × X → R [D8Z (1) ρ(x, y) ≥ 0 ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; (2) ρ(x, y) = ρ(y, x); (3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z). ( ]Æ"&) s ρ > X !Y)wmX (MgpmX), ρ(x, y) > x, y xX!gp. % 3 (.C #) ! (X,h,i) > OmX, s} ρ(x, y) = kx − yk, ∀ x, y ∈ X. F ρ &_ 2 ! (1), (2), - ]Æ"&Xt: ρ 2 (x, z) = kx − zk 2 = hx − z, x − zi = h(x − y) + (y − z),(x − y) + (y − z)i = hx − y, x − yi + 2hx − y, y − zi + hy − z, y − zi ≤ hx − y, x − yi + 2kx − yk · ky − zk + hy − z, y − zi = (kx − yk + ky − zk) 2 = (ρ(x, y) + ρ(y, z))2 . ` ρ > X !)w, >d Of !)w. §2 (!8/ _V! (X, ρ) >)wmX. ! x ∈ X, r > 0, U Br(x) = {y ∈ X | ρ(y, x) [ x >P, r >e!i. 2
定义1（开集和闭集）设U为X的子集，如果EU,均>0,使得Be(r)CU，则称U为开集；约定空集也是开集如果一个集合的补集（余集)是开集，则称之为闭集显然，X为开集，从而の也是闭集含有的开集称为的开邻域例1开球为开集：设B,(ro),则p(,co)r)为开集，其补集称为闭球，是闭集命题1（1)有限多个开集之交仍为开集：任意多个开集之并仍为开集(2）有限多个闭集之并仍为闭集：任意多个闭集之交仍为闭集证明(1)设Ui,,U为开集,VaEnUi,由定义,Fei>0,使得Be,(a)C=U,i=1,,k.令e=min[eili=1,,),则Be(a)cnU,故nU,为开集从开集的定义立即可以推出任意多个开集之并为开集(2）利用集合运算(AU...UA)=An...nA(NA)=UAY及(1)即可为了刻画闭集，我们引入极限的概念，它和实数列的极限概念是一致的定义2（极限）设[nJ-为X中点列，如果存在aoEX,使得>0.日N=N(e),当n≥N时，anEBe(ro)，则称[n)收到极限ao,记为lim fn = c0.注(1)limn=20台limp(n，20)=0.(2）由三角不等式和（1）易见，极限如果存在，则必唯一命题2集合A为闭集当且仅当A中任何收敛点列的极限仍在A中3
@ 1 ( ) ! U > X !Q, C ∀ x ∈ U, h ∃ ε > 0, % Bε(x) ⊂ U, s U >iQ; o&mQX)iQ. CYQ. F, X >iQ, - ∅ X)Q. De x !iQ> x !izl. % 1 i>iQ: ! x ∈ Br(x0), s ρ(x, x0) r} >iQ, Q>, )Q. -5 1 (1) eH,iQ; ],iQ; (2) eH,Q; ],Q. H, (1) ! U1, · · · , Uk >iQ, ∀x ∈ T k i=1 Ui , d&_, ∃εi > 0, % Bεi (x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , k. } ε = min{εi |i = 1, · · · , k}, s Bε(x) ⊂ T k i=1 Ui , > T k i=1 Ui >iQ, iQ!&_tSk[;],iQ. (2) rcQIp1 (A1 ∪ · · · ∪ Ak) c = Ac 1 ∩ · · · ∩ Ac h ( T α Aα) c = S α Ac α R (1) Sk. >xlJQ, Aa PH!9 , 3G$,y!PH9 )Y}!. @ 2 (:) ! {xn}∞ n=1 > X %y, Cr x0 ∈ X, % ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε), n ≥ N #, xn ∈ Bε(x0), s {xn} + PH x0, U> limn→∞ xn = x0. J (1) limn→∞ xn = x0 ⇔ limn→∞ ρ(xn, x0) = 0. (2) d ]Æ"&G (1) \Y, PHCr, s=Y. -5 2 QI A >Q d A H+v%y!PHr A . 3
证明设A为闭集，(an)CA,且limn=0.如果oA,则eo>0,使得Beo(ro)Ac，但lim an=o意味着，日N=N(eo)使得n≥N时EnEBeo(ro),这与anEA相矛盾因此CoEA.反之，如果A中任何收敛点列的极限仍在A中，则任取roA,考虑rn=n-1,如果Br,(ro)nA≠0,则取anEBrnA.从而an→o,这是矛盾因此3no>0使得Brn（o)CA，即Ac为开集，A为闭集83度量空间的完备性本节设（a,)为度量空间设[an)=1为X中点列如果e>0,日N=N(e),当n,m≥N时p(rm,rn)<8则称点列[an)为Cauchy列(或基本列)定义1（完备性）如果X中Cauchy列均为收敛点列，则称（X,)为完备度量空间注(1)收敛点列必为Cauchy列;(2)Cauchy列如果有收敛子列，本身也一定收敛（习题)命题1（Rn,·I）为完备度量空间证明设为R"中点列.把它写成分量形式In=(an,an,,an)则14()2/ = klIlc-l≤j=1因此，如果[rn]为Cauchy列，则J-对每个i=1,2,，n均为Cauchy列从而收敛设lim=o，则lim an = ro =(ro,ro,...,rn)设A为X中子集,称sup(p(r,y)lr,yEA)为A的直径记为diamA.直径有限的集合称为有界集合4
H, ! A >Q, {xn} ⊂ A, limn→∞ xn = x0. C x0 6∈ A, s ∃ ε0 > 0, % Bε0 (x0) ⊂ Ac , limn→∞ xn = x0 ]@, ∃ N = N(ε0) % n ≥ N # xn ∈ Bε0 (x0), tj xn ∈ A J+! ` x0 ∈ A. 0x, C A H+v%y!PHr A , s x0 6∈ A, j rn = n −1 , C Brn (x0) ∩ A 6= ∅, s xn ∈ Brn ∩ A. - xn → x0, t)+. `, ∃n0 > 0 % Brn0 (x0) ⊂ Ac , S Ac >iQ, A >Q. §3 (!9 ; _! (x, ρ) >)wmX. ! {xn}∞ n=1 > X %y. C ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε), n, m ≥ N # ρ(xm, xn) Cauchy y (MNy). @ 1 (9 ;) C X Cauchy yh>+v%y, s (X, ρ) > Cauchy y; (2) Cauchy yCe+vy, "XY&+v (C6). -5 1 (R n , k · k) > R n %y, 3O5wQ& xn = (x 1 n , x2 n , · · · , xn n ), s kx i k − x i l | ≤ Xn j=1 (x j k − x j i ) 2 1 2 = kxk − xlk `, C {xn} > Cauchy y, s {x i k }∞ k=1 * Cauchy y, -+v. ! limn→∞ x i k = x i 0 , s limn→∞ xn = x0 = (x 1 0 , x2 0 , · · · , xn 0 ). ! A > X Q, sup{ρ(x, y)|x, y ∈ A} > A !ye, U> diamA. ye eH!QI>eaQI. 4
下面设式理是R1中闭区也套原理设一般形式定理1设（X，p)为是量空也，则下列几条等价(1)(X,p）为完备是量空也(2)(Cantor）闭集套原理且这：若Fi）F2）·>Fn..·为一列非空闭集，且limdiamFn=0,则任在唯一设使aEnn=Fn.(3)闭球套原理且这：（2)中F换且直有（半有）趋于0设闭球时有相同结论证明(1)→(2)：取anEFn，由FnFn+1）...知(an,an+1,..)cFn.因此, m>n时p(am,an)≤diamFn-→0(n→)然而[an)为Cauchy列，设其极限为a，则a=limamEFn，Vn≥1,即aenFn.如果另有benFn，则125p(a,b)≤diamFn → 0 (n - 00)然而a=b.(2)→(3)：这是显然设(3)→(1).设an)为X中Cauchy列，为之证明这是一个收证使列，只须证明它包含一个收证子列即可由Cauchy列设式义，3niF+iD..另一方面diam F≤2 2-k→ 0, (k→ +),为任在aenFa然而有n=10≤p(a,ank)≤2-k→0(k→+80)5
D!&q) R 1 X4nq!YQ&. $ 1 ! (X, ρ) >)wmX, sDyT8"W: (1) (X, ρ) > Fn ⊃ · · · >Yy4m Q, lim n→+∞ diamFn = 0, sr=Y!% a ∈ T∞ n=1 Fn. (3) 4nqt: (2) Fi Kye (e) h 0 !#eJ:` . H, (1)⇒(2): an ∈ Fn, d Fn ⊃ Fn+1 ⊃ · · · w {an, an+1, · · · } ⊂ Fn. ` , m > n # ρ(am, an) ≤ diamFn → 0 (n → ∞) - {an} > Cauchy y, !PH> a, s a = limn→∞ am ∈ Fn, ∀n ≥ 1, S a ∈ T∞ n=1 Fn. C|e b ∈ T∞ n=1 Fn, s ρ(a, b) ≤ diamFn → 0 (n → ∞) - a = b. (2)⇒(3): t)F!. (3)⇒(1). ! {an} > X Cauchy y, >xvt)Y Fk+1 ⊃ · · · . |Y2, diam Fk ≤ 2 · 2 −k → 0, (k → +∞), >r a ∈ T∞ n=1 Fk. -e 0 ≤ ρ(a, ank ) ≤ 2 −k → 0 (k → +∞) 5
即子列【ank}收敛于a.完备度量空间有如下有用的压缩映像原理定义2（压缩映射）设A为X的子集，映射f：A→A如果满足以下条件:(*)存在常数0≤qn,n→)≤1- 9这说明【an为Cauchy列.设其极限为a，则aEA，且p(f(a),a) ≤ p(f(a),f(an))+p(f(an),f(a)+p(an,a)≤ pp(a,an)+qn.p(a1,ao)+p(an,a)→0 (n-o)这说明f(a)=a.唯一性若f(6)=b,则p(a,b) = p(f(a), f(b)) ≤ q p(a,b)这说明p(a,b)=0,从而a=b6
Sy {ank } +vh a. 4A0) ! A > X !Q, b f : A → A C[D8 Z: (∗)r, 0 ≤ q V2b . $ 2 (>4A0F$) C A >V2b , sr=Y!% a ∈ A, % f(a) = a (Æ'%). H, a0 ∈ A, $B#&_ A %y {an} D: an = f(an−1), n = 1, 2, · · · , s ρ(an+1, an) = ρ (f(an), f(an−1)) ≤ q · ρ(an, an−1), ∀ n ≥ 1 -e ρ(an+1, an) ≤ q · ρ(an, an−1) ≤ q 2 ρ(an−1, an−2) ≤ · · · ≤ q n · ρ(a1, a0), ∀n ≥ 0 ρ(am, an) ≤ ρ(am, am−1) + ρ(am−1, am−2) + · · · + ρ(an+1, an) ≤ (q m−1 + q m−2 + · · · + q n ) · ρ(a1, a0) ≤ q n 1 − q · ρ(a1, a0) → 0, (m > n, n → ∞). t. {an} > Cauchy y. !PH> a, s a ∈ A, ρ(f(a), a) ≤ ρ(f(a), f(an)) + ρ(f(an), f(a) + ρ(an, a) ≤ ρ · ρ(a, an) + q n · ρ(a1, a0) + ρ(an, a) → 0 (n → ∞) t. f(a) = a. =YR: f(b) = b, s ρ(a, b) = ρ(f(a), f(b)) ≤ q · ρ(a, b) t. ρ(a, b) = 0, - a = b. 6
84度量空间与紧致性设S为度量空间(X,p)的子集,如果 SCUGa，则称[Ga}为S的一个覆盖.当G均为开集时，称{G。}为开覆盖：只有有限个元素的覆盖称为有限覆盖，由G中若干元素组成的覆盖称为子覆盖定义1（紧致性）如果集合S的任何开覆盖都有有限子覆盖，则称S为紧致集合.命题1紧致集合必为有界闭集证明设A为紧致集合，取aEA,因为AcUBn(a),，故3n1,,nk，使得ACUBn(a)=Bn(a),N=max[n1,"，nk).因此A为有界集合下面证明Ac为开集事实上,任取bA,考虑A中任意一点a,取0<r(a)p(a,b),则Br(a)(a)nBr()(b)=,且ACUBr(a)(a)，由假设，存在a1,,akEA使得A c Br(a (ai), 令r =(r(ai),则 B,(b)n Br(a) (a) = 0, i= 1,,k. 从而-Br(b)nA=0,即A°为开集，A为闭集定理1设A为Rn中子集，则以下几条等价(1）A为紧致集合；(2）A为序列紧致集合：即A中任何点列均有收敛子列，且该子列极限仍在A中(3)A为有界闭集证明(1)→(2).(反证法).设(an)为A中点列，且它无收敛于A中点的子列，则VaEA,存在开球Br(a)(a)，使得Br(a)(a)最多只含有(an)中有限项显然，ACUBr(a)(a)，由紧致性，存在a1,.ak使得ACUBr(a)(ai)，特别地，{an}中只有限项能出现在A中，这是矛盾！(2）→(3)。先证A有界，(反证法).如果日an EA，使得p(ao,an）→αo(n→oo)，则显然(an}中无收敛子列，这是矛盾！再证A为闭集，仍用反证法则存在anEA,liman=aA.[an)的—一切子列均收敛于aA,这与序列紧矛盾！7
§4 (!D I; ! S >)wmX (X, ρ) !Q, C S ⊂ S α Gα, s {Gα} > S !YiQ#, {Gα} >i6:; |eeHeH6 :, d {Gα} ;m0!6:>6:. @ 1 ( I;) CQI S !Hi6:(eeH6:, s S > c}QI. -5 1 c}QI>eaQ. H, ! A >c}QI, a ∈ A, `> A ⊂ S∞ n=1 Bn(a), > ∃ n1, · · · , nk, % A ⊂ S ni Bni (a) = BN (a), N = max{n1, · · · , nk}. ` A >eaQI. Dv Ac >iQ. ($ , b ∈ A, j A ]Y% a, 0 iQ, A >Q. $ 1 ! A > R n Q, s[DT8"W: (1) A >c}QI; (2) A >Tyc}QI, S A H%yhe+vy, 8yPH r A ; (3) A >eaQ. H, (1) ⇒ (2). (0v/). ! {an} > A %y, 3B+vh A %! y, s ∀a ∈ A, ri Br(a) (a), % Br(a) (a) ,|De {an} eHK. F, A ⊂ S a∈A Br(a) (a), dc}R, r a1, · · · , ak % A ⊂ S k i=1 Br(ai) (ai), 5 #, {an} |eHK Gr A , t)+! (2) ⇒(3). Ev A ea, (0v/). C ∃ an ∈ A, % ρ(a0, an) → ∞ (n → ∞), sF {an} B+vy, t)+! qv A >Q, c0v/. sr an ∈ A, limn→∞ an = a 6∈ A. {an} !Yyh+vh a 6∈ A, tjTyc +! 7
(3)→（反证法).设A为有界闭集，且存在A的开覆盖[U}，使得其任何有限个元素均无法覆盖A.取闭正方体IoA，将I1做2"等分，必有一等分I2CI1，使得I2nA不能被有限个U覆盖依此类推，得一串闭立方体IiI2D.，diamIm→0（m→8).由闭集套原理，存在唯一的点aEnImnA又因为[U]为A的开覆盖，故存在Qo使得aEUao:于是m充分大时必有ImCU&o：这与ImnA不能被有限个U&覆盖相矛盾！推论Rn中有界点列必有收敛子列（：含于某闭球或立方体中)定义2(道路连通)85连续映射回忆下连续函数的定义：f：R→R在To处连续是指，Ve>0.38>C使得[-ol0,>0使得f(B(ro))CB(f(ro)),则称f在o处连续如果处处连续，则称于为连续映射命题1（连续映射的刻画）设f：X→Y为度量空间之间的映射，aoEX则(1)f在ao处连续台对任意收敛于o的点列an，均有limf(rn)=f(aro)(2)f为连续映射台对V开集VCYf-1(V)为X中开集；(3)f为连续映射台对V闭集VCY，f-1(V)为X中闭集证明(1)“→”设f在o处连续，则Ve>0,3>0使得f(B(co) C B (f(co)因为an→o,故n充分大时anEB(co)，从而f(an)EB（f(co)),即f(an）→f(ro).“”(反证法）如果在ro处连续，则eo>0使得对=, nB(ro),而f(an）B(f(ro)).显然an→ro，但f(an）+f(ro),矛盾！(2)，(3)：留作习题8
(3) ⇒ (0v/). ! A >eaQ, r A !i6: {Uα}, % HeH {Uα} > A !i6:, >r α0 % a ∈ Uα0 . h) m 5#e Im ⊂ Uα0 . tj Im ∩ A Æ eH 0, ∃ δ > 0 % |x − x0| )wmX (X, ρ1), (Y, ρ2) xX!b , ! x0 ∈ X. C ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 % f(BX δ (x0)) ⊂ BY ε (f(x0)), s f r x0 uU. C f uU, s f >uUb . -5 1 (&)wmXxX!b , x0 ∈ X. s (1) f r x0 uU ⇔ *]+vh x0 !%y xn, he limn→∞ f(xn) = f(x0); (2) f >uUb ⇔ * ∀ iQ V ⊂ Y , f −1 (V ) > X iQ; (3) f >uUb ⇔ * ∀ Q V ⊂ Y , f −1 (V ) > X Q. H, (1) “⇒” ! f r x0 uU, s ∀ε > 0, ∃ δ > 0 % f(B X δ (x0) ⊂ B Y ε (f(x0)). `> xn → x0, > n 5# xn ∈ BX δ (x0), - f(xn) ∈ BY ε (f(x0)), S f(xn) → f(x0). “⇐” (0v/) C f r x0 uU, s ∃ ε0 > 0 % * δ = 1 n , ∃ xn ∈ BX 1 n (x0), - f(xn) 6∈ BY ε0 (f(x0)). F xn → x0, f(xn) 6→ f(x0), +! (2), (3): ~C6. 8
注(1)如果A为X之子集f：A→Y为映射，则把X的度量限制于A从而A也为度量空间（子度量空间），此时可以定义于的连续性，并有类似的刻画.(2)设f :A→Y连续如果 >0, 日>0使得pi(a1,a2)0,使得对0=,3am,bn E A,使得pi(an,bn) e0:由84定理1，【an和[bn]分别存在收敛子列，不妨设它们本身是收敛的，an一→ao,bn→ bo,则Pi(ao,bo)≤Pi(ao,an)+Pi(an,bn)+pi(bn,bo)<= + pi(ao, an) + pi(bm, bo) → 0即ao=bo.但E0<p2(f(an),f(bn))≤ P2(f(an),f(ao) +p2(f(bo),f(bn))→0这是矛盾！推记连续映射（连续函数)f：X→R在紧致集合上可以取到最大值，最小值定义2（道路连通）设G为X的子集如果任给T1.2EG.均存在连续映射(连续曲线):I=[0,1]→X使得(0)=1,α(1)=2,α(I)G,则称G道路连通命题2R1中道路连通集合必为区间9
J (1) C A > X xQ, f : A → Y >b , s X !)wH~h A, - A X>)wmX ()wmX), #k[&_ f !uUR, eo/!l J. (2) ! f : A → Y uU, C ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 % ρ1(a1, a2) Y}uUb . $ 1 (&uUb , s (1) f X c}QIb> Y c}QI; (2) f rc}QI Y}uU. H, (1) ! A > X c}QI, f(A) !i6: {Vα}, s {f −1 (Vα)} > A !i6:, - ∃ α1, · · · , αk % A ⊂ S k i=1 f −1 (Vαi ). t. f(A) ⊂ S k i=1 Vαi . (2) ! A >c}QI. C f r A Æ)Y}uU!, s ∃ ε0 > 0, % * δ = 1 n , ∃ am, bn ∈ A, % ρ1(an, bn) ε0. d §4 &q 1, {an} G {bn} 5 r+vy, Æ3!3")+v!, an → a0, bn → b0, s ρ1(a0, b0) ≤ ρ1(a0, an) + ρ1(an, bn) + ρ1(bn, b0) X !Q, C= x1, x2 ∈ G, hruU b (uUI) σ : I = [0, 1] → X % σ(0) = x1, σ(1) = x2, σ(I) ⊂ G, s G u9. -5 2 R 1 u9QI>X. 9
证明设GRI道路连通，a,bEG.我们证明[a,b] CG.事实上，由定义存在连续映射f:[0,1]→R,使得f(0)=a,f(1)=b,f([0,1)) CG.f为一元连续函数，由介值定理，[a,b]Cf([0,1])CG定理2（连续映射与连通性）连续映射把道路连通的集合映为道路连通集合证明设GCX道路连通，f：X→Y连续任取y1,y2Ef(G),则存在1,2EG使得f(r1)=91,f(a2)=y2由定义，存在连续映射α：[0,1]→X使得(0)=1,(1)=2,([0,1) G.复合映射f:[0,1] →Y连续,且f o o(0) = f(r1) =1, f o α(1) = f(r2) = y2, f o o([0, 1)) C f(G). f oα 就是 f(G)中连接91,92的道路.推论设f：X→R为连续函数，GCX道路连通(1)如果存在1:2EG.使得f(r)f(T2)0,3S>0使得当0 < Il(a, y) - (ro, yo)l = V(α - o)2 + (y - yo)2 < 8时,If(r,y)-A|<e就称f在（Co.yo）处有极限（重极限），记为limf(a,y)= A(a,9)—(ro.30)或lim f(r,y) = A.y-90如果对于每一个固定的y，极限limf(a,y)=p(y)存在，则可以定义极限lim lim f(a,y)= lim (y)y-9or-y→+u类似地定义limlimf(a,y)，称它们为累次极限10
H, ! G ⊂ R 1 u9, a, b ∈ G. Av [a, b] ⊂ G. ($ , d&_, ruUb f : [0, 1] → R, % f(0) = a, f(1) = b, f([0, 1]) ⊂ G. f >Ymu UE, dbz&q, [a, b] ⊂ f([0, 1]) ⊂ G. $ 2 (& u9 QI. H, ! G ⊂ X u9, f : X → Y uU. y1, y2 ∈ f(G), sr x1, x2 ∈ G % f(x1) = y1, f(x2) = y2. d&_, ruUb σ : [0, 1] → X % σ(0) = x1, σ(1) = x2, σ([0, 1]) ⊂ G. 7Ib f ◦ σ : [0, 1] → Y uU, f ◦ σ(0) = f(x1) = y1, f ◦ σ(1) = f(x2) = y2, f ◦ σ([0, 1]) ⊂ f(G). f ◦ σ f) f(G) u^ y1, y2 ! . 7+ ! f : X → R >uUE, G ⊂ X u9. (1) Cr x1, x2 ∈ G, % f(x1) · f(x2) .mE,. R 2 !%c (x, y) '. ! (x0, y0) ∈ R 2 , C ∃ A ∈ R, % = ε > 0, ∃ δ > 0 % 0 lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A M x lim→x0 y→y0 f(x, y) = A. C*hYnPH. 10