第五节极限存在准则连续复利两个重要极限夹逼准则单调有界收敛准则四、小结思考题经济数学微积分
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 四、小结 思考题 极限存在准则 两个重要极限 第五节 三、连续复利 连续复利
一、夹逼准则准则 I如果数列x,,J,及 z,满足下列条件：(n =1,2,3...)(1) yn ≤xn ≤zn(2) lim yn = a,limzn = a,n->0n8那末数列x,的极限存在，且limx，=a.n→证 yn→a, zn→a,V>0,N, >0,N,>0,使得微积分经济数学
一、夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列 n x 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N,时恒有ly,-aN,时恒有zn-αN时,恒有a-<y,≤xn≤zn<a+8,即xα<成立.. lim xn = a.n→8上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限L微积分经济数学
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
0准则丨／如果当xEU(x,)(或x>M)时,有(1) g(x)≤ f(x)≤ h(x),(2) lim g(x) = A,lim h(x) = A.X-→XoX→Xo(x>00)(x->00)那末 lim f(x)存在，且等于A.x-→xo(x→00)准则和准则I称为夹逼准则注意：利用夹逼准则求极限关键是构造出y,与zn，并且J,与z,的极限是容易求的。经济数学微积分
准则Ⅰ′ 如果当 ( , ) 0 0 x U x (或 x M)时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那 末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存 在, 且等于 A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则
作为准则I’的应用，下面证明一个重要的极限sin xlim1x-→0x如右图，设单位圆0.4D元圆心角ZAOB=x(0<x<2作单位圆的切线，得4ACO扇形OAB的圆心角为x，△OAB的高为BD于是有 sinx = BD,，x=弧AB,tanx = AC.经济数学微积分
A C 作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限 1 sin lim 0 = → x x x 如右图，设单位圆 O, 于是有 sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD, (0 ) 2 AOB x x 圆心角 =
sinx即cosx:. sinx <x <tanx,<1.x元<时,当0<上式对于<x<0也成立.x22x2 x0<cosx-1=1-cosx =2sin222: 0,.:. lim(1 - cos x) = 0,Jim2x-→0x-→0sinx又: lim1=1,.. lim.:. limcos x = 1,x-→0x-→0x-→0xC经济数学微积分
sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x
tanx求lim例1x→0xsinxtanx解limlimx→0x-→0xxcos x1mjimmx→0x-0 cosxx经济数学微积分
例 1 解 0 tan lim . x x → x 求 0 0 tan sin 1 lim lim x x cos x x → → x x x = 0 0 sin 1 lim lim 1 x x cos x → → x x = =
1 - cosx例2求 limx-→0xX22 sinsin22解?原式=limlimx-→02 x→0xsin2x2 x→0222经济数学微积分
例 2 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 = . 21 =
arcsinx求lim例3x-0x令t=arcsinx，于是x= sint，在x→0,有t→0解由复合函数的极限运算法则得arcsinxlimlimx-→0t-0sintx微积分经济数学
例 3 解 0 arcsin lim . x x → x 求 令t x = arcsin ，于是x t = sin ，在x t → → 0, 0. 有 由复合函数的极限运算法则得 0 0 arcsin lim lim 1 x t sin x t → → x t = =
sinx求lim例 4X-→元 X-元解令t=x一元，则元+tsin x1limlimt-→0tX→元×—元-sint= limtt-→>0经济数学微积分
例 4 sin lim . x x → x − 求 解 令t x = − , 则 sin limx x → x − ( ) 0 sin limt t t → + = 0 sin limt t → t − = = − 1