极限第二章习题课主要内容典型例题经济数学微积分
主要内容 典型例题 习 题 课 第二章 极 限
一、主要内容()极限的概念(二)连续的概念经济数学微积分
（一）极限的概念 （二）连续的概念 一、主要内容
数列极限函数极限无穷大两者的关系limf(x)=00limx,=alim f(x) = Alim f(x)= An-00X-→X,X0无穷小极限存在的左右极限无穷小的比较lim f(x)= 0充要条件判定极限两个重要等价无穷小无穷小存在的准则极限及其性质的性质唯一性求极限的常用方法极限的性质经济数学微积分
左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 xn a n = → lim f x A x x = → lim ( ) 0 f x A x = → lim ( ) 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 lim f (x) = 0 两者的 关系 无穷大 lim f (x) =
1.极限的定义定义①如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式x，一a0,3N>0,使n>N时,恒有x,-a<ε.经济数学微积分
0,N 0, n N , x − a . 使 时 恒有 n 1. 极限的定义 " − N"定义 定义① 如果对于任意给定的正数 (不论它 多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时 的一切xn ,不等式 x − a n 都成立,那末就称 常数 a是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于 a ,记为 lim x a, n n = → 或 x → a (n → ). n
定义②设函数f(x)在点x.的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数，使得当X满足不等式00,8>0,使当0<x-x<8时恒有,f(x)- A<8.微积分经济数学
定义② 设函数 f ( x) 在点 0 x 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 ,使得当 x满足不等式 − 0 x x0 时，对应的函数值 f ( x)都满足 不等式 f ( x) − A ,那么常数 A 就叫函数 f (x)当 x → x0 时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时
左极限V>0,3>0,使当x。-0,>0,使当x<x<x+时,右极限恒有)f(x)- A<8.记作lim f(x)= A 或 f(xo +0)= A.x→xo+0(x→xt)定理: lim f(x)= A台 f(xo -0)= f(x + 0)= A.x-→xo华经济数学微积分
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理
定义③设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，对于任意给定的正数8（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-A80lim f(x)= A←)"&-X"定义roV>0,X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A<.经济数学微积分
" − X"定义 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . = → f x A x lim ( ) 定义③ 设函数 f ( x)当 x 大于某一正数时有定 义，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存 在正数 X ,使得当 x满足不等式 x X 时，对应 的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A ,那 么常数 A就叫函数 f (x)当 x → 时的极限,记 作lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当
★另两种情形：1℃. x →+ 情形: lim f(x)= A台Vε>0,X >0, 使当x >X时,恒有f(x)-A0,X >0,使当x<-X时,恒有Lf(x)-A<.定理: lim f(x) = A台 lim f(x) = A且 lim f(x) = A.华微积分经济数学
1 . : 0 x → + 情形 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f (x) − A . 2 . : 0 x → − 情形 = →− f x A x lim ( ) 0,X 0,使当x −X时,恒有 f (x) − A . = →+ f x A x lim ( ) ★另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ 且 →−
2.．无穷小与无穷大无穷小：极限为零的变量称为无穷小记作 lim f(x)=0 (或lim f(x)= 0)x→xx8无穷大：绝对值无限增大的变量称为无穷大记作 lim f(x)= 0 (或lim f(x) = 0).xx→x无穷小与无穷大的关系在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大经济数学微积分
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 记作 或 无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大. lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 记作 或 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2. 无穷小与无穷大
无穷小的运算性质定理1在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小经济数学微积分
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质