第三章导数与微分习题课主要内容典型例题经济数学微积分
主要内容 典型例题 第三章 导数与微分 习 题 课
一、主要内容dy关系= y' dy = y'dx ← Ay = dy + o(△x)dx导数微分基本公式Aylimdy=y△x高阶导数Ar-0 △x求导法则经济数学微积分
求 导 法 则 导 数 基本公式 x y x →0 lim 微 分 dy y x = 关 系 d d d d d ( ) y y y y x y y o x x = = = + 高阶导数 一、主要内容
1.导数的定义定义设函数y= f(x)在点x的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量△x(点xo+△r仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Ay=f(xo+△Ax)-f(xo);如果△y与x之比当△x一→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点xo处可导,并称这个极限为函数y=f(x)dydf(x)或x=x，即在点x处的导数，记为yx=xo'dxX=xodxAyf(x + △r)- f (x)limlim-X=XoAr→0AxAr-→0 Ax经济数学微积分
1.导数的定义 在 点 处的导数 记 为 或 即 在 点 处可导 并称这个极限为函数 如 果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在 点 的某个邻域内有定义 , d d ( ) d d , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x f x x y x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = = = = → = + − + 定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → =
单侧导数1.左导数：f(xo +Ax)- f(xo)f(x)-f(xo)f'(xo)= limlimArAx-→-0x-→xo-0x-xo2.右导数：f(x + Ax)- f(xo)f(x)- f(xo)f*(x)= limJimArx-→xo+0Ar-→+0x-xo函数f(x)在点x。处可导台左导数f'(x）和右导数f(x。)都存在且相等经济数学微积分
2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f − 和右 导数 ( ) x0 f + 都存在且相等
2，基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）(C)= 0(x")= μxu-1(sin x)'= cosx(cosx)'= -sin x(tanx)'= sec? x(cotx)' = -csc* x(secx)'= secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a")= a*Ina(e")'=er1(loga x)' =(lnx)'= 1xlnax11(arcsinx)(arccosx)'-/1-xV1-x11(arctanx)(arccotx)'1+x21+x2V福经济数学微积分
2. 基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec tg (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x x x x x x x C a x x + = − = = = = = = = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc ctg (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x x x x x x x x x x x + = − − = − = = = − = − = − = − arc
3．求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)可导，则(1）(u±v)'=u'±v，(2）(cu)'=cu'是常数)u'v-uv(3) (uv)'=u'v+uv,(4) (")=(v0)L(2)反函数的求导法则如果函数x = (y)的反函数为y= f(x),则有1f'(x) :p'(x)经济数学微积分
3. 求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u v) = u v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2 − = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x = 如果函数 = 的反函数为 = 则有
（5）隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导(6)参变量函数的求导法则x = p(t)若参数方程确定y与x间的函数关系(y=y(t)业业d'y_y"(t)p(t)-y'(t)p"(t)dy(t)Wdxdxp'(t)dx2p"3(t)dt经济数学微积分
(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. , ( ) ( ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 y t x t = = ; ( ) ( ) d d d d d d t t t x t y x y = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 2 3 2 t t t t t x y − = (6) 参变量函数的求导法则
(3)复合函数的求导法则设y= f(u),而u=Φ(x)则复合函数y= f[p(x)的导数为dy_ dy du或y'(x)= f'(u)·p'(x).dxdudx(4)对数求导法先在方程两边取对数然后利用隐函数的求导方法求出导数。适用范围：多个函数相乘和幂指函数u(x)"x)的情形经济数学微积分
(3) 复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). d d d d d d ( ), ( ) [ ( )] y x f u x x u u y x y y f u u x y f x = = = = = 或 设 而 则复合函数 的导数为 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形
4，高阶导数（二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数）f'(x+ △x)- f'(x)(f'(x) = lim二阶导数AxAx-→0d° f(x)d记作或Wdr?dx二阶导数的导数称为三阶导数，f"(x),dx一般地,函数f(x)的n一1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作d"f(x)d"1,(n)或f(n)(x):dx"dx"经济数学微积分
4. 高阶导数 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 x f x x f x f x x + − = → 二阶导数 记作 . d d ( ) d d ( ), , 2 2 2 2 x f x x y f x y 或 . d d ( ), , 3 3 x y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . d d ( ) d d ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x f x x y f x y 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
5.微分的定义定义设函数y= f(x)在某区间内有定义,xo及xo +△r在这区间内，如果Ay = f(xo + Ar) - f(xo) = A. Ax + o(Ax)成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y= f(x)在点x,可微,并且称A·△x为函数y=f(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分,记作dyx=x,或df(xo),即dy x=x, = A·Ar.微分dy叫做函数增量y的线性主部（微分的实质）经济数学微积分
5. 微分的定义 定义 d . , d d ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y A x x y f x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x = = = = + − = + = + = 于自变量增量 的微分 记 作 = 或 即 在 点 可 微 并且称 为函数 在 点 相 应 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)