第四节有理函数的积分一、六个基本积分二、待定系数法举例三、小结经济数学微积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例 三、小结 第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分定义有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数P(x)a,x" +a,x"-I +...+an-x+a,O(x) b,x" +b,xm- +..+bm-1x+b,其中m、n都是非负整数；αo,αi,,n及bo,br,,bm都是实数，并且a。≠0，b,≠0.经济数学微积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、六个基本积分 定义
假定分子与分母之间没有公因式(l）n<m，这有理函数是真分式;(2）n≥m，这有理函数是假分式：利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x3+x+11例=x+x2+1x2+1难点 将有理函数化为部分分式之和经济数学微积分
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为以下六个类型的基本积分的代数和：dxInx+a+Cx+adx12.(1-n)(x+a)"-I +C(n ≥ 2)(x+a)"1dxxarctan=+C3.+aaa经济数学微积分
理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为 以下六个类型的基本积分的代数和: d ln x x a C x a = + + + 1 d 1 ( ) (1 )( ) n n x C x a n x a − = + + − + 2 2 d 1 arctan ( ) x x C x a a a = + + 1. 2. 3. (n 2)
xdx=In(x2 +a')+C4.222X+a1xdx5.2(1-n)(x*+a)-I+C (n≥2)(x2+a')"dx(n ≥ 2)5可用递推法求出x?+a?)"微积分经济数学
4. 5. 6. 2 2 2 2 d 1 ln( ) 2 x x x a C x a = + + + 2 2 2 2 1 d 1 ( ) 2(1 )( ) n n x x C x a n x a − = + + − + 2 2 d ( )n x x a + ( 2) n ( 2) n 可用递推法求出
※二、待定系数法举例有理函数化为部分分式之和的一般规律：(1）分母中若有因式（x一a)，则分解后为AAA(x-a)k + (x-a)k-1x-a其中A,A,,A,都是常数A特殊地：k=1，分解后为x-a经济数学微积分
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A − ※二、待定系数法举例
(2）分母中若有因式(x2+ px+)，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+NM,x+ N,M.x+ N(x* + px + g) + (x + px+a)k-Ix? + px + q其中M,N,都是常数(i=1,2,,k)Mx + N特殊地：k=1，分解后为x? + px +q微积分经济数学
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
真分式化为部分分式之和的待定系数法Bx+3Ax+3例1x2-5x+6 - (x-2)(x-3)x-3x-2x +3= A(x-3)+ B(x-2)x+3 =(A+B)x-(3A+2B)A+B=1,A=-50B=6-(3A+2B)= 3,6x+3-5x2-5x+6x-3x-22微积分经济数学
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
BcA1例2x-1(x-1)xx(x-1)(1)1 = A(x -1) + Bx +Cx(x -1)代入特殊值来确定系数A,B,C取x=0,=A=1取x=1,=B=1取 x= 2, 并将 A,B值代入(1) →C=-11111(x-1)2x(x -1)x-1x馆微积分经济数学
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
1ABx + C例31+x?(1+ 2x)(1+ x2) 1+2x1= A(1 + x2)+(Bx +C)(1+ 2x)整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A,A+2B=0,24B+2C=0, =A:K555A+C=1,241x+15551+x?(1+2x)(1 +x2) 1 + 2x微积分经济数学
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得