第五节向量及其线性运算向量及其几何表示向量的线性运算向量的坐标四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影六、小结思考题经济数学微积分
第五节 向量及其线性运算 一、向量及其几何表示 四、利用坐标作向量的线性运算 二、向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题 三、向量的坐标
一、向量及其几何表示M2向量(vector)：既有大小又有方向的量M表示法：有向线段MM,,或a，或a..以M,为起点，M,为终点的有向线段向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量OM：向量的模：向量的大小，记M,M，a，a经济数学微积分
向量(vector)：既有大小又有方向的量. 以M1为起点，M2为终点的有向线段. M1 M2 一、向量及其几何表示 向径：空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量 OM . M 表示法: 向量的模 : 向量的大小,记 有向线段 M1M2 ,或 a , 或
自由向量：不考虑起点、终点位置的向量，相等向量：大小相等且方向相同的向量ab负向量：大小相等但方向相反的向量，记为一，a-a因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线：经济数学微积分
自由向量：不考虑起点、终点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a . − a b a − a 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线
空间两向量的夹角的概念：6a±0, b±0,9a向量与向量b的夹角p =(a,b)=(b,a)(0 ≤β ≤元)类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与元之间任意取值。经济数学微积分
空间两向量的夹角的概念： 0, a 0, b a b 向量a 与向量b 的夹角 (a,b) = (b,a) = 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. (0 )
向量的线性运算二、向量的加法a+b=ca（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）特殊地：若 lb分为同向和反向b=|a|+|bcabtac=[a|-1bi经济数学微积分
二、向量的线性运算 向量的加法 a b c + = a b c （平行四边形法则） 特殊地：若 a ‖ b a b c | c | | a | | b | = + 分为同向和反向 b a c | c | | a | | b | = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则）
向量的加法符合下列运算规律：(1）交换律：a+b=b+a.(commutativity)(2)结合律：a+b+=(a+b)+=a+(b+)(associativity)(3) a+(-a)=0.经济数学微积分
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a. + = + （2）结合律： a b c a b c + + = ( + ) + a (b c). = + + （3） ( ) 0. a + −a = (commutativity) (associativity)
注：向量的减法c= a-b=a+(-b)ra+b平行四边形法则万aa三角形法则经济数学微积分
注：向量的减法 a b a ( b) − = + − a b b − b c − a b + a b a − b 平行四边形法则 c = 三角形法则
向量加减法的坐标表达式(bx, b,, b,a+b=(ax+bx, a,+by, a,+b,a-b=(ax-bx, a,-b,a-192经济数学微积分
向量加减法的坐标表达式 a a a a = ( x y z , , ,) b b b b = ( x y z , , ,) a b a b a b a b + = + + + ( x x y y z z , , ) a b a b a b a b − = − − − ( x x y y z z , , )
（数乘）向量与数的乘法设是一个数，向量与的乘积规定为(l)>0，a与a同向，「a=alaa=0(2) 2 = 0,aa与a反向，「a=a(3) 2< 0,2a2经济数学微积分
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | = a a 2 a 2 1 − 向量与数的乘法（数乘）
数与向量的乘积符合下列运算规律：(1） 结合律： a(ua)=u(aa)=(au)a(2）分配律：（a+μ)a=a+uaa(a+b)=aa+ab经济数学微积分
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a) = a = () （2）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = +