第一节二重积分的概念与性质问题的提出、二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题经济数学微积分
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 第一节 二重积分的概念与性质
问题的提出一、1．曲顶柱体的体积(volume)柱体(cylindrical body)体积=底面积×高特点：平顶z= f(x,y曲顶柱体体积=？特点：曲顶(curvedvertex surface)经济数学微积分
柱体(cylindrical body)体积 =底面积×高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶(curved vertex surface). z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积(volume) 一、问题的提出
求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，先看动画演示经济数学微积分
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示
刚才大家看到是曲顶柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况。经济数学微积分
刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的 情况
曲顶柱体体积的计算步骤是：先分割曲顶柱体的z1= f(x,y)底，并取典型小区域△，求对应小曲顶柱体体积的近似值.用若于个小平顶柱(5i,n.)体体积之和近似表示曲顶柱体的体积20;Zf(5,n,)Ao.曲顶柱体的体积 V=lim2→0i=1经济数学微积分
曲顶柱体体积的计算步骤是： 用若干个小平顶柱 体体积之和近似表 示曲顶柱体的体积. x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = 曲顶柱体的体积 → 先分割曲顶柱体的 底，并取典型小区 域 ，求对应小 曲顶柱体体积的近 似值. i
2．求平面薄片的质量设有一平面薄片，占有xOv面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,J)在D上连续，平面薄片的质量为多少?将薄片分割成若干小块，J(Si,n)取典型小块，将其近似看作均匀薄片，求质量o所有小块质量之和olxnZ,M = limp(5,n;)Ao;.近似等于薄片总质量1→0i=1经济数学微积分
设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为(x, y)，假定 (x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，求质量. 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y O
二、二重积分的概念定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域△oi，△2，，△n，其中△,表示第i个小闭区域也表示它的面积，在每个△;上任取一点(;,n)，作乘积f(Si,n;)Ao:(i =1,2,..,n),n并作和Zf(5i,n:)Ao;i=1经济数学微积分
定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1， 2 , ， n ，其中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积，在每个 i 上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2, ,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 , 二、二重积分的概念
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,J)在闭区域D上的二重积分(doubleintegral)记为J f(x,y)do,n即Z(Si,:)Ao;lo= lim2-0i=1被积表达式面积元素积分区域积分变量被积函数积分和经济数学微积分
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y ) 在闭区域 D 上的二重积分(double integral)， 记为D f ( x, y ) d ， 即 ( , )d D f x y i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的。(2)当f(x,J)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在二重积分的几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积，当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值.经济数学微积分
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义: 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,D则面积元素（arealelement）为0xdo = dxdy故二重积分可写为[J f(x, y)do =[J f(x, y)dxdyDD经济数学微积分
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 域D， ( , )d ( , )d d D D f x y f x y x y = d d d = x y 故二重积分可写为 x y O D 则面积元素(areal element) 为