《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-1 函数的局部变化率——导数

第三章变量变化速度与局部改变量导数与微分估值问题

第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分

数学中研究导数、研究不定积分、定积分及其应用的部微分及其应用的部分，叫做微分学分，叫做积分学16世纪可追溯到微积分学应用萌古希腊和生我国魏晋时期本章介绍导数、微分的概念及其运算法则

数学中研究导数、 微分及其应用的部 分，叫做微分学. 研究不定积分、定 积分及其应用的部 分，叫做积分学. 微积分学 本章介绍导数、微分的概念及其运算法则. 可追溯到 古希腊和 我国魏晋 时期 16世纪 应用萌 生

第一节函数的局部变化率一导数主要内容：导数的概念与几何意义二、可导与连续的关系三、高阶导数的定义

第一节 函数的局部变化率 导数 一、导数的概念与几何意义 二、可导与连续的关系 三、高阶导数的定义 主要内容：

抽象导数概念的现实原型原型一平面上曲线的切线：yAM0曲线C在点M处的切线为点M,沿着曲线C趋近于点MM时割线MM,的极限位置.9x

一、抽象导数概念的现实原型 y x o C M M0 原型一 平面上曲线的切线： 0 0 . C M M C M MM 曲线 在点 处的 切线为点 沿着 曲线 趋近于点 时割线 的极限 位置

原型二自由落体t时刻的瞬时速度：取邻近t,的时刻t,运动时间△t,平均ASS-s..g速度"(t.+2△tt-to当t→t,时，取极限得AS瞬时速度 v=lim△tAt-→0g · (t, +t)= limg12t-→to瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限

0 t t 原型二 自由落体t 0 时刻的瞬时速度： t 瞬时速度 0 0 0 0 lim ( ) lim . 2 t t t S v t g t t gt  → →  =   + = = 瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限. 取邻近 的时刻 运动时间 平均 速度 0 0 0 0 , , ( ). 2 t t t S g S S v t t t t t   − = = = +  − 当t t → 0 时，取极限得

导数的概念与几何意义二、定义设函数f(x)在点x,的某一邻域内有定义,当x在x,处有增量△x时，函数f(x)有增量,以的Ay=f(x+x)-f(x),若当△x →0时Ax极限存在,则称该极限值为y=f(x)在x,处的dy或或 f'(x)导数，记作"dxX=XoX=X0

极限存在， 二、导数的概念与几何意义 d 记作 或 或 0 d 0 0 ( ). x x x x y y f x x = =   0 设函数f x x ( )在点 的某一邻域内有 0 当x x x 在 处有增量 时， 0 0  = + − y f x x f x ( ) ( ), 函数f x( )有增量 导数， 定义 0 则称该极限值为y f x x = ( )在 处的 y x   的 定义， 若当 →x 0时

f(x, +△r)- f(x.)Aylimlimx=XoAxAxAx-→0Ar-→0A→0台x→x若令x=x,+△x，该定义也可以写成f(x)- f(xo)f'(x) = limx→xox-Xo若该极限不存在，则称函数在点x,处不可导

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x −  = − 0 若令x x x = +  , 0  →  → x x x 0 该定义也可以写成 若该极限不存在，则称函数在点x0 处不可导. 0 0 0 0 0 ( ) ( ) x x lim lim x x y f x x f x y x x =  →  →  +  −  = =  

Ay当△x→0时?f'(x)Axyty=f(x)Ay斜率是MArAyM.f(xo)斜率是f'(xo).............Ar +ArxXo0

x y o y = f (x) 0 f x( ) x y x + x x0 0 M0 M y x   斜率是 0 斜率是 f x ( ) 当 时， 0 0 ( ). y x f x x   → →  

注意：(1)Ay是平均变化率Ax导数是平均变化率的极限Ayf'(x.)= lim是瞬时变化率Ax->0 △x(2)是表示导数的一个整体符号，（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度

注意： 0 0 ( ) lim x y f x  → x   =  是瞬时变化率 y x   是平均变化率 导数是平均变 化率的极限 （1） （2） d d y x 是表示导数的一个整体符号. （3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度

回顾原型一与原型二1.切线问题切线的斜率为 k=tanαf(x)- f(xo)= limx-→xox-xo= f'(x).2.自由落体运动的瞬时速度问题S-S.瞬时速度S'(t).limt=tot-→tot-to

2.自由落体运动的瞬时速度问题 瞬时速度 0 0 0 0 t t lim t t S S v t t = → − = − 0 = S t ( ). 1.切线问题 切线的斜率为 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − = − 0 = f x ( ). 回顾原型一与原型二 k = tan