六、极限的四则运算定理设lim f(x) = A,limg(x) = B,则(1) lim[f(x)±g(x)l= A±B;(2) lim[f(x): g(x)] = A·B;Af(x)(3) lim其中B±0.Bg(x)推论1#如果lim,f(x)存在,而c为常数,则liml f(x)=clim f(x)这意味着，常数因子可以提到极限符号的外面
定理 推论1 lim ( ) , , lim[ ( )] f x c c f x 如果 存在 而 为常数 则 这意味着,常数因子可以提到极限 符号的外面. (1) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = (2) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = 设lim ( ) ,lim ( ) , f x A g x B = = 则 ( ) (3)lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 六、极限的四则运算 c = c lim ( ). f x
推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[ f(x)]" =[lim f(x)]".这意味着,求一个函数n次幂的极限等于该函数极限值的n次幂
推论2 这意味着,求一个函数 n 次幂的极限 等于该函数极限值的n 次幂. lim ( ) , , lim ( ) lim ( ) . ] [ ] n n f x n f x f x = 如果 存在 而 是正整数 则 [
例10 lim(2x2 +3x -4)x-→1= lim(2x2) + lim3x + lim(-4)x-→1x-→1x-1= 2limx? +3lim x -4x→1x-→1= 2(limx)2 + 3- 4x-→1limLf(x)±g(x)]=A±B=1.lim[cf(x)]= clim f (x)lim[f(x)]" = [lim f(x)]}"代数和的极限等于极限的代数和
例10 2 1 lim(2 3 4) x x x → + − 2 1 lim(2 ) x x → = = 1. 2 1 2lim x x → = 1 lim 3 x x → + 1 lim( 4) x→ + − 1 3lim 4 x x → + − 2 1 2(lim ) 3 4 x x → = + − 代数和的极限等于极限的代数和. lim[ ( ) ( )] f x g x A B = lim[ ( )] lim ( ) cf x c f x = lim[ ( )] [lim ( )] n n f x f x =
r2-1lim(x + 2) ± 0例11limxx+2x-→1lim x? lim(x2 --1x-→1x-→1一lim(x + 2)lim x + 2x-→1x-11-1Af(x)0.-其中B±0.lim1+2Bg(x)商的在对商求极限时,若分母不为0,极限等于先求极限后,再做除法
2 1 1 lim x 2 x → x − + 2 1 1 lim( 1) lim( 2) x x x x → → − = + 2 1 1 lim 1 lim 2 x x x x → → − = + 1 1 1 2 − = + = 0. 在对商求极限时,若分母不为0，商的 极限等于先求极限后,再做除法. lim( 2) 0 1 + → x x ( ) lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 例11
Af(x)其中B±0.limBg(x)4x2-1例12lim1由于lim(2x -1)= 0,2x-1r-2x-→2(2x -1)(2x + 1)limlim(4x2-1)1(2x-1)不能写成x→2lim(2x -1)1= lim(2x + 1)而在x→=时,2x-1±0,12x→2可以约分。2.=当分母的极限为0 的情形并约分要看分子，分母能否因式分解
2 1 2 4 1 lim x 2 1 x → x − − 1 2 (2 1)(2 1) lim x (2 1) x x → x − + = − 1 2 lim(2 1) x x → = + = 2. 要看分子,分母能否因式分解，并约分. 当分母的极限为0 的情形， 1 ,2 1 0, 2 而在x x → − 时 可以约分. 2 lim 4 1) lim 2 1) x x − − （ 不能写成 （ 1 2 lim(2 1) 0, x x → 由于 − = ( ) lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 例12
lim(x2 - 4) = 0,x-25x例13limx2-4可以因式分解2-4x-→2r但与分子不能约分，24x需要另外想办法lim:05xx-2注意当x→2时,分母是无穷小量,分子是常数5x8.:. lim22-4x->2X-对于分母求极限为0的情形1.要看能否因式分解2.考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质
2 2 5 lim x 4 x → x − 2 2 4 lim 0 x 5 x → x − = . 1. 要看能否因式分解； 对于分母求极限为0的情形， 2. 考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质. 2 2 5 lim x 4 x → x = − 2 2 2 lim( 4) 0, 4 x x x → − = − 可以因式分解 但与分子不能约分， 需要另外想办法. 2 , , 注意当x → 时 分母是 无穷小量 分子是常数. 例13
如何求有理根式的极限：例14 lim/n(n+2-/n-1)n>80分析与提示：将原式看作分式Vn(/n+2-/n-1)即 再有理化。1
如何求有理根式的极限： lim ( 2 1) n n n n → + − − 将原式看作分式， 分析与提示: ( 2 1) . 1 n n n + − − 即， ，再有理化 例14
14 lim/n(/n+2-/n-1)n8Vn(/n+2-/n-1)lim=1n-→n.(Un+2-n-1)(n+2+n-1)Jimn+2+n-1n-→003/nVn[(n + 2 -(n -1))limlimn->00Vn+2+Vn-1n→ /n+2+n-133im21n-→82+nnL当n→ 8时,是无穷小量n
( 2 1)( 2 1) lim 2 1 n n n n n n n n → + − − + + − = + + − 1 ( 2 1) lim + − − = → n n n n 2 1 3 lim + + − = → n n n n . 3 2 = 2 1 [( 2 ( 1)] lim + + − + − − = → n n n n n n n n n 1 1 2 1 3 lim + + − = → , a n n 当 → 时 是无穷小量 14 lim ( 2 1) n n n n → + − −
七、两个重要的极限sin xlim1)=1x→0xx一→0时，sinx与x为等价无穷小量,它们趋于0的速度一样
1 sin lim 0 = → x x x 1) 0 sin , 0 x x x → 时， 与 为等价无穷小量 它们 趋于 的速度一样. 七、两个重要的极限
3x2sin2xsin 2x例15limlim2xx-→0sin3x3sin3xx→0223xsin2xlimlim332xx=0 sin3xx-→0sin 2xsintt=2x其中，limlim2xt-→0tx-0
其中， 0 sin 2 15 lim x sin 3 x → x 例 = 1 sin lim 2 sin2 lim 0 2 0 ⎯ ⎯→ = → = → t t x x t t x x 0 2 3 sin 2 3 2 s lim x in 3 x x → x x x x x x x x sin3 3 lim 2 sin2 lim 3 2 →0 →0 = . 2 3 =