第二章微积分的直接基础一一极限习题课一、目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第二章 微积分的直接基础 极限 习题课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
自的要求★理解数列、函数定义的定性描述，能分析数列、函数的变化趋势；★理解无穷小量与无穷大量的概念及它们之间的互为倒数的关系，了解无穷小量的性质；☆会用两个重要极限解决求极限问题☆能够判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续的几何意义以及连续与极限存在的关系.会用连续性求极限
目的要求 ☆ 理解数列、函数定义的定性描述，能分析 数列、函数的变化趋势； ☆ 理解无穷小量与无穷大量的概念及它们之 间的互为倒数的关系，了解无穷小量的性质； ☆ 会用两个重要极限解决求极限问题； ☆ 能够判断简单函数（含分段函数）在一点 的连续性，理解函数在一点连续的几何意义 以及连续与极限存在的关系.会用连续性求极 限
知识网络图
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如果数列a！收敛，它的极限一定是设lim f(x) = A, lim g(x) = B,则唯一的．讠定性(1) lim[f(x)± g(x)]= A± B;定义定量(2) lim[f(x) : g(x)l = A· B;无穷小(大）f(x)A(3) lim :其中B±0Bg(x)sinx极限四则运算lim1x-0x两个重要极限求极限应用等式变形：分母lim(1+=)=e*的方法X->00x无穷小量分离法等代入法（函数的连续性）lim f(x)= f(xo)极限应用一连续函数X-→Xo闭区间连续函数的性质
定义 极限 无穷小（大）量 定义，都是变量 性质：无穷小量与有界变量 的乘积是无穷小量. 求极限 的方法 四则运算 代入法(函数的连续性) 两个重要极限 应用等式变形：分母有理化， 无穷小量分离法等 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 如果数列{ }收敛，它的极限一定是 唯一的. n a 闭区间连续函数的性质 定性描述 定量描述 (1) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = (2) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = 设lim ( ) ,lim ( ) , f x A g x B = = 则 ( ) (3)lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 0 sin lim 1 1 lim(1 ) e x x x x x x → → = + = e 极限应用 连续函数
重点与难点重点：求数列与函数的极限，无穷大量和无穷小量，连续性概念，难点：灵活运用各种方法求数列与函数的极限
重点：求数列与函数的极限，无穷 大量和无穷小量，连续性概念. 难点：灵活运用各种方法求数列与 函数的极限. 重点与难点
例题例1求极限Dlimxcotxx-→0该极限是0·8不定型，先用分析与提示：三角公式简化再利用重要的极限解题cos xsinx解 limxcot x = limxlimx-→0x-→0x-→0sinxxx= limlim cos xx-→0x-→0sin x=1
例1 求极限 0 1)lim cot x x x → 分析与提示：该极限是 不定型，先用 三角公式简化再利用重要的极限解题. 0 0 0 cos lim cot lim x x sin x x x x → → x 解 = 0 0 lim limcos x x sin x x → → x = = 1. 0 sin lim 1 x x → x = 例题
tanx -sinx2) limx-→0x0该极限是不定型，先用求分析与提示：极限四则运算法则，再用三角公式简化，解题时要考虑用重要的极限sinxtanx解 原式=limlimx-0x-→>0xxsin x= lim1x-0 xcosxsinx1=limlimx-→0x-0 cos xx= 0
0 tan sin 2)lim x x x → x − 0 sin lim 1 x cos x → x x = − 0 0 tan sin lim lim x x x x → → x x 解 原式 = − 0 0 sin 1 lim lim 1 x x cos x → → x x = − = 0. 分析与提示：该极限是 不定型，先用求 极限四则运算法则，再用三角公式简化，解 题时要考虑用重要的极限. 0 0
例2m-1-1+...+ax+ao+aMI = lim+ bn--xn-1 + ...+ b,x+ box>80bnx"分析与提示：该极限值与m,n间的关系有着直接的联系，因而要讨论三种情况3x2- 21) limm<n)Vx-→00 x无穷小量0-00.= lim1+0-0x-→84hY
例2 1 0 1 1 1 0 1 1 lim b x b x b x b a x a x a x a I n n n n m m m m x + + + + + + + + = − − − − → 该极限值与m n, 间的关系有着 直接的联系，因而要讨论 分析与提示: 三种情况. 0 0 0. 1 0 0 − = = + − 无穷小量 2 4 2 2 4 2 4 3 2 1) lim ( ) 1 1 1 3 2 lim 1 1 1 x x x m n x x x x x x → → − + − − = + −
4x3 +2x2 - x2) lim(m=n)2x3 -3x2 +1x-→004+ 2lim无穷小量11x-→802-3+X=2
3 2 3 2 4 2 2)lim ( ) x 2 3 1 x x x m n → x x + − = − + 无穷小量 2 3 1 1 4 2 lim 1 1 2 3 2. x x x x x → + − = − + =
4x42x-x3) lim(m>nx3-x2+1x1无穷小量lim11x→00+24x8
4 2 3 2 4 2 3)lim ( ) x 1 x x x m n → x x − − − + 无穷小量 2 3 2 4 1 1 4 2 lim 1 1 1 . x x x x x x → − − = − + =