第二节矛盾转化法一换元积分法与分部积分法主要内容：第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法
第二节 矛盾转化法 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 主要内容： 三、分部积分法
利用基本积分公式和积分的性质虽然可以求出不少函数的原函数，但仅有这些方法远远不够.比如，和 cos’ x sinxdx( (ax + b)"°dx就不能用这些方法求出，本节将介绍常见的两种积分方法一一换元法、分部积分法，解决具体问题时，有时需要将两种方法结合起来使用
利用基本积分公式和积分的性质， 虽然可以求出不少函数的原函数，但 仅有这些方法远远不够.比如， 就不能用这些方法求出，本节将介绍 常见的两种积分方法 换元法、分部 积分法，解决具体问题时，有时需要 将两种方法结合起来使用. 2 10 cos sin ( ) x x x ax b x + d 和 d
一、第一换元积分法考虑求不定积分[2xcos(x")dx.不行能用直接积分法吗？2x cos(x)dx = [ cos(x"(x")'dxdx?f'(x)dx = df(x)令x=ucosudu= sinu +C.从而[2xcos(x’)dx = sin x?2 +C
令 2 x u = 一 、第一换元积分法 考虑 2 求不定积分 2 cos( ) . x x xd 能用直接积分法吗？ 不行 2 2 cos( ) x x xd = d 2 cos( ) x x 2x 2 ( ) x 2 dx f x x f x ( ) ( ) d d = = d 2 2 cos( ) x x u u = sin . u C+ 2 x 从而 d 2 2 2 cos( ) sin . x x x x C = + u
对于不定积分(f(x)dx,如果无法直接计算,而被积函数可以分为两个部分：f(x) =g[p(x)lp(x)f'(x)dx = df(x)dp(x)那么dx =u=p(x)g(u)du如果g(u)du可以求出,原不定积分就解决了.这就是第一换元法，也称凑微分法
对于不定积分 d 如果无法直接计 算 而被积函数可以分为两个部分 ( ) , , : ( ) [ ( )] ( ) f x x f x g x x = u x = ( ) f x( ) g x x [ ( )] ( ) 那么 dx = dx g u u ( )d = 如果 d 可以求出 原不定积分就解决 了这就是第一换元法 也称凑微分法 ( ) , . , . g u u f x x f x ( ) ( ) d d = d( ) x
定理设g(u)及β'(x)连续,且F'(u) = g(u),则作变量代换u=Φ(x)后( g[o(x)lp'(x)dx = ( g[(x)]dp(x)= J g(u)du= F(x)+C= F[Φ(x)I+C.u证明 [F[@(x)+C}'=F(u))u复合函数求导g(u)u* =g[p(x)lp'(x)=根据不定积分的定义，结论成立
( ) F u ux 证明 [ [ ( )] ] F x C + = u F u( ) 复合函数求导 = g u( )ux =g x x [ ( )] ( ). 根据不定积分的定义，结论成立. 设 及 连续 且 则作变量代换 后 d d d 定 理 ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) , [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] . g u x F u g u u x g x x x g x x g u u F x C F x C = = = = = + = +
关键第一换元法求不定积分的步骤第一步：把被积函数f(x)分解成两部分因式相乘的形式，一部分是β(x)的函数另一部分是β(x)的导数;第二步： 凑微分β'(x)dx =dp(x),并作变量代换u=@(x),把关于x的不定积分转化成关于u的不定积分f(u)du
第一换元法求不定积分的步骤： ( ) ( ), ( ), ( ) . x x x u x x u f u u = = 凑微分 d d 并作 变量代换 把关于 的不定积分 转化成关于 的不定积分 步 d 第二 ： 关键 ( ) ( ) , ( ) f x x x 把被积函数 分解成两部分 因式相乘的形式，一部分是 的函数 另一部分 第一步： 是 的导数；
例1 求[ sin’ xcos xdx.解{sin’ x sin'x dx =I sin'xd sin xg(u)u=sinxsin xu=+C.4
d 3 sin cos x x x 1 4 4 = + u C 1 . 4 = + C 例 求 d 3 1 sin cos . x x x 解 3 sin x u x = sin d = d 3 sin x sin x g u( ) u x = sin u = sin x u 3 4 sin x
dx求例2(a +0)2a+x提示与分析：变形被积函数，用凑微分法求解1dxa?dx解分子、分母同除以a2+xaXa-0rdxda11x1+()u=aadu1+u0
d 2 2 x a x = + d 例 求 2 2 2 ( 0). x a a x + 解 2 1 a 提示与分析：变形被积函数，用凑微分法求解. d 2 2 x a x + 2 a 分子、分母同除以 2 a = dx 1 a 2 1 a 2 1 ( ) x a + 1 a 2 2 2 a x a + = d x a 1 a 2 1 ( ) x a + x u a = = d 2 1 1 u a u +
du1+u熟练后可以省略变量1-arctanu+Caxaarctan() +Ca
= d 2 1 1 u a u + = 1 arctanu C a +x u a = = 1 arctan( ) . x C a a + 熟练后可以省略变量 u
例3 求[xsin(x’) dx.解{ xsin(x")dx =[ sin(x")(x")'dx[ sin(x")(x’) dx/ssin(x°)dx2 :cosx +C三2说明使用第一积分公式的关键在于将[ f(x)dx 化为 J f[p(x)]p(x)dx
d 2 x x x sin( ) = d 2 sin( ) x x x 1 2 ( ) 2 x = ) d 2 2 sin( )( x x x = 1 2 cos . 2 − + x C 例 求 )d 2 3 sin( . x x x 解 d 1 2 2 sin( ) 2 x x 1 2 = 说明 使用第一积分公式的关键在于将 化为 f x x x [ ( )] ( ) . d f x x ( )d