第八章处理线性关系的数学问题一线性代数概述
第八章 处理线性关系的数学问题⎯ 线性代数概述
线性代数研究的对象是数组及其间的运算美系，线性代数是研究线性美系的学科.它的核心问题是美于解线性大程组，而历史上线性方程组理论的发展文促成了作务工真的矩阵论和行列式理论的创与发展，本章将要介绍这些内容中的基础
线性代数研究的对象是数组及其间 的运算关系,线性代数是研究线性关 系的学科.它的核心问题是关于解线 性方程组，而历史上线性方程组理论 的发展又促成了作为工具的矩阵论和 行列式理论的创立与发展，本章将要 介绍这些内容中的基础
第一节一种特殊数一行列式主要内容：行列式的概念与性质
第一节 一种特殊数——行列式 主要内容： 行列式的概念与性质
行列式定义一、行列式概念来源于线性方程组求解已知:「a +ax =b(1)2 (2)a21 +a222 = b,a.是未知量系数,b,b,是常数项用消元法求未知数x，X2:先消x2(1)×a22 : al22xi +a12a22x2 =ba22,(2)×(-a2): -a12a21x,-a12a22x2 =-b,a12两式相加消去x，得(aa22 -a2a2P xi = b,a22 -b,a12i
一、行列式定义 行列式概念来源于线性方程组求解， 已知： 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 2 , , ij a x a x b a x a x b a b b + = + = （ ） （ ） 是未知量系数 是常数项. 1 2 2 x x x 用消元法求未知数 ， ： 先消 ， (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 ( ) 12 2 : − （ a ） 12 21 1 12 22 2 2 12 − − = − a a x a a x b a , 2 两式相加消去 x ，得 11 22 12 21 1 1 22 2 12 （a a a a x b a b a − = − ） ;
(aia22 -a122P X, =ba22 -b,a12i类似地，消去x，得(ara22 -ai2a2P x, =b,a1 -b,a219当a2-22 0时，方程组的解为b,au -b,a21b,a22 -b,a12(3)Xxr-a11a22 —a12a21a11a22 -a2a21系数分母由方程组的文确定。ana2为简洁，引进记号：a122a21
分母由方程组的 系数 确定. 11 22 12 21 1 1 22 2 12 （a a a a x b a b a − = − ） ; 类似地，消去x1，得 11 22 12 21 2 2 11 1 21 （a a a a x b a b a − = − ） , 11 22 12 21 当a a a a − 0时， 方程组的解为 1 22 11 22 1 1 2 2 2 12 1 a a a b b a a a x − − = ， 11 2 11 1 21 2 22 12 21 . 3 a a b x a b a a a − − = （ ） 11 12 21 22 . a a a a 为简洁，引进记号：
aa12将定义称作二阶行列式，它是一a21a122aa12即种特殊的代数式，=a22 -a221a21(22)第二列第一行a,称为行列式的元素对角线法则：ala12主对角线三 aa22-a12A21'副对角线a22a21
第二列 ij a 称为行列式的元素 第一行 11 12 21 22 1 11 22 12 1 12 21 2 21 2 . a a a a a a a a = − a a a a 将 称作 行列式，它是一 种特殊的代 二阶 数式 定 ，即 义 11 a 12 a a21 a22 主对角线 副对角线 11 22 = a a 12 21 −a a . 对角线法则:
a11c + a12+2 =b,对于二元线性方程组a21/1+1222=b2.11a12若记D7a21(22系数行列式bax +ax2 =Da2ixi+a22xz =b,Db,a22 -a1zb2方程组的解 xi =Daa22 -a1221
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . a x a x b a x a x b + = + = 1 2 b b + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 11 12 21 22 , a a a a 若记 D = 系数行列式 1 D = , 12 22 a a 1 22 12 2 11 22 12 2 1 1 1 . a a a a D b x a a b − D = = − 方程组的解
a2aD一-na22a1X +a12x =bD.a21Xi +a22X, = b2D.b,au -az,bx,Daira22 -Ai221将下式称为二元线性方程组的公式解；b,au b,a12b2D,Dana22xiXDDaa12ana12a21a22a2)a22
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . a x a x b a x a x b + = + = 1 2 b b 11 12 21 22 a a a a D = 2 D = , 11 21 a a 11 2 11 2 22 12 2 1 1 2 1 2 . a a b a a D b a a D x − = = − 将下式称为二元线性方程组的公式解: 1 12 2 22 1 11 12 21 22 1 , b a b a x a a a D a D = = 11 1 21 2 2 11 12 1 22 2 2 . a b D a b x a a a a D = =
利用消元法得到的方程组的解b,a22 - a12b,b,au -azb,x, =xz :aiia22 -aiza21aiia22 -ai2a21不好记忆，而引进了二阶行列式**后，记忆大大简化**二元线性方程组的公式解bb,a12ab2D,162a22D.21x =非常对称XD一a2anDal(12a21a22[a21a22整齐，体现了数学中的高、雅、美
1 22 12 2 1 11 21 2 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 b a a b b a a b x x a a a a a a a a − − = = − − 利用消元法得到的方程组的解 ， 不好记忆，而引进了二阶行列式 后，记忆大 * * * * 大简化. 二元线性方程组的公式解: 1 12 1 2 2 1 2 11 12 21 22 , b a b a x a a a D a D = = 11 1 21 2 11 12 21 2 2 2 2 a b a b x a a D a D a = = 非常对称 整齐，体现了数学中的高、雅、美
3x, -2x, =12,例1求解二元线性方程组[2x, + x, = 1.3-2解 由于D±0,-2112312-2= 14,-21DrD.=1211D,Dz2所以=-3.7DD
例1 求解二元线性方程组 1 2 1 2 3 2 12, 2 1. x x x x − = + = 1 2 3 2 7 0 2 1 12 2 3 12 14 21 1 1 2 1 D D D − = = − = = = = − 解 由于 ， ， ， 2 1 2 1 x x D D D D 所以 = = = = = 2, = −3. 14 7 − 21 7