第五节二元函数的极值主要内容：一、问题的提出二、二元函数的极值三、二元函数最值应用
第五节 二元函数的极值 主要内容： 一、问题的提出 二、二元函数的极值 三、二元函数最值应用
一、问题的提出实例：某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾)乙种鱼放养v万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为 (3-αx-βy)x, (4-βx-2αy)y,(α>β>0)问：如何放养使得产鱼总量最大两种鱼的产鱼总量函数为：f(x,y) =(3-αx-βy)x+(4-βx-2αy)y,即求总量函数（二元函数）的最大值
一、问题的提出 某养殖场饲养两种鱼 若甲种鱼放养 万尾 ， 乙种鱼放养 万尾 ，收获时两种鱼的收获量分别 为 问：如何放养使得产鱼总量最大 实例 , ( ) ( ) (3 ) , (4 2 ) , ( 0), . : x y − − − − x y x x y y 两种鱼的产鱼总量函数为: f (x, y) = (3 ) (4 2 ) , − − + − − x y x x y y 即求总量函数（二元函数）的最大值
二、多元函数的极值观察二元函数 z=(x2-2x)e-2-j-的图形(峰)木极大值点0.50-0.50-1223（谷）木极小值点
二、多元函数的极值 2 2 2 ( 2 ) x y xy z x x − − − 观察二元函数 = − e 的图形 （峰）极大值点 （谷）极小值点
二元函数极值的定义设函数z= f(x,y)在点(xo,y)的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(xo,J)的点(x,J),恒有f(x, y)≤ f(xo, yo)(或f(x, y) ≥ f(xo,o)则称函数在(x,yo)有极大值（或极小值）.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点
二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值 的点称为极值点. 设函数 在点 的某邻域内 有定义，如果对于该邻域内异于 的 点 恒有 或 则称函数在 有极大值（或极小值） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , )( ( , ) ( , )), ( , ) . z f x y x y x y x y f x y f x y f x y f x y x y =
例1函数 z=3x2+4y在（0,0）处有极小值提示与分析：画出图形便可得到结论S该函数表示解3.53的曲面为椭圆抛2.52物面.1.510.500.50.500-0.5-0.5-1（谷）极小值点
例1 函数 z x y = + 3 4 (0,0) 2 2在 处有极小值． （谷）极小值点 提示与分析: 画出图形便可得到结论. 解 该函数表示 的曲面为椭圆抛 物面
女7例2讨论由=1所确定的函数+91625z= f(x,)的极值.提示与分析：题中方程所表示的曲面为椭球面解?由方程易知00.4）极大值点-4≤z≤450-5520(0,0,4）极小值点
例 2 讨论由 所确定的函数 的极值． 2 2 2 1 9 25 16 ( , ) x y z z f x y + + = = 提示与分析: 题中方程所表示的曲面为椭球面. 解 (0,0,-4)极小值点 由方程易知 − 4 4. z (0,0,4)极大值点
例3函数z=xy无极值。解从图像可以看出，既有比(0,0,0)处函数值大的点，也有比(0,0,0)处函数值小的点0,00）不是极值点0.80.60.4 0.20.-0.2-0.40.6图画不出怎0.8么求极值？10.50-0.5-1-1
例3 函数z xy = 无极值． 解 (0,0,0)不是极值点 从图像可以看出，既有比 处函数值 大的点，也有比 处函数值小的点 (0, 0, 0) (0, 0, 0) . 图画不出怎 么求极值？
二元函数取得极值的条件定理（极值存在的必要条件）如果函数f(x,y)在点(xo,yo)有偏导数，且在点(xo,J)处取得极值，则有f'(xo, yo) = 0, f'(xo, Jo) = 0.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点，注意：极值点驻点
二元函数取得极值的条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点 （极值存在的必要条件）如果函数 在 点 有偏导数，且在点 处取 定 得 ， 则有 理 极值 0 0 0 0 ， 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ( , ) 0 , ) ( , ) 0. x y f x y f x y f x x y y y x = =
极值点注意：驻点例如,点(0,0)是函数z=xv的驻点,但不是极值点z = f(x,y) = xy, fr(x,y)= y,f,(x,y) = x,f’(0,0)= 0,f;(0,0)= 0, (0,0)点是驻点但函数z=Xxy在0.80.6(0,0)点处无极值0.40.2O-0.2-0.4 -0.6-0.80.5I-0.5
例如,点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. z f x y xy = = ( , ) ， ( , ) , ( , ) , x y f x y y f x y x = = (0, 0) 0, (0, 0) 0 x y f f = = ，(0,0)点是驻点， 但函数 在 (0, 0) . 点处无极值 z xy = 注意： 驻点 极值点
三、二元函数最值的应用与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值实际问题求最值的方法：实际问题中，如果函数在D内仅有一个驻点那么该点即为所求的最值点
实际问题求最值的方法： 实际问题中，如果函数在D内仅有一个驻点， 那么该点即为所求的最值点. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 三、二元函数最值的应用