行列式 第五节 行列式的性质 一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、行列式的性质记a21anl(nlala12danan2a21a12a122a22a2nDTD:1一anl(man2aindna2n行列式D'称为行列式D 的转置行列式性质1行列式与它的转置行列式相等顶回下页
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH证明记D=detla,的转置行列式bibi2.binb21 b22.. bznDTbi bn2.. b.nn即 b, =a,(i,j=1,2,..,n),按定义DT -E(-1)bip.b2p...bm. =E(-1) apia'p2 'p.n.又因为行列式D可表示为D =E(-1) apiap,2.-a p.n上页返回下页
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ij = 按定义 ( 1) ( 1) . = − 1 1 2 2 = − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . = − p11 p2 2 p n t n D a a a
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH证毕故D=DT说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立性质2互换行列式的两行（列），行列式变号证明设行列式bubi2...binbanb21b22.D, =bnlbbn2. : :nn是由行列式 D=det(ai）变换 i,j 两行得到的,回上页下页
故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH即当ki,j时,bkp=akp；当k=i,j时,bip =ajp,bip =Aip,于是D, -E(1)bip.-.bip.bip, - bp.-E(1)ap..ap... ip,p.-E(1)ap..p,. ip..m.其中1..i...j..·n为自然排列t为排列 p.···P.·P…·P,的逆序数设排列 p.…·P…·P,·P,的逆序数为ti，则有上页回下质
于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 = − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 = − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t = − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当 时, k i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH(-1) = -(-1)故D, =-E(-)"aip.aip,ip.amp,=-D.证毕例如8D6353.8X推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零证明互换相同的两行，有D=－D,D = 0.国皮下质
例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D = 0. D = −D, ( 1) ( 1) , 1 t t − = − − 故 ( 1) . 1 1 D1 a1 a a a D j i npn p ip jp t = − − = − 证毕 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同-一数 k，等于用数 k 乘此行列式aua11a12aina12ainkailkai2kain= kailainai2anaaaanlan2n2nnnn推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面顶国下质
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零，证明an1an1a12aana12nailailai2inai2ink= 0.=kaiikainkai2ailai2Qinan)aan2anaan2nnnn上页这回下页
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和...(aii + a'l)..ainanla12...(a2 +a2i)a2na21a22例如D=...2... (am +am)anlaman2则D等于下列两个行列式之和：alianlaiaiainaina2a21a21... a2nazi..: a2nD =Xa'ananianlann.annn上页下页反回
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变analiajain例如anja21azia2jkxananianiani(ari + karj)a11dai(a2i + ka2j)an1anjkr+(am + kamj)anamjanl...上页下页国
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k 例如