相似矩阵及二次型 第七节 正定二次型 一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究一次型的标准形所具有的性质2国下质庆
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1（惯性定理）设有实一次型f = xT Ax,它的秩为r,有两个实的可逆变换x=Cy 及x = Pz使更f = kiyi + k,y? + ..+ k,y?(k, * ),及 f = z + +...+,z ( +0),则ki,.,k,中正数的个数与i,…,a,中正数的个数相等上页回下页
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、正（负）定一次型的概念定义1 设有实二次型 f(x)= xTAx,如果对任何x±0,都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f为正定二次型并称对称矩阵A是正定的如果对任何x0都有f(x）<0,则称f伪为负定二次型并称对称矩阵A是负定的例如f = x2 + 4y2 + 16z为正定一次型f = -xi - 3x2为负定一次型页回下页
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、正（负）定一次型的判别定理2实二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正证明设可逆变换x=Cy使f(x)= f(Cy)-kiy?i=1充分性设k,>0(i=1,,n)任给 x ±0,则y=C-x± 0,故f(x)=k,y >0.i-1上页下页回
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH必要性假设有k,≤0,则当y=e,(单位坐标向量)时,f(Ce,)= k,≤ 0.显然Ce.±0,这与f为正定相矛盾故k, > 0(i = 1,..,n),推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正页回下页
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理3又对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即anainaua12:> 0;au >0,>0. a21a22anlann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即a11air> 0, (r =1,2,.,n)(-1)1arr ...arr这个定理称为霍尔维茨定理上页回下质
0, a11 0, 21 22 11 12 a a a a , 0; 1 11 1 n nn n a a a a ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r − = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH正定矩阵具有以下一些简单性质1.设A为正定实对称阵则AT,A-I,A*均为正定矩阵；2.若A,B均为n阶正定矩阵则A+B也是正定矩阵.顶国下页
正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1 判别一次型f(x1,x2,x)=5x +x + 5x +4xx2 -8xx -4xx3是否正定52-4解f(xi,x2,x)的矩阵为解21-2-4-25它的顺序主子式52-45221-22|=1>0.5>0,=1>0.21-4-25故上述二次型是正定的上页下页友回
例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4 − − − − 它的顺序主子式 5 0, 1 0, 2 1 5 2 = 1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 = − − − − 故上述二次型是正定的
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2判别二次型f(xi,x2,x3)= 2x + 4x2 + 5x3 -4xix是否正定解用特征值判别法一次型的矩阵为 A=04-205令 E- A = 0 = 2 = 1, 22 = 4, 23 = 6.即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型顶回下质
例2 判别二次型 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = 2x1 + 4x + 5x − 4x x 是否正定. 解 二次型的矩阵为 , 2 0 5 0 4 0 2 0 2 − − A = 用特征值判别法. 令 E − A = 0 1, 4, 6. 1 = 2 = 3 = 即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型