矩阵及其运算 第三节 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、概念的引入在数的运算中，当数a≠0时，有aa-l =a-la =1,其中 a-= 为a 的倒数，（或称 α的逆）;在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-,使得AA-1 = A-1A= E则矩阵A-称为A的可逆矩阵或逆阵正页下页回
1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH、i逆矩阵的概念和性质定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB= BA= E,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵A的逆矩阵记作A-11/21/2, B=例设A=(-1/2 1/2)：AB=BA=E，B是A的一个逆矩阵页国下页
二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH说明若A是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的若设 B 和 C 是A 的可逆矩阵，则有AB= BA= E, AC =CA= E,可得 B= EB =(CA)B = C(AB) = CE = C所以 A 的逆矩阵是唯一的,即B =C = A-12页回下质
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2例 设 A=求A的逆阵解设利用待定系数法是A的逆矩阵0则-AB==02a+c 2b+d-b a上页国下页
例 设 , 1 0 2 1 − A = 求A的逆阵. 解 设 是 的逆矩阵, = c d a b B A 则 − = c d a b AB 1 0 2 1 = 0 1 1 0 = − − + + 0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2a +c = 1,= 0,a2b + d = 0,b = -1,IL-a= 0,c= 1,- b = 1,d = 2.又因为ABBA1-C所以上页下页返回
− = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c = = = − = 2. 1, 1, 0, d c b a 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH矩阵A可逆的充要条件是A+0，且定理1其中A*为矩阵A的伴随矩阵证明 若 A可逆，即有A-使AA=E.故A·A=E=1,， 所以A￥0.当A￥0时，正页回下页
定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1 = A A A A A 0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1 = = − 故 A A E 所以A 0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 当A 0时
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH当A￥0时，auA +ai2A2 +..-+ ainAin =AanAn + an2An2 +...+ amAm. =|Al国下质
当A 0时, = n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A , = A A A A O O
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAAA*=A*A=AE→A=E,AA按逆矩阵的定义得A证毕4A奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当A=0时,A称为奇异矩阵当A±0时,A称为非奇异矩阵由此可得A是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵上页回下页
AA = A A = AE A E, A A A A A = = . 1 A A A − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A 时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论若AB= E(或BA=E),则B= A-1证明A·B=E=1， 故A±0,因而A-I存在，于是B= EB=(A-1A)B= A-(AB)=N-E =W-I证毕逆矩阵的运算性质(1)若A可逆,则A-亦可逆,且(A-) = A上页下页回
A B = E = 1, 故 A 0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = A E −1 = . −1 = A 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质