华东师范大学：《拓扑学》课程教学资源（讲义，共四章，topology）

本科生基础课拓扑学讲义华东师范大学数学系2014

本科生基础课 拓扑学讲义 华东师范大学数学系 2014

前言本讲义是以曼克勒斯的《拓扑学基础教程》为蓝本所撰写的讲课稿。原计划是讲授点集拓扑和代数拓扑初步的内容.因为课时限制，目前只包含了点集拓扑的内容，并且也未能深入介绍点集拓扑中较深刻的结论.作者非常感谢学生仲国磊整理了本讲义的tex版本，其工作量是非常巨大的同时，作者也感谢好友瞿振华给我提供了这样的机会讲授（点集）拓扑学

前 言 本讲义是以曼克勒斯的《拓扑学基础教程》为蓝本所撰写的讲课稿. 原计划是讲授 点集拓扑和代数拓扑初步的内容. 因为课时限制, 目前只包含了点集拓扑的内容, 并且也 未能深入介绍点集拓扑中较深刻的结论. 作者非常感谢学生仲国磊整理了本讲义的tex版本, 其工作量是非常巨大的. 同时, 作者也感谢好友瞿振华给我提供了这样的机会讲授 (点集) 拓扑学

目录目录第一章导读：拓扑学简介101.1什么是拓扑学？1.2拓扑学的历史发源11.3拓扑学的分类2第二章3点集拓扑(I)：拓扑空间2.1拓扑空间与开集32.2闭集52.3拓扑空间的构造方法，72.3.17方法一：拓扑基..92.3.2方法二：序拓扑2.3.3方法三：积拓扑..112.3.412方法四：子空间拓扑2.3.5方法五：度量拓扑，14本章习题19第三章点集拓扑(II)：拓扑的基本性质203.1闭包与聚点203.224Hausdorff性质3.3连通性283.4紧致性343.5极限点紧与序列紧403.6连续映射.43连续映射与同胚433.6.13.6.2连续映射的构造.48523.6.3连续映射与连通性3.6.4连续映射与紧性553.6.5连续映射与度量57第四章60点集拓扑（III)：深入技巧4.1可数性公理604.263分离性公理，4.366Urysohn引理与Tietze扩张定理4.4Urysohn度量化定理674.5Tychonoff定理67参考文献68-ii-

目 录 目 录 第一章 导读: 拓扑学简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 什么是拓扑学？. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 拓扑学的历史发源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 拓扑学的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 拓扑空间与开集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 拓扑空间的构造方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.1 方法一: 拓扑基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2 方法二: 序拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.3 方法三: 积拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.4 方法四: 子空间拓扑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.5 方法五: 度量拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 本章习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第三章 点集拓扑 (II): 拓扑的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1 闭包与聚点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Hausdorff 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 连通性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 紧致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 极限点紧与序列紧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 连续映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6.1 连续映射与同胚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6.2 连续映射的构造. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6.3 连续映射与连通性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.4 连续映射与紧性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6.5 连续映射与度量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 第四章 点集拓扑 (III): 深入技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1 可数性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 分离性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Urysohn 引理与 Tietze 扩张定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Urysohn 度量化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Tychonoff 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - ii -

第一章导读：拓扑学简介第一章导读：拓扑学简介1.1什么是拓扑学？在我们正式讲授这门课之前，先简单介绍一下拓扑学是什么，为了给拓扑学一个定性的解释，我们首先引入拓扑变换的概念：粗略地说，它是指图形的伸缩、弯曲（要求不撕裂，不粘合变换.所谓拓扑学(Topology)，就是研究图形在拓扑变换下保持不变的性质（也称橡皮几何学)这里顺便说些题外话，其实我们学过的很多几何学都可以看作是研究几何图形在某一类几何变换下保持不变的性质.这是一种重要的几何思想几何变换保持不变的性质对应几何学刚体变换保度量（角度、长度、面积）」欧氏几何仿射变换保共线关系等仿射几何分式线性变换保角，保圆周，保交比等反演几何(复平面)保交比等射影变换射影几何拓扑学拓扑变换保维数，保连通性等可微坐标变换1保持定向等微分几何我们继续回到拓扑学的话题上.拓扑学的终极目标是要将图形在同胚意义下分类.这里所谓的同胚，是指两个图形可通过拓扑变换彼此互变，实现这个自标是非常困难的事，实际上只有在少数的情况下才能解决分类问题.我们会在后面严格定义同胚的概念1.2拓扑学的历史发源这里例举一些拓扑学的发源问题例1.2.1（一笔画问题）平面上由顶点和边构成的图（Graph）能不能由一笔画成（即要求不重复且不遗漏地走遍所有的边和顶点）？这个问题最早由欧拉解决，是图论和拓扑学的经典发源问题之一，对一个图来说，一笔画问题并不依赖于图中的边是直线或者曲线，因而是一个拓扑问题-例1.2.2（凸多面体定理）设一个凸多面体的顶点数为E，校数为F，面数V.欧拉断言如下恒等式E-F+V=2.这也是早期拓扑学的经典结论之一，想象一下，如果我们把多面体的一个面挖掉并用力拉开这个口子，把整个多面体压扁到桌面上，那么多面体就变成了平面上的图.因此欧拉定理也可以看成关于图的拓扑定理-例1.2.3（四色问题）给地图上的各区域着色，要求相邻国家有不同的颜色.问至少需要几种颜色满足以上要求？这个问题的答案是：只需要4种颜色就足够了.这个问题首先被归结为图论问题，然后由计算机直接验证各类情形■-1-

第一章 导读: 拓扑学简介 第一章 导读: 拓扑学简介 1.1 什么是拓扑学？ 在我们正式讲授这门课之前, 先简单介绍一下拓扑学是什么. 为了给拓扑学一个定性的解 释, 我们首先引入拓扑变换的概念. 粗略地说, 它是指图形的伸缩、弯曲 (要求不撕裂，不粘合) 变换. 所谓拓扑学 (Topology), 就是研究图形在拓扑变换下保持不变的性质 (也称橡皮几何学). 这里顺便说些题外话. 其实我们学过的很多几何学都可以看作是研究几何图形在某一类几何变 换下保持不变的性质. 这是一种重要的几何思想. 几何变换 保持不变的性质 对应几何学 刚体变换 保度量 (角度、长度、面积) 欧氏几何 仿射变换 保共线关系等 仿射几何 分式线性变换 保角,保圆周,保交比等 反演几何(复平面) 射影变换 保交比等 射影几何 拓扑变换 保维数,保连通性等 拓扑学 可微坐标变换 保持定向等 微分几何 我们继续回到拓扑学的话题上. 拓扑学的终极目标是要将图形在同胚意义下分类. 这里所 谓的同胚, 是指两个图形可通过拓扑变换彼此互变. 实现这个目标是非常困难的事. 实际上只有 在少数的情况下才能解决分类问题. 我们会在后面严格定义同胚的概念. 1.2 拓扑学的历史发源 这里例举一些拓扑学的发源问题. 例 1.2.1 (一笔画问题) 平面上由顶点和边构成的图(Graph )能不能由一笔画成 (即要求 不重复且不遗漏地走遍所有的边和顶点)? 这个问题最早由欧拉解决, 是图论和拓扑学的经典发 源问题之一. 对一个图来说, 一笔画问题并不依赖于图中的边是直线或者曲线, 因而是一个拓扑 问题.  例 1.2.2 (凸多面体定理) 设一个凸多面体的顶点数为 E, 棱数为 F, 面数 V . 欧拉断言如 下恒等式 E − F + V = 2. 这也是早期拓扑学的经典结论之一. 想象一下, 如果我们把多面体的一个面挖掉并用力拉开这个 口子, 把整个多面体压扁到桌面上, 那么多面体就变成了平面上的图. 因此欧拉定理也可以看成 关于图的拓扑定理.  例 1.2.3 (四色问题) 给地图上的各区域着色,要求相邻国家有不同的颜色. 问至少需要几 种颜色满足以上要求? 这个问题的答案是: 只需要 4 种颜色就足够了. 这个问题首先被归结为图 论问题, 然后由计算机直接验证各类情形.  - 1 -

第一章导读：拓扑学简介例1.2.4（莫比乌斯带）将一条矩形的纸条一端扭转180度，与其对边粘合，得到的纸环称作莫比乌斯带.它和圆柱有着完全不同的几何（拓扑）性质比如，它是单侧曲面：但是圆柱却是双侧曲面另外，想象莫比乌斯带上站有一个人（头朝上），他从某一点出发，沿着莫比乌斯带走一圈回到原点.那么你会发现他的头变为朝下方向.这在数学上叫做不可定向性.这种性质实际上反映了莫比乌斯带和圆柱之间的拓扑结构差异，后者只有平庸的拓扑结构，前者却又非平庸的拓扑结构，后面我们会进一步深入探讨它■拓扑学的真正奠基人是大数学家庞加莱，他开创了组合拓扑学，给出了著名的庞加莱对偶定理，并且引入了基本群的概念-拓扑学的重要数学对象之一-等等1.3拓扑学的分类按照传统的分类，拓扑学大致可以分为四个分支：点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓扑.点集拓扑来自于实数集和连续函数的性质（比如介值定理等）代数拓扑包含了同调论合同伦伦，其中同调论来源于欧拉凸多面体定理，同伦论则来源于庞加莱关于基本群的研究.组合拓扑实际上可以看成代数拓扑的一部分，来源于组合同调论.微分拓扑则研究局部微分性质和整体拓扑之间的关系，比如著名的高斯-博纳特公式拓扑学已经非常广泛地渗透到了各个数学分支里，比如，除了几何学之外，它也被深刻地应用到诸如泛函分析、概率统计、实变函数、微分方程等等理论中-2-

第一章 导读: 拓扑学简介 例 1.2.4 (莫比乌斯带) 将一条矩形的纸条一端扭转 180 度, 与其对边粘合, 得到的纸环称 作莫比乌斯带. 它和圆柱有着完全不同的几何 (拓扑) 性质. 比如, 它是单侧曲面. 但是圆柱却是 双侧曲面. 另外, 想象莫比乌斯带上站有一个人 (头朝上), 他从某一点出发, 沿着莫比乌斯带走一圈回 到原点. 那么你会发现他的头变为朝下方向. 这在数学上叫做不可定向性. 这种性质实际上反映 了莫比乌斯带和圆柱之间的拓扑结构差异. 后者只有平庸的拓扑结构, 前者却又非平庸的拓扑结 构. 后面我们会进一步深入探讨它.  拓扑学的真正奠基人是大数学家庞加莱. 他开创了组合拓扑学, 给出了著名的庞加莱对偶定 理, 并且引入了基本群的概念-拓扑学的重要数学对象之一-等等. 1.3 拓扑学的分类 按照传统的分类, 拓扑学大致可以分为四个分支: 点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓 扑. 点集拓扑来自于实数集和连续函数的性质 (比如介值定理等). 代数拓扑包含了同调论合同伦 伦, 其中同调论来源于欧拉凸多面体定理, 同伦论则来源于庞加莱关于基本群的研究. 组合拓扑 实际上可以看成代数拓扑的一部分, 来源于组合同调论. 微分拓扑则研究局部微分性质和整体拓 扑之间的关系, 比如著名的高斯-博纳特公式. 拓扑学已经非常广泛地渗透到了各个数学分支里. 比如, 除了几何学之外, 它也被深刻地应 用到诸如泛函分析、概率统计、实变函数、微分方程等等理论中. - 2 -

第二章点集拓扑（I)：拓扑空间第二章点集拓扑（I)：拓扑空间2.1拓扑空间与开集我们首先回顾数学分析中实数轴X=R1上开集的概念(1)X上的开区间是指如下形式的集合Ui = (a,b)[reX laa])Ug :=(-00, b) ≤ [r E Ri [ran>-b实数轴上的开集满足以下三条性质：(1）X,0是开集，(2）任意多个开集的并仍是开集，(3）有限多个开集的交仍是开集注 2.1.1性质（3）中“有限多个”的条件不能少，比如：n (-元)= (0)nrnEZ+不是开集■现在，我们要从实数轴开集的概念出发，定义抽象的拓扑空间和开集的概念定义2.1.1设X是非空集合，是X上一些子集构成的集族，满足以下条件：()0eg,XEg,(2)9中任意多个元素的并也在9中,(3）9中有限多个元素的交也在中，-3-

第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 2.1 拓扑空间与开集 我们首先回顾数学分析中实数轴 X = R 1 上开集的概念. (1) X 上的开区间是指如下形式的集合 U1 = (a, b) △ = {x ∈ X | a a}, U3 :=(−∞, b) △ = {x ∈ R 1 | x a (a, n), (−∞, b) = ∪ n ∈ Z+ n > −b (−n, b), X = ∪ n∈Z+ (−n, n). 实数轴上的开集满足以下三条性质: (1) X, ∅ 是开集, (2) 任意多个开集的并仍是开集, (3) 有限多个开集的交仍是开集. 注 2.1.1 性质 (3) 中“有限多个” 的条件不能少, 比如: ∩ n∈Z+ (− 1 n , 1 n ) = {0} 不是开集.  现在, 我们要从实数轴开集的概念出发, 定义抽象的拓扑空间和开集的概念. 定义 2.1.1 设 X 是非空集合, T 是 X 上一些子集构成的集族, 满足以下条件: (1) ∅ ∈ T , X ∈ T , (2) T 中任意多个元素的并也在 T 中, (3) T 中有限多个元素的交也在 T 中, - 3 -

第二章点集拓扑（I)：拓扑空间则称是X上的一个拓扑(Topology)，X称为拓扑空间.中的元素称为开集(Open set)下面举一些拓扑空间的例子.例2.1.1（实数轴上的标准拓扑）设X=Rl,9=[U|U是开区间的并集).显然是-集合X的拓扑，中的元素即为通常理解的开集.这个拓扑称为标准拓扑，例2.1.2(平面上的标准拓扑）设X=R2,g=[U|U是开邻域的并集)，g也是X的-标准拓扑，其开集与我们在数学分析中理解的概念完全一致，例2.1.3设X=[1,2,3].我们可以定义X上各种不同的拓扑，(1)=[0,X).这是平凡的拓扑，(2) = [0, X, [1], [2],(3）=X的幂集（即所有子集构成的族)，-(4) 4 =[0,X,[2], [1,2], [2,3]]注2.1.2(1）上例表明X上可能有许多不同的拓扑(2）并非任何集族都是拓扑.比如X=[1,2,3}上9 =[ 0,X, [1,2], [2,3]并非拓扑.这是因为[2]=[1,2]n[2,3]不在9中■有限集合上的拓扑有许多有趣的组合数学问题.比如问题2.1.1设Xn=[1,2,，n]，那么Xn上有多少种不同的拓扑?例2.1.4（离散拓扑）设X是非空集合，是X的幂集.该拓扑称为离散拓扑一.例2.1.5（平凡拓扑）设X是非空集合，=【0，X}定义的拓扑称为平凡拓扑.例2.1.6(余有限拓扑)设X是无限集合，=[U|要么U=の,要么X-U是有限集}我们来验证它是拓扑(1)由定义：0E.因为X-X=0,故也是有限集，所以XE9(2)设[Ua)aeIC，我们要证UU&E，即证X-UUa是有限集.由于oeX- UU&=(X -Ua)QEIQEI并且X-U是有限集，故X-UU是有限集，从而X-UUEのQEIQEI-4-

第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 则称 T 是 X 上的一个拓扑 (Topology), X 称为拓扑空间. T 中的元素称为开集 (Open set). 下面举一些拓扑空间的例子. 例 2.1.1 (实数轴上的标准拓扑) 设 X = R 1 , T = {U | U 是开区间的并集}. 显然 T 是 集合 X 的拓扑, T 中的元素即为通常理解的开集. 这个拓扑称为标准拓扑.  例 2.1.2 (平面上的标准拓扑) 设 X = R 2 , T = {U | U 是开邻域的并集}, T 也是 X 的 标准拓扑, 其开集与我们在数学分析中理解的概念完全一致.  例 2.1.3 设 X = {1, 2, 3}. 我们可以定义 X 上各种不同的拓扑. (1) T1 = {∅, X}. 这是平凡的拓扑, (2) T2 = { ∅, X, {1}, {2}}, (3) T3 = X 的幂集 ( 即所有子集构成的族), (4) T4 = {∅, X, {2}, {1, 2}, {2, 3}}.  注 2.1.2 (1) 上例表明 X 上可能有许多不同的拓扑. (2) 并非任何集族都是拓扑. 比如 X = {1, 2, 3} 上 T = { ∅, X, {1, 2}, {2, 3}} 并非拓扑. 这是因为 {2} = {1, 2} ∩ {2, 3} 不在 T 中.  有限集合上的拓扑有许多有趣的组合数学问题. 比如 问题 2.1.1 设 Xn = {1, 2, · · · , n}, 那么 Xn 上有多少种不同的拓扑? 例 2.1.4 (离散拓扑) 设 X 是非空集合, T 是 X 的幂集. 该拓扑称为离散拓扑.  例 2.1.5 (平凡拓扑) 设 X 是非空集合, T = {∅, X} 定义的拓扑称为平凡拓扑.  例 2.1.6 (余有限拓扑) 设 X 是无限集合, Tf = {U | 要么 U = ∅, 要么 X − U 是有限集}. 我们来验证它是拓扑. (1) 由定义: ∅ ∈ Tf . 因为 X − X = ∅, 故也是有限集, 所以 X ∈ Tf . (2) 设 {Uα}α∈I ⊆ Tf , 我们要证 ∪ α∈I Uα ∈ Tf , 即证 X − ∪ α∈I Uα是有限集. 由于 X − ∪ α∈I Uα = ∩ α∈I (X − Uα), 并且 X − Uα 是有限集, 故 X − ∪ α∈I Uα 是有限集, 从而X − ∪ α∈I Uα ∈ Tf - 4 -

第二章点集拓扑（I)：拓扑空间(3）设U1,U2,...UnE,（即X-U,是有限集).由X-nui=U(x-U)=1=推知U(X-U)是有限集.因此nUiE9Fi=1i=1综上所述，是X上的拓扑■类似地，我们可定义如下拓扑空间例2.1.7（余可数拓扑）设X是不可数集合，f=[U|要么U=0,要么X-0是可数集]-请读者自己验证这是拓扑空间，定义 2.1.2设X非空，和是X上的两个拓扑若gC%，则称%细于%，或称粗于92.■例2.1.8平凡拓扑粗于离散拓扑.例2.1.9设X=[1,2,3],91 = [0, X, [1], [1,2],9, = [0, X, [1], [2], [1,2 ], [2,3]则%因此粗于%2.2闭集定义2.2.1设g是X的拓扑，YCX，若X-YEg是开集，则称Y是闭集（closeset)例2.2.1设X=Ri,是标准拓扑.我们考察闭区间[a,b]=[[a≤≤b]因为-X-[a.b]=（-oo,a)U(b.+o)是g的开集，所以[a.bl是闭集例2.2.29是X上的离散拓扑，对任何子集YCX，Y是开集.另一方面，X-YE，因此Y是闭集综上，Y既是开集，又是闭集-例2.2.3设X={1,2,3],9=[0,X,{1],[2,3]],Y={1]是开集.另一方面，X-Y=■[2,3]E表明Y是闭集.因此Y既是开集也是闭集，例2.2.4X=RI，9是余有限拓扑，YCX，Y是闭集当且仅当X-Y是开集，即X-（X-Y）是有限集，或者X-Y=0,亦即Y-是有限集或者 Y=X.例2.2.5X=R?，9是X上的标准拓扑.设Y=[(a,y) /a ≥0,y ≥0),-因为X-Y=（-80,0)×RRl×（-80,0)是开集，所以Y是闭集-5-

第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 (3) 设 U1, U2, . . . Un ∈ Tf (即 X − Ui 是有限集). 由 X − ∩n i=1 Ui = ∪n i=1 (X − Ui) 推知 ∪n i=1 (X − Ui) 是有限集. 因此 ∩n i=1 Ui ∈ Tf . 综上所述, Tf 是 X 上的拓扑.  类似地, 我们可定义如下拓扑空间. 例 2.1.7 (余可数拓扑) 设 X是不可数集合, Tf = {U | 要么 U = ∅, 要么 X − ∅ 是可数集}. 请读者自己验证这是拓扑空间.  定义 2.1.2 设 X 非空, T1 和 T2 是 X 上的两个拓扑. 若 T1 ⊆ T2, 则称 T2 细于 T1, 或称 T1 粗于 T2. 例 2.1.8 平凡拓扑粗于离散拓扑.  例 2.1.9 设 X = {1, 2, 3}, T1 = {∅, X, {1}, {1, 2}}, T2 = {∅, X, {1}, {2}, {1, 2 }, {2, 3}}, 则 T1 ⊆ T2, 因此 T1 粗于 T2.  2.2 闭集 定义 2.2.1 设 T 是 X 的拓扑, Y ⊆ X, 若 X − Y ∈ T 是开集, 则称 Y 是闭集 (closeset). 例 2.2.1 设 X = R 1 , T 是标准拓扑. 我们考察闭区间 [a, b] := {x | a ≤ x ≤ b}. 因为 X − [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) 是 T 的开集, 所以 [a, b] 是闭集.  例 2.2.2 T 是 X 上的离散拓扑,对任何子集 Y ⊆ X, Y 是开集. 另一方面, X − Y ∈ T , 因此 Y 是闭集. 综上, Y 既是开集,又是闭集.  例 2.2.3 设 X = {1, 2, 3}, T = {∅, X, {1}, {2, 3}}, Y = {1} 是开集. 另一方面, X − Y = {2, 3} ∈ T 表明 Y 是闭集. 因此 Y 既是开集也是闭集.  例 2.2.4 X = R 1 , Tf 是余有限拓扑. Y ⊆ X, Y 是闭集当且仅当 X − Y 是开集, 即 X − (X − Y ) 是有限集, 或者 X − Y = ∅, 亦即 Y 是有限集或者 Y = X.  例 2.2.5 X = R2 , T 是 X 上的标准拓扑. 设 Y = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}. 因为 X − Y = (−∞, 0) × R1 ∪ R1 × (−∞, 0) 是开集, 所以 Y 是闭集.  - 5 -

第二章点集拓扑（I)：拓扑空间命题2.2.1X是一个拓扑空间，则(1)0,X是闭集，(2）任意多个闭集的交是闭集，(3）有限多个闭集的并是闭集证明(1)因为X-0=XEg，故0是闭集.又因X-X=0E9，所以X也是闭集(2)设[Ya)aEI是一族闭集，Ua=X-Yα.由定义，UαE是开集.注意X-OYα= UUaQEIQEI是开集，故nYα是闭集QE(3)设Yi,Y2,...,Yn是闭集．由于X-YiUY2U...UYn=nU-1是nU是开集，故YiUY2UUYn是闭集一=-1注2.2.1设集合X是非空集，我们也可以用“闭集”定义X上的拓扑具体方法如下：设%是子集族，满足：(1) X,0 e%,(2)%中任意多个元素的交集仍在中，(3）%中有限多个元素的并集还仍在中令g=UIX-UE.则g给出了集合X上的拓扑例2.2.6（Zariski拓扑）设X=Cn是复数域上n维空间.考虑多项式方程组fi(r1,2,...,an)=0f2(1,2,...,an)=0fn(1,2,...,an)=0定义该方程组的解集为Z(f1,f2,，).显然有z(f1, f2,.., f.) =z(fi)nz(f2)n.nz(f.)我们记U(fi,f2,...,f.)=X-Z(f1,f2,...,fr),g={所有这类U(f1,f2....,f))，=[所有多项式方程组解集}以下我们断言g是拓扑，称之为Zariski拓扑.它是代数几何中最基本的研究对象利用注记2.2.1及命题2.2.1，我们只需要验证%是闭集族，从而它诱导了X上的拓扑9-6-

第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 命题 2.2.1 X 是一个拓扑空间, 则 (1) ∅, X 是闭集, (2) 任意多个闭集的交是闭集, (3) 有限多个闭集的并是闭集. 证明 (1) 因为 X − ∅ = X ∈ T , 故 ∅ 是闭集. 又因 X − X = ∅ ∈ T , 所以 X 也是闭集. (2) 设 {Yα}α∈I 是一族闭集, Uα = X − Yα. 由定义, Uα ∈ T 是开集. 注意 X − ∩ α∈I Yα = ∪ α∈I Uα 是开集, 故 ∩ α∈I Yα 是闭集. (3) 设 Y1, Y2, . . . , Yn 是闭集. 由于 X − Y1 ∪ Y2 ∪ · · · ∪ Yn = ∩n i=1 Ui 是 ∩n i=1 Ui 是开集, 故 Y1 ∪ Y2 ∪ · · · ∪ Yn 是闭集.  注 2.2.1 设集合 X 是非空集, 我们也可以用“闭集” 定义 X 上的拓扑. 具体方法如下: 设 C 是子集族,满足: (1) X, ∅ ∈ C , (2) C 中任意多个元素的交集仍在 C 中, (3) C 中有限多个元素的并集还仍在 C 中. 令 T = {U | X − U ∈ C }, 则 T 给出了集合 X 上的拓扑.  例 2.2.6 (Zariski 拓扑) 设 X = C n 是复数域上 n 维空间. 考虑多项式方程组:    f1(x1, x2, . . . , xn) = 0 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · fn(x1, x2, . . . , xn) = 0 定义该方程组的解集为 Z(f1, f2, · · · , fr). 显然有 Z(f1, f2, . . . , fr) = Z(f1) ∩ Z(f2) ∩ · · · ∩ Z(fr). 我们记 U(f1, f2, . . . , fr) = X − Z(f1, f2, . . . , fr), T = {所有这类 U(f1, f2, . . . , fr)}, C = {所有多项式方程组解集}. 以下我们断言 T 是拓扑, 称之为 Zariski 拓扑. 它是代数几何中最基本的研究对象. 利用注记 2.2.1 及命题 2.2.1, 我们只需要验证 C 是闭集族, 从而它诱导了 X 上的拓扑 T . - 6 -

第二章点集拓扑（I)：拓扑空间首先注意到0=Z(1)（即方程1=0无解)及X=Z(0)，因此0,XE%令Ya)aeI%.由定义可设Yα=Z(fa1,fa2....,far.)=Z(fa)nZ(fa2)n.nZ(fara)因此OYα=O(z(fa)nz(fa)n...nz(fara)=z((fa))由经典的结论，多项式环C[r1,，an]中由诸fα}生成的理想可以用有限个元素生成。换言之，方程组{fα=0}中可以挑出有限个方程，它们的解集和【fa=0)的解集一致.因此NYaeg.QEI取%中有限个个元素Yi,Y2....,YmE%.今证UY是一个闭集.由数学归纳法，我们只需i=l证明n=2的情形.不失一般性，设Yi=Z(fi, f2...., fr),Y2=Z(g1,92,.9t)那么YiUY2=ZE.(2-1)(fi-gihisisr1≤j≤I综上,我们证明了9是X上的拓扑例2.2.7设X=C，の是Zariski拓扑，の是余有限拓扑.由高斯代数学基本定理，我们有9=%.请读者自己验证2.3拓扑空间的构造方法2.3.1方法一：拓扑基定义2.3.1X是一个非空集合，B是X的子集族，满足以下条件(1)任给EX,存在UEB使得TEU,(2)设EUinU2,这里Ui,U2EB,则存在UEB使得UCUinU2我们称B是X的一个拓扑基拓扑基%中的元素被称作基元素利用拓扑基，我们可以构造出拓扑.这个构造方法有点类似于用线性无关向量组构造向量空间.定义2.3.2设B是X的拓扑基，是X的子集族，满足：UE一U=O或U是B中基元素的并，-7-

第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 首先注意到 ∅ = Z(1) ( 即方程 1 = 0 无解) 及X = Z(0), 因此 ∅, X ∈ C . 令 {Yα}α∈I ⊆ C . 由定义可设 Yα = Z(fα1 , fα2 , . . . , fαrα ) = Z(fα1 ) ∩ Z(fα2 ) ∩ · · · ∩ Z(fαrα ) 因此 ∩ α∈I Yα = ∩ α∈I (Z(fα1 ) ∩ Z(fα2 ) ∩ · · · ∩ Z(fαrα )) = Z({fαβ }) 由经典的结论, 多项式环 C[x1, · · · , xn] 中由诸 {fαi } 生成的理想可以用有限个元素生成. 换言 之, 方程组 {fαi = 0} 中可以挑出有限个方程, 它们的解集和 {fαi = 0} 的解集一致. 因此 ∩ α∈I Yα ∈ C . 取 C 中有限个个元素 Y1, Y2, . . . , Yn ∈ C . 今证 ∪n i=1 Yi 是一个闭集. 由数学归纳法, 我们只需 证明 n = 2 的情形. 不失一般性, 设 Y1 = Z(f1, f2, . . . , fr), Y2 = Z(g1, g2, . . . , gl) 那么 Y1 ∪ Y2 = Z  {fi · gj} 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ l   ∈ C . (2-1) 综上,我们证明了 T 是 X 上的拓扑.  例 2.2.7 设 X = C, T1 是 Zariski 拓扑, T2 是余有限拓扑. 由高斯代数学基本定理, 我们 有 T1 = T2. 请读者自己验证.  2.3 拓扑空间的构造方法 2.3.1 方法一: 拓扑基 定义 2.3.1 X 是一个非空集合, B 是 X 的子集族, 满足以下条件 (1) 任给 x ∈ X, 存在 U ∈ B 使得 x ∈ U, (2) 设 x ∈ U1 ∩ U2, 这里 U1, U2 ∈ B, 则存在 U3 ∈ B 使得 x ∈ U3 ⊆ U1 ∩ U2. 我们称 B 是 X 的一个拓扑基. 拓扑基 B 中的元素被称作基元素. 利用拓扑基, 我们可以构造出拓扑. 这个构造方法有点类似于用线性无关向量组构造向量空 间. 定义 2.3.2 设 B 是 X 的拓扑基, T 是 X 的子集族, 满足: U ∈ T ⇐⇒ U = ∅ 或 U 是 B 中基元素的并, - 7 -