本科生基础课 近世代数讲义 华东师范大学数学系 2013
前言本讲义试图秉承谈胜利教授关于《高等代数与解析几何讲义》改革试点课程的教改思路，以“解方程”为主要线索，逐步展开近世代数的各项丰富内容，讲义将分为两册，上册主要介绍近世代数的基本对象以及它们的基本性质，内容上与传统教材相似，但顺序上会有所不同下册将介绍较为深入的内容和技巧，如伽罗华理论等等作者要感谢谈胜利教授对写作此讲义的热情支持，讲稿的总体思路也来自于他的建议，作者同时也要感谢周婷婷同学为我整理输入电子版讲稿，其工作量是巨大的
目录目录基础篇1第一部分2第一章域的基础知识1.1数域21.2域的抽象定义21.3域的例子。31.46域的基本性质1.57子域和特征1.6域同态91.7补充材料：代数闭域12本章习题，12第二章环的基础知识142.1-些非域的经典例子142.2除环(体)152.2.1哈密顿四元数体162.2.2除环(体)的抽象定义172.2.3除环的基本性质.192.3整环与交换么环212.3.1定义22例子2.3.2222.3.3基本性质242.3.4构造方法(I)：子幺环252.3.5构造方法(II)：整环与分式域272.3.6构造方法(I)：交换幺环上的多项式环302.3.7构造方法(IV)：理想与商环352.3.8构造方法(V)：环的直和.452.4整环上的整除理论472.4.1基本概念与性质472.4.2特殊整环(I)：欧几里德整环482.4.3特殊整环(II)：主理想整环.502.4.4特殊整环(III)：唯一因子分解整环522.5非交换么环542.5.1些简单例子542.5.2矩阵环542.6无幺环56一些例子2.6.1562.6.2无幺环的扩张定理56本章习题57-ii-
目录第三章群的基础知识603.1群的基本概念603.2群的例子603.2.1、交换群603.2.2么环的单位群613.2.3图形的对称群，613.2.4置换群633.3群同态的例子..663.4群的基本性质683.5群的构造.693.5.1构造方法(I)：子群693.674构造方法（II)：循环群3.6.1构造方法(II)：正规子群与商群763.6.2构造方法(IV)：群的直积863.7群作用913.7.1基本概念与例子91轨道3.7.2953.7.3补充材料：西罗定理97本章习题97第二部分提高篇98第四章域扩张.99酒4.1基本概念994.2各种类型的域扩张.1004.2.1单扩张，.1004.2.2有限扩张.101代数扩张.4.2.3..1024.2.4分裂域扩张(I):存在性.1034.2.5分裂域扩张(II)：唯一性..1054.2.6正规扩张...1084.2.7可分扩张，.108本章习题.113第五章伽罗瓦理论初步.1145.1伽罗瓦扩张1145.2伽罗瓦基本定理..1175.3可分正规扩张.1195.4多项式的伽罗瓦群.1195.5应用：方程根式解的判则.119本章习题..119参考文献120-ili-
第一部分基础篇-1-
第一章域的基础知识第一章域的基础知识1.1数域数域（Numberfield）是我们在高等代数中接触比较多的代数集合.常见的数域有(1)有理数域Q(2)实数域R(3)复数域C=(r+yV-ila,yeR)除此之外，还有许多其他的数域.我们首先回顾一下数域的定义，定义1.1.1设③CC是一个非空子集合，如果它对加减乘除四则运算封闭，就称为数域当我们在解方程的时候，往往会发现方程的求解非常地依赖于数域.比如方程r2+1=0,在有理数域和实数域上无解，但是在复数域上却有解=士V-1数域显然满足以下诸性质，它们虽然看似显而易见，但在我们定义抽象域的概念时，却非常重要(Ao)加法封闭性：对任何a,bE，都有a+bE,(A1)加法结合律：对任何a,b,cE?,都有(a+b)+c=a+(b+c)(A2)加法交换律：对任何a,bE?,都有a+b=b+a,(A3)加法有零元0E?对任何aE，都有0+a=a+0=a,(A4)加法有逆元：对任何aE,存在唯一的元素-aE，满足a+（-a)=（-a)+a=0,(MO)乘法封闭性：对任何a,bE?，都有a·bE,(M1)乘法结合律：对任何a,b,cE，都有(a-b)·c=a·(b.c)，(M2)乘法交换律：对任何a,bE?，都有a·b=b·a,(M3)乘法有么元1e：对任何aE，都有1·a=a·1=a,(M4)乘法有逆元：对任何非零元aE?，存在唯一的元素a-l?，满足a·a-l=a-1.a=1.(AM)分配律：对任何a,b,cE，都有(a+b)·c=a·c+b·c,注1.1.1（1）“么元”也叫做“单位元”，现在大部分教材都采用后面的译法(2)”减法”和"除法”显然可以用加法和乘法的逆元来定义，即a-b=a+（-b)，号=a·b-1.■1.2域的抽象定义现在我们要把数域的概念推广到更一般的对象上，并且希望能够保留数域的基本特性- 2 -
第一章域的基础知识(A)(M）等等，考虑一个非空集合F.我们首先要解决的事情是：如何定义所谓的"加法”和"乘法”运算，或者更一般地，我们如何定义所谓的“（代数）运算””。定义1.2.1集合F上的（代数）运算（Operation）是指如下映射μ:FxF→F比如数域③上的加法运算可以理解为+:gxg, (a,b)-→a+b.乘法运算就是:gxgP, (a,b)-a.b.为了方便起见，我们通常仍采用来表示抽象的运算，有时就简单地称作“乘法”，如果运算满足交换律，则往往习惯上改用“十”来表示该运算，以强调它的交换性，并简单地称作“加法”，请大家注意，虽然我们采用了传统的运算符号和称法，但不代表这样的运算就是我们通常理解的加法或乘法，例1.2.1(1)三维向量空间V有向量的加法运算和叉乘运算，它们都是代数运算但是内积按照我们的定义，不是代数运算，因为两个向量的内积是一个数值而非向量，(2)给定集合X，它的所有子集构成的集族上有“并”和“交”的运算，它们是代数运算(3）方阵的乘法是代数运算，它不满足交换律.现在我们可以定义抽象的域的概念定义1.2.2个假设F至少含两个元素，且有两种运算"+”和”"（仍简称做加法和乘法），满足诸性质（A0-A4)，(M0-M4）及（AM).我们称F为域(Field)注1.2.1（1）因为运算本身的定义就要求封闭性，所以（A0)(M0)在上面的定义中是自然具有的（2）定义中的零元和么元虽然仍写成0和1，但未必是我们通常理解的数域零元和么元(3)和前面的注记类似，我们可以用加法和乘法的逆元来定义”减法”和"除法”(4)加法和乘法的逆元唯一性可以从交换律与结合律推出.比如，设非零元α有两个乘法逆元b1,b2,即ab1=ab2=1,则b2=b2(ab1)= (b2a)b1= (ab2)b1=b1这就证明了唯一性1.3域的例子除了常见的数域之外，我们还有许许多多重要的域.这里例举一些经典的域，例1.3.1（有理函数域）考虑C上有理函数全体构成的集合μC(a) =f,g是复系数多项式，且9≠0(g-3-
第一章域的基础知识我们有自然的加法“+”和乘法“”，零元和么元就是0和1.这个集合在上述两种运算下构成域显然CCC(r)如果我们把复数域替换成其他任何域k，也可以定义域k上的有理函数域（Field ofrationalfunctions)k(). 比如 Q(r),R()特别地，我们可以归纳地定义多元有理函数全体构成的域k(r1,a2,*..,an) :=k(rn),这里k是给定的域，k=k(ti，，n-1)是n-1元有理函数域一例1.3.2（二次扩域）设d是非零整数，并且要求d不含平方因子，我们定义Q(Va) := fa+bvala,be Q!可以验证，它在通常的加法和乘法下构成数域我们称它为二次扩域（Quadratic field)这里，我们验证一下乘法逆元的存在性，其余验证留给读者完成1(a -bVa)(a-bVa)(-b)OVae Q(Va).=2-d62=a2-d62+a2-db2a+bVai(a+bV@)(a-bva)请注意，这里a2-db2≠0（否则d是平方数，与假设矛盾).d=-1时的域Q(V-1)，是数论中非常重要的研究对象-与所谓的二次及四次互反律有着密切的关系.它是有理数域的自然推广，■例1.3.3（n次代数数）我们可以推广上例到更一般情形：考虑有理数域Q上的一个不可约多项式f(r)=a" +an-1an-l +...+aia+ao,aieQ.设r=是方程f(e)=0的根.我们称是n次代数数.我们定义集合Q(0) =[co + co +... + Cn-10n-1 [ co,ci...,Cn-1 EQ).我们要证明上述集合是一个数域，并且其中每个元素都能唯一表成上述形式第一步.我们首先证明：如果一个有理系数多项式g(a)满足g(0)=0,则f(a)lg(a)设d(a)=gcd(f(a),g(a)).因为d(a)|f(a)且f(r)不可约，所以d(a)=1或d(a)=f(a).由辗转相除法,存在有理系数多项式s(r),t(r),使得d(r) = s(α)f(α) +t(r)g(r)代入=即得d()=0.这就得到d()=f(),因而f(a)g()第二步.证明Co + ci0+..+ cn-1on-1(1-1)所表之数两两不同.假设co+cio+..+cn-1on-1=do+dio+.+dn-1on-1且对某个下标i有Ci于d，则θ满足次数不超过n一1的有理系数非零多项式方程，这与第一步结论矛盾-4-
第一章域的基础知识第三步.证明加法封闭性和乘法封闭性设α=g(0)=Co+c10+·.+cn-1on-1β=h(0) =do +dio +..+dn-1on-1,显然，α+β仍满足（1-1)之形式.考虑带余数除法，g(r)h(a) =q(a)f(a) +r(r), degr 1是给定正整数.我们在整数集合上定义等价关系（称为同余关系，Congruencerelation)n～mn和m被N除的余数相同"=㎡是是整数，N因此我们得到等价类（称作模N的剩余类，Residueclass)[n] =(n+Nk| kez]考虑等价类全体构成的有限集合（称作模N的完全剩余系，Completeresidue system)ZN ={[0], [1], + , [N -1]]我们定义加法和乘法[n] +[m] := [n+m], [n] [m] :=[n·m].（请读者验证上述运算的定义是合理的，即不依赖于代表元的选取）：上面的加法和乘法显然满足交换律、结合律和分配律.此外，[0，[1]分别是零元和么元：加法的逆元显然存在无论如何，在很多情况下，Z中的元未必有乘法逆元．比如在Z6中[2]没有逆元我们来证明：任何非零元都有乘法逆元的充分必要条件是N为素数(）倘若N不是素数，我们将它写成N=NiN2,这里N;>1.因此[Ni]·[N2]=[0]，从而Ni] = [Ni] - ([N2] : [N2]-1] = ([Ni] - [N2]] - [N2]-1 = [0] · [N2]-1 = [0]与假设矛盾！(<)假设N是素数，[n]≠[0]（即n不被N整除).我们说明以下N个元素两两不同[n-0],[n.1],t,[n.(N-1]-5-
第一章域的基础知识这样的话，它们恰好构成ZN,因而存在某m，使得[n·m]=[1].换言之，[m]=[n]-1.不妨假设[n-mi]=[n·m2],则[n（m1-m2)]=[0]，即n(m1-m2）被N整除，从而m1-m2被N整除,即[mi]=[m2]因此，当N是素数时，Z是域，也称为模N的剩余类域（Residueclassfield)，通常也记作FN.特别地，F2=[0],[1]]是最简单的有限域.对Z3,我们有以下的剩余类加法和乘法表,[2]+[2] +[[][1][][1] [2][][0] [0][1][0] [0] [0][2][1]/ [1][2] [0] [1] [] [1] [2] [2] [0] [1][2] [0] [2] [1] 此外, [2]-1 = [2], [1]-1 = [1]上述的域与我们常见的数域或函数域完全不同.首先，它是有限域，其次，每个元素和自身相加有限次后等于零元.利用初等数论的经典结果，我们还可以证明该域中存在这样的非零元[9]，-使得任何其他非零元都能写成[9]的方幂.这种元素叫做原根(PrimitiveRoot).1.4域的基本性质命题1.4.1设F是域.我们有如下性质：(1）零元和幺元都是唯一的.(2)对任何aEF,都有0a=a·0=0(3)对任何aE F,都有(-1)·a=a·(-1)=-a(4)对任何a,bEF,都有(-a).b=a·(-b)=-(ab)(5)01以及-0=0,1-1=1和(1)-1=-1(6)（无零因子）若ab=0,则要么a=0,要么6=0.(7)(消去律）如果a·c=b.c,且c≠0,那么a=b证明（1）设00°都是加法零元.由零元的定义，我们有0=0+0=0+0=0同样地，设1，1'都是乘法么元.由么元的定义，我们有1' =1.1' = 1'.1= 1.(2)由分配律0-a+a=0a+la=(0+1)a=la=a对上式两端加（-a)，并有结合律得0·a=0.(3)来自于a+(-1)a=1·a+(-1)·a=(1+(-1))·a=0·a=0(4) (-a) b = (-1) ·a) ·b= (-1) (a -b) = -(a-b).(5)若0=1,则对任何aEF,0=0.a=1·a=a.这意味着F仅含一个元素，矛盾！由零元和么元的定义易知，-0=0,1-1=1.由（3）即得（-1)2=1,亦即（-1)-1=-1(6)若ab=0且b≠0,那么0=(ab).b-1=a,矛盾！■(7)0=a·c-b.c=(a-b)·c及c≠0推出a-b=0,即a=b.-6-