代数几何讨论班备用稿 代数几何中的拓扑 课题选讲 华东师范大学数学系 2012
目录目录第一章1群的预备知识1.1群的融合积与半直积，11.23群的实现与置换群61.3Hurwitz变换与自由群Fn本章习题8第二章9辫群的基础知识2.1带孔圆盘的基本群92.2辫群的定义102.3辩群的标架，112.4辫群的典范嵌入132.5运动诱导的辩152.6辩群的实现..162.7正辩与Dehn扭转17本章习题1921第三章辫单值的基础知识3.1辩辫单值的定义213.2射影曲线的辩单值，233.3实线排列的辩单值，243.4一般线排列的辩单值。29本章习题30第四章.32Zariski Van-Kampen定理4.1Van-Kampen定理324.2局部平凡纤维空间324.3补空间的基本群。334.4ZariskiVan-Kampen定理364.5曲线奇点的单值和基本群..374.6平面曲线的基本群38本章习题40第五章曲面的一般覆盖415.1-些经典的射影簇415.2 一般投影映射，435.3尖点曲线475.4p3中的曲面投影495.5Chisini猜想515.6一般覆盖的拓扑575.7Veronese曲面的一般覆盖57本章习题58-ii -
目录第六章弱Lefschetz定理..596.1代数簇的基本群59...........................+......+.6.2一般超平面截口。60一6.3态射的形变.··63.+.6.4弱Lefschetz定理64本章习题.64参考文献65-ili-
第一章群的预备知识第一章群的预备知识1.1群的融合积与半直积设A,Gi,G2是群，fi：A→G（i=1,2）是群同态命题1.1.1在同构意义下，存在唯一的群G及群同态9：Gi一→G（i=1,2）满足以下各条件：(1) 91 0 f1 = 92 0 f2,(2)对任何群H以及群同态hi:G;一H，如果hiofi=h2of2,则存在同态h:G→H使得hi=hogi(i=1,2)G1f2FG2这样的(G,91,92）称为fi：A→G与f2：A→G2的融合积（Amalgam)，记作Gi*AG2证明我们这里只说明G的构造，其余性质的验证留给读者我们将G1.G2中的元素构成的单词全体记作W := [(ai,...,at) | ai E Gi 或 G2].W上有自然的乘法(ai,....a)-(bi,.,bm):= (ai,..,at,bi,-.,bm)我们定义W上的一种关系：对w,weW，w>w当且仅当以下条件之一成立：(1）w中的某相邻两项ai,ai+1同属于Gi（或G2)，w恰好是将w中的这两个元替换成一个元aiai+1而得到的单词(2)w中有一项是G1或G2中单位元，w恰好是将w中的这一项去除得到的单词。(3)w中的某一项可写成fi(a）（aEA)，w恰好是将w中这一项替换成fi-i(a)得到的单词利用上述关系，我们可以进一步诱导出W的等价关系～：w～w当且仅当存在序列wo,1,-，wN，使得wo=w，wN=w，并且对任何相邻项w;和w1，要么w>wi+1，要么w^wi+1，要么wi=Wi+1容易验证，W的乘法运算与等价关系～是相容的，因此我们可构造群G=W/～.这就是我■们想要的融合积，例1.1.1A=[1)时,Gi *AG2就是G1,G2的自由积(Freeproduct),简记作Gi*G2.特-别地，我们规定自由群（Freegroup）Fn=Z*··*ZN-1-
第一章群的预备知识例1.1.2设H是群，N1,N2是H的正规子群，N是包含N1,N2的最小正规子群。取■A=H,G=H/N，fi：A→G是自然同态（i=1,2)，则Gi*AG2=H/N假设群H右作用在群N上，记作nμnh(nEN,heH).（请注意这里的群作用要求是群同态）我们定义N×H上的乘积运算(n1,h1)(n2, h2) = (n1 - n(hi"), hih2),命题1.1.22上述运算定义了N×H上的群结构，称之为N和H的半直积(Semi-directproduct)，记作N×H.进一步，我们有群得的分裂短正合列1N×H=H-1这里o(n):= (n,eH),(n,h):=h, a(h)= (eN,h)证明(1)结合律(n1,hi)(n2,h2)(n3,h3) =(n1 ng"),hh2)(n3, ha) = (1 n".ngaha),hhzh3),(n1,h)(m2, h2)(n,h3)=(,h1)(n2 ng),hh3)=(n1 (n2 ng),hzh),由群作用是同态的假设，上面两式最右端显然相等(2幺元(eN,eH)(n,h) = (eN -nen,eH -h) = (n,h)类似可证(n,h)(eN,eH)=(n,h)。(3）逆元(n,h)(n-1)h,h-1) = (en,eH) = (n-1)h,h-1)(n, h)-(4)分裂短正合列是显然的，我们不再详细验证.例1.1.3(1)如果H平凡作用在N上，那么N×H=N×H.(2)考虑Z2在Zn上的作用→-，则N× H = (a,b| a" = b2 = baba = e),-即二面体群D2n命题1.1.3设G是群，N是G的正规子群，iN—G是包含映射，H=G/N,π：G→H是自然同态，假设存在单同态α：H→G，使得πoα=idH，那么我们有H在N上的右作用n-o(h)-lno(h),nEN,h EH.此时半直积G兰N×H，这里的同构映射定义为9→（gα(元(9))-1,元(g))，其逆映射为(n,h）一→i(n)o(h)(留给读者验证)-2-
第一章群的预备知识由上面讨论，NH都可以视为N×H的子群，且N是其正规子群.H通常不是N×H的正规子群，我们设K是N×H中包含H的最小正规子群.考虑复同态:N-N×H-(N×H)/K.显见Ker=NnK是N的正规子群。命题1.1.4是满同态，NnK是N中包含集合S=(n-Inh|neN,heH)的最小正规子群，NnKKN×H-HN×H/K:N×H/K证明设(n,h)EN×H,则(n,h)=(n,eH)(en,H). 因此(n,eH) = (n,h) mod K,从而是满射注意到(n-Inh,eH)= (n,eH)-1(en,h-1)(n,eH)(en,h)EK.因此对ES有（s,eH)ENnK.这表明N中包含S的最小子群含于NK中.另一方面，对K中任何元素(n,h)-1(eN,g)(n,h) = (n-1ng")",h-"gh) = (nh)-1(nh)(h-g-h), h-igh),■其第一分量都含于N中包含S的最小子群.因而NnK就是N中包含S的最小子群1.2群的实现与置换群假设R=【R>}>eA是F的子集，N(R)是F中包含R的最小正规子群商群Fn/N(R) := (ai,*-*,an / Rx =e(^E A))称为由a1·，an在诸关系R>下生成的群。如果一个群G能够用上述方式来描述，我们就称其为G的实现(Presentation)-3-
第一章群的预备知识例1.2.1(1）循环群Zn= (ala"=e)(2)Z× Z= (a,b / aba-1b-1 =e)例1.2.2考虑整数加法群的倍乘[ml：Z→Z,n→mn.对任何正整数p,9,对应的倍乘[],[a] 的融合积为(a,b / apP = 69).设S元是对称群，并记i=（i,i+1).为和后文的记号保持一致，我们要求置换的复合从左到右进行（即右作用）.对任何，T，我们记[o, ] := oT-1+-1, (a,T) =OTT-10-1--1.显见[.l=1当且仅当T=TO:而（.T）=1当且仅当T=TOT有熟知的结论，oiESn生成Sn，并且满足o2 =(αi,oi+1) = 1, [gi,o] =1, li-l >1.下面我们证明以上关系恰好实现了Sn.命题1.2.1Sn =(01,-.-,on-1 /o2 =(gi,oi+1)=1, [oi,o]] = 1, [i-jl>1),证明设Sn=(,,n-1|=(a1)=1,[]=1,[i-j>1)设aESn，r可以表达成诸a的乘积式，记作R（通常不唯一).我们记n(a,R,k)为R中项;出现的次数，并设ko(a) = max [k|ER, n(r, R,k) ≥1)于是e Sko(a)+1 - Sko(a)Claim1.我们首先证明以下结论：如果aESk+1-Sk，那么=aakai，这里aESki≤k.对和n(a,R,)施双归纳法.当k=1时,S2=(ai|a=1)=[1,i),即a=a1.假设<k的情形已证，即Vaes,-s,-1都满足结论(i≤k).今设aESk+1.如果n(a,R,k)=0,则由归纳假设立得结论.假设对n(ar,R,k)<m情形，结论已证.我们考虑n(a,R,k）=m情形.此时aieSk.T=aicka2ckamckam+1,由归纳假设，a2=bak-1i，beSk-1.代入R，并利用ak与Sk-1中元素的交换性可得=abrkk1+.ka3*..kam+1=abrkk1k*a3kam+1进一步，利用kk-1k=k-1kk-1得=a1=ak-1kak-12k-2..-aia3-..akam+1-4-
第一章群的预备知识上面的新表达式中，以只出现m一1次.归纳法得证Claim2.考虑满同态w:Sn→Snai→oi.我们要证这也是单的对n施归纳法.n=1时是显然的，假设2)，满足以下条件：(1) pi : G→ SN,是满同态 (i=1,2),(2) (1, 2), (1, 2)) E G.设St(1,1)≤G是作用在(1,1)E{1,2.Ni}×{1,2…，N2}上的稳定子群．那么我们总有[G：St(1,1)]=NiN2,除了以下例外情形：Ni=N2=N,G=△CSN×SN（其中一个分量相差一个内自同构），这里△视作对角线证明由包含关系2...,N)≤{1,,N)可自然诱导嵌入映射SN.-1—→SN，于是我们有St(1,1) = Gn(SNi-1 × SN2-1).设e是SN的单位元，Hi x (e2) =Gn(Sn, × (e2)),[er) x H2 = Gn((ei) x Sn,),易知Kerpi={ei}×H2,Kerp2=Hi×(e2)，它们都是G的正规子群。注意到pi是满同态，因此H；也是SN的正规子群（为什么）：由经典结论，Sn的正规子群除了本身和单位元外，仅有交错群A，以及Klein群（仅在n=4情形）K4 ={e, (12)(34),(13)(24), (14)(23))以下我们分情况讨论(1)如果Hi=[ei},H2=[e2],那么p1,p2都是同构，因而Ni=Nz=N,G=△SN×SN，其中一个分量相差一个自同构.由于（(1,2),(1,2))EG,所以由经典结论可知这个自同构只能是内自同构.因此这一情形就是命题所述的例外情形.(2)如果Hi=(e1),H2≠(e2)，那么p2是同构，plop2l：SNz→Sn,是满同态，但不是同构，则有N2=4、Ni=3H2=K4（因为核是正规子群).由直接计算，可验证结论.类似也可讨论H2={e2],Hi≠ei]的情形(3）如果H1=SNi，那么G=SN,×SN（因为P2是满的).这就有IG|= Ni!N2!,|St(1,1)| = (NI - 1)!(N2 -1),-5-
第一章群的预备知识从而[G:St(1,1)] =NiN2.(4)如果H1=ANi，由p2的满射性即得|G|=Ni!N2!这就推出Kerpi|=N2，因而H2=AN2进一步可知，（01,02)EG当且仅当01,02奇偶性相同，故有(Ni - 1)!(N2-1),[St(1,1)| = 因而[G:St(1,1] =NiN2(5)如果H1=K4（此时Ni=4)，那么|G=4·N2!(由p2的满射性)，故得|H2|=吉N2!（由P1的满射性).这表明H2≠SNzANz.而H2=(e2)情形可由(3)类似讨论.因此我们只需要进一步讨论N2=4,H2=K的情形.这可以由直接计算验证.■定义 1.2.1设H.G是群，N是G的正规子群（1）我们定义如下元素生成的正规子群[N, M] := (a-1b-1abla,b e N)以及[G, N] := (a-1b-lablaE G, be N)特别地，[G,G称为换位子群，其中的元素a-lb-1ab称为换位子，简记作[a,b](2)与G中全体元素可交换的所有元素构成的正规子群称为G的中心，记作C(G)：如果N<C(G)，则称N在G中是中心的(Central)(3)若群正合列1→N→G→H→1中的N在G中是中心的，则称G是H的中心张(CentralExtension)显见,N在G中是中心的当且仅当[N,G]={1],N是交换群当且仅当[N,M]=[1].我们有以下显然的正合列I-NN.N-G/NN-GN-11.3Hurwitz变换与自由群Fn设G是群，Gm=G×·.·×G.考虑向量mt=(ti,...,tm)eGm,=(si,...,sm)Gm如果t.满足以下关系，我们就说s是由t通过Hurwitz变换（Hurwitzmoves）Ri得到的，抑或说t是由通过Hurwitz变换Rl得到：(=tii+k,k+1,Rk :=tath+itzl,8k( sk+1 = tk.( tii+k,k+1,=8i,R-l :th= 8k+1,(th+1= 8++18kSk+1.4关于Hurwitz变换的一些初等性质，我们罗列在习题1.5中，这里不再述，-6-
第一章群的预备知识这个概念也可以搬到分解式上.设g=ti..tm=si.sm是gEG的两种分解式.如果(si，，8m）是由（t1,，tm）通过Hurwitz变换得到，我们就说分解式s1sm是由t···tm通过Hurwitz变换得到。进一步，如果两个分解式能通过一系列Hurwitz变换得到彼此，我们就说这两个分解式是等价分解（Equivalentfactorization）.例1.3.1设G是群,a,bEG.(1）若ab=ba，则ab和ba是等价分解.这是因为ab和aba-1.a等价，而aba-1=b.(2）若aba=bab，那么aba和bab是等价分解。这是因为aba a(bab-1)b = (a ·bab-1 . a-1)ab = bab设Fn是自由群，ti，，tn是生成元．对任何gEn，设g=IIt，则可定义次数degg=厂ki：它不依赖于9的表达式如果厂ki达到极小，我们就说9有既约的表达式，并称L(g）=|k|是9的长度，关于次数的若干简单性质可参见习题1.6，此处不再赞述设F是由形如Qt;Q-1（QEFn）诸元素的乘积构成的子半群（有时也说由诸t正规生成的子半群).由习题1.6，gEF总是可以分解成degg个素元的乘积（通常不唯一)，我们称之为素分解(Primefactorization).定理1.3.1(Artin定理）在上述记号与假设下，ti·.·tm的任何素分解都彼此等价.证明设t=81Sm是素分解，我们要证明它等价于标准分解t.·tm.首先由习题1.6知m=m.每个8均可写成Qti.Q-1（QeFn）.令D = D($1,... , Sm) = ZL(Qi),i=1这里L（Q）表示Q：写成t表达式的乘积项个数我们对D施归纳法如D=0,则诸L(Q）=0，即Q:=id，这就推出si=ti，注意到Fn是自由群，因而立刻有t，=t，Vi，即两种分解式相同的以下假设D>0.我们只需要证明分解式能通过Hurwitz变换，使得D下降，则由归纳法立得所需.注意到QitiiQ-.Q2ti?Q2...Qmtj.Qm=ti...tm左边不是既约的，因此一定可以消去某些t，项.这样的消除可分为三种类型：(a)Q-1和Qi+1中的项相互消除直至遇到ti，或tji+1,(b）ti.Q被消除，(c)Qi+1tji+被消除.首先，类型(a)不可能出现在每一项上，否则将推出Q1=*=Qm=1，从而D=0,与归纳假设矛盾！不失一般性，可假设类型(b)出现且j=1.令R=tiiQ-lQ2：显见I(Q2) = I(Q1) + 1 + I(R).对81-*8m做Hurwitz变换R1，即得等价乘积（s1828-1）·8183*8m，其中818281=QiRtj,R-1Qi1注意到1(QiR)≤I(Q1)+I(R)<I(Q2),所以D((81828-l) -81 · 83 ---8m) <D(s1+--8m)-7-