代数几何讨论班备用稿 Hodge理论初级教程 2011
前言本讲义在Voi02,Voi03]，[CMP03]，Mainz大学讨论班教材《混合Hodge结构与奇点》及哥伦比亚大学Hodge理论讨论班笔记等文献的基础上进行了整理，对初学者难以理解的部分内容作细致的解读，并且增加了一些实例，帮助读者更好理解。为方便读者查阅相关概念或结论等，书后附有索引及参考文献，此外，每一章节末尾配有若干习题Hodge理论博大精深，要掌握好它绝非一朝一夕之事，事实上，本讲义目前所包含的内容只不过是整个Hodge理论中的冰山一角.这门课程对读者的微分几何基础有一定的要求我们默认读者已具备了一定的微分几何基础，如果读者需要重新回顾这方面的内容，可以参考[BT82][Che01][Hir76][Rha84]等经典教材讲义的安排大致与[Voi02，Voi03]主线相当，我们在第一章节罗列了所需要的大部分基础知识.VHS的相关课题因为涉及其他章节的知识，所以出于教学顺序的考虑，被拆分成两章来处理，MHS部分此次未能及时整理完成，只介绍了少量最基本的内容由于作者并非Hodge理论方面专家，这本讲义也是在学习的同时写成的，所以对该理论的认识难免有所偏颇且不够深刻，不可避免存在诸多错误，希望读者能够一一指出，今后将逐步修正，此外，因为时间仓促，有许多重要课题未能及时整理出来，一些有趣的计算实例也未能全部收入，文献收集尚欠完整等等，总之留下诸多遗憾，希望今后有机会能逐步完善它，作者在这里首先要感谢左康教授在相关研究中所给予的指导：其次感谢好友杜荣与作者进行了多次讨论，使作者对某些概念及结论有了更为准确深刻的理解。同时作者要感谢好友于飞、张通、叶飞等提供了许多重要的文献资料和有益的观点，最后，作者也十分感谢同事翟振华、谢兵永以及各位师弟对这门课程的支持陆俊2011年8月18日于华东师范大学数学系
目录目录第一章基础知识，11.1张量代数与空间结构11.2L?度量与微分算子..71.3复流形与全纯向量丛121.4格拉斯曼流形181.5复形与谱序列.22本章习题26第二章Hodge 结构282.1对偶定理...282.2Hodge分解定理.302.3Lefschetz分解定理3622.4Hodge指标定理..382.5Hodge结构41本章习题，46第三章49Hodge结构变分(I)3.1Kodaira-Spencer映射493.2局部系与Gauss-Manin联络513.353Kahler流形的稳定性，3.4周期映射与周期域..563.5Hodge 丛57本章习题60第四章整系数上同调类624.1闭链与闭链类624.2向量丛与陈类.664.3Abel-Jacobi映射69.4.474弱Lefschetz定理.4.5Lefschetz线束81本章习题88第五章混合Hodge结构初步.905.1混合Hodge结构..905.2对数deRham复形935.3混合Hodge层98本章习题.100第六章Hodge结构变分(II)101单值表示，6.1.1016.2Leray谱序列..1066.3超曲面的无限小变分.1116.4正规函数114本章习题..116参考文献118-ii-
第一章基础知识第一章基础知识1.1.张量代数与空间结构在这一节中，我们回顾向量空间上的张量代数以及度量结构。这些内容可以自然过渡到对一般流形及向量丛的整体性讨论上，设V是n维实向量空间，{ei"=1是它的一组基，设V*是其对偶空间，{e*i}"=1是相应的对偶基，即满足e*i(ei）=%V.-V&...V&V*...&V*T8中的元素称作（r.s）型张量V（相应地，V0）中的元素称为r阶反变张量（相应地，s阶协变张量）张量实际上只是向量和矩阵概念的直接推广，利用张量积，我们可诱导V的张量代数T(V) =@V.T≥0在很多情况下-比如处理缩并运算时，将V（相应地，Vo）中的元素视作V*（V）上的r（s）重线性函数会很方便.V包含两个重要的线性子空间，它们分别是对称空间Sr(V)= [r ar=a, Vo E S.)及反对称空间A'V = (α | o= sgn(o) -r Vo e St),这里S是{1,2,，r)上的r阶置换群，8gma）是置换α的符号；如果a=1r，那么规定oa := Vg-1(1) ...Vg-1(r).Λ"V中有如下元素 sgn(o).o(eir...&ei.)eii A...Aei :=GEST易知(ei^^ei,i<i<…<i≤n构成了^"V的一组基.我们可以诱导双线性映射（称作外积)A:A"V ×^*VAr+*V,即规定(ei A...Nei.)A(en AAejk):=eir A..Aei.Aejr A...Neje它满足结合律及以下的反交换律ΛW=(-1)rkWAU,WEA"V,WEAV外积给出了V的外代数A(V)=@A"V.r20-1-
第一章基础知识如前所述，Λ"V中的元素可以看作V*上的r重线性函数任取*1.，*EV*，我们有[ei (u*l) -+. eir(u*r)ei (u*) -.. ei2(u*r)ei A...Aei.(u*l,...,u*r)=三ei (u*l) .. ei,(u*r)特别地，我们有ein A...Aei,(e*i,...,e*r) = dh这里r是Kronecker符号，它的取值规定如下：如果i，..，i两两不同，且j1，·，j是前者的偶（相应地，奇）置换，那么=1（相应地，一1)；其余情形皆取值0例1.1.1在许多情形中，人们常会遇到2阶张量积-比如度量或复结构。2阶张量有许多种不同的看法（物理中称作“张量面面观”），在处理各种问题时如能灵活运用，将会使讨论大为简化(a）设EVo，写为=Sije*e*i（这里我们采用了指标求和记法，下同）.显然，也可以视作矩阵X=(Si)1<ijsn：X是（反）对称矩阵当且仅当ES2V（^2V).令(X - X*).(X+Xt), B=A=22易知A（相应地，B）是对称（相应地，反对称）矩阵，且X=A+B.用张量语言来说，$可以分解为对称张量和反对称张量之和(事实上，该分解是唯一的)，(b）任取EV，由缩并运算可给出线性映射: VV*,usije*i(u) -e*j.特别地，Φ(ei）=Sije*i，当然，我们也可以通过对第二个分量缩并得到另一线性映射。一般这两个映射不相同，除非是对称张量。反过来，给定V到V*的线性映射，自然确定了一个（0,2)型张量，如果X是可逆矩阵，设X-1=(s)1ijn（满足ssj=），则可构造(2,0)型张量n="ei&ejEv.类似地，我们有诱导的线性映射: V*V,w*ejei(w*)·ej特别地，重e*）=iei：容易验证重。亚=idy，亚。Φ=idv.有时我们称这两个映射为指标升降.(c)也可以看成是V上的一个配合（即双线性函数）《）：V×V→IR，使得(ei,ej）=Si(1≤i,j≤n)，如果是正定对称张量积（即矩阵X是正定对称矩阵)，那么等价于给出了V上的内积.此时我们显然有指标升降(d）设w=we?e*iEVl.我们类似可定义线性变换b：V-V及b：V*-→V*反过来，■这样的线性变换也确定了一个（1,1)型张量引理 1.1.1个假设=ije*ie*ieV给出了V上的内积，那么它诱导了V*上的内积(e*i,e*)) = 5)这里G=（s)1<ij<n是矩阵X=（Si）i<ij<n的逆）-2-
第一章基础知识进一步，它也诱导了"V*上的内积(e*iA...Aeir,etiA...Ne*w):=det(tij.)i<t,s<k.特别地，(e*l ^...Λe*n,e*l^..Λe*n)=detG.引理1.1.2在引理1.1.1的条件下，令1Vol =.*....N.VdetG那么对任何αEΛ"V*，存在唯一的E^"-rV*，使得对任何βEΛ"V*都有(1-1)(α, β)Vol = β A这样的记为*α，因此我们有自然同构*：^"V*-→^"-V*证明月不失一般性，我们假设[e*1"-1是V*在给定内积下的一组标准正交基.这样Vol=e*1^..^e*.我们定义*(e*i....Ae-):=sgn(i...irji...jn-r)A...Ae*in-"(1-2)这里i..i及.<jn-且its（≤s≤,ltn-r)以下验证这样定义的*满足式(1-1).不失一般性，设a=e*iN..Ne*,β=e*A...ne*ur于是有I e*l N... Ne*n, (i ...ir) = (ul...ur),(α, β) Vol =1 0,(i -ir) + (ul*++ur)以及(e* ANe*n, (i ..ir) = (uur),βΛ*α:( 0,(i....i)+(u...ur)最后验证唯一性。设满足式（1-1)，则β^（一）=0,因而由β的任意性推知=上述Vol称体积元，*称为Hodge算子.后者是三维向量叉积概念的推广。它们有以下性质推论1.1.1设a,βV*那么(1) (α, β)Vol = β△*Q = α △*β,(2) *1 = Vol,(3) (*α, *β) = (α, β),(4) **α = (-1)r(n-r)a证明前三个结论是式(1-1)及式1-2)的直接推论.下面验证（4)(α, β)Vol = (*α,*β)Vol =*β ^**Q = (-1)(n-r)**Q △*β.另一方面，α,β)Vol=α^*β.因此，α^*β=(-1)r(n-r)**α △*β.-3-
第一章基础知识-由β的任意性立得(4)如果存在一个线性变换J：V一→V使得J2=一idy，那么我们称J是V的复结构，它可以视作（1,1)型张量。J也自然诱导了V*的复结构.设A是J在V的基底(ei-1上对应的矩阵，则At恰好是J在V*的对偶基底[e*i}"-1上对应的矩阵，易知A2=-I，其特征值为土i,dimmV=2m是偶数，注1.1.1如果W是复m维向量空间，则它作为实2m维向量空间有自然的复结构，即Jw=iw，wEW.反过来，一个带有复结构J的实2m维向量空间V，通过定义i·w=JyUEV,即成为复m维向量空间.■考虑V*的复化空间V*C，那么J可以延拓到V*C上，即对任意复值泛函入=α+iBEV*C，规定J入=JQ+iJβ.设Vc（相应地，Vc)是V*C中对应特征值i（相应地，一i）的复特征子空间，它们都是复m维空间，这里dimmV=2m引理1.1.3设V有复结构J,那么V*C=Vc田Vc且Vc与Vc中的元素在复共轭下一一对应，反之，如果V是偶数维实空间，且V*C有满足以上条件的直和分解，那么它必有唯一与此相容的复结构今取V*中的基底>：=e*i+ie*m+i（j=1,..m），这里dimmV*=2m由引理1.1.3知[,-构成*C的基.因J=i.,故得Je*j = -e*m+i, Je*m+j = e*j对偶到V的基底上，则有Jej = em+j,Jem+j=-ej推论1.1.2设J是V的复结构，那么在上述记号下，V有基底{ej，Jej]孚=1，这里dimRV=2m.进一步，我们有Λ (e ^ Jei)= (A()I≤j≤m1s3sm上述的基在适当排序下，我们可以将J：V一V对应的矩阵写为A=(0 1)(-10)引理1.1.3的直和分解也能推广到入"(V*C)上，即A"(V* & C) = (APVC) ^(AVc)p+q=有时我们简记VP9=（APVe)^（AVc).VP9中的元素称为(p,Q)次外形式设V有复结构JV上的Hermite结构H是满足以下条件的二元复值函数H：V×V→C(1) H(au+Bu,w)=aH(u,w)+βH(o,w), a,βER, u,,wEV,(2) H(u, v) = H(v, u),-4-
第一章基础知识(3) H(Ju, v) = iH(u, v).如果H还满足以下条件则称为正定的，(4) H(u,u) >0, u±0我们写H=G-iK.由性质(2)，有G(u,v) =G(,u), K(u,v) = -K(u,u))由性质(3).有G(u,) = -K(Ju,v), K(u,v) = G(Ju, v)以及J不变性G(u, v) = G(Ju, Jv), K(u, v) = K(Ju, Jo).G（K）是（反)对称实值双线性函数，即对应V上(0,2)型（反)对称张量.结合性质（4)可知，H是正定的当且仅当G给出了内积.K是实值的（1,1)次形式，即KeVn^2，我们称之为H的Kahler形式注1.1.2（1）对复m维向量空间W，因为它作为实2m维空间具有自然的复结构（见注记1.1.1)，所以其上的Hermite结构等价于满足以下条件的复值函数H(qu+βu, w) = aαH(u, w)+βH(u,w), H(u,v) = H(u,u), Vα, βe C, Vu,u,w W.(2）一个带有复结构J的实向量空间上如有满足J不变性的实值对称双线性函数，则显然可以诱导Hermite结构(3)对任何实向量空间V，若V上有实值对称双线性函数（,)，那么VC上自然诱导Hermite结构：(a1 +ip1, 2 +iβ2) := ((α1,Q2) +(B1,β2))+i((1,Q2)-(a1, β2), Qj,βj V如前所述，H正定当且仅当《，）是内积.回顾Vc中的基底：=e*i+ie*m+i（j=1,m).引理1.1.4设V有复结构J和Hermite结构H=G-iK，dimxV=2m，那么(1)(以下采用指标求和记法)H=hi,hiK=这里系数hk=H(ei,ek）满足hji=hkj(2)假设H是正定的，那么内积G诱导了^"V*C上的正定Hermite结构，记作hr：H也诱导了Vp上的正定Hermite结构，记为hp.q，它们满足关系式2"hr= hp9,(1-3)p+q=r上式右边求和号表示直和进一步，由内积G诱导的Hodge*算子可以自然延拓到^(V*C)上.我们有(α, β)Vol = α^*β, α, βE^r(V* C).-5-
第一章基础知识证明月（1）来自于直接计算以下证(2)：由注记1.1.2(3)，G诱导了VC上的正定Hermite结构H1，从而类似引理1.1.1，我们也得到V*C上的正定Hermite结构h+由此也得到Hodge算子的延拓另一方面，J在VC上也诱导了特征子空间分解V&C=W1,0 @w0,1W1.0的基底可以选为10; :=(ei-iJe)它们恰好和V1.0的基底入对偶.利用R线性同构1Re: w1.0 - V,0:~2e我们可以自然诱导W1.0上的正定Hermite结构H1,0.相应地，W0,1有正定Hermite结构H01通过对偶及张量积，我们可以分别诱导^"V*C及VP9=ΛPVe^Vc上的正定Hermite结构，分别记作hk及hp,9为证式（1-3)，我们只需要考虑r=1情形即可.这时由直接计算可得H = H1O@ HO1.)■将该式对偶到V*C上即得结论推论 1.1.3在引理1.1.4的条件下，复化的Hodge算子诱导了同构* : Vpg → Vm-q,m-p.假设h(ei,ej）=（1≤i,j≤m)，则Hodge算子的具体表达式为)m .(-1)m(m-1)+mp*(....)=2P+.*sgn(i..ipa1..-am-p)sgn(ji.jgβ...βm-)...m-aA...Jam-特别地，*2=（-1)p+9,本节最后考虑一个经典的例子例1.1.2考虑复平面C=R2一点处的切空间T=R《，）.它的余切空间T*则由对偶基dr,dy生成(1)T上有自然的复结构(等价于将切向量顺时针旋转号)%_aroy因而余切空间上也有相应的复结构Jdar=-dy.(2)T上有自然的J不变内积aaaaaa=0OrOrOy"QyOrOy对偶到余切空间T*上则有内积(da,da）=（dy,dy）=1，da,dy）=0.我们可以定义体积元Vol=dr^dy及Hodge算子*dx=dy，*dy=-dr-6-
第一章基础知识(3)考虑复化切空间TC，则它作为复2维向量空间由以下两个元素生成aa1/0.01(aa=2（-）2（+）复化余切空间T*C的对偶基为dz=dr + idy, dz=da-idy复结构可以延拓到T*C上，即Jdz=idz，Jdz=一idz，因此构成特征子空间的直和分解T* C= T1,0 T0,1这里 T1,0 = C(dz), T0,1 = T1,0= C(dz)(4)T的复结构J及自然内积诱导了其上的正定Hermite结构H=dzdz，亦即(aa)taaQ00HH:1,HOraruarQr Qyua它的Kahler形式为K=dzdz=dady对偶到余切空间T*上则有诱导的正定Hermite结构h=4%最，即h(da,da) = h(dy,dy) = 1, h(dr,dy) = h(dy,da) = i.(5)T的自然内积诱导了复化切空间上的正定Hermite结构Hi=号dzdz+dzdz，即a7aaa(00)-Hi)=()()=0=Hi(0z0z0元102W1,0=C(是）=V（相应地，W1,0)）上有正定Hermite结构H1.0=idzdz（相应地，H01=1dzdz).Hi又进一步诱导了复化余切空间T*C上的正定Hermite结构h1=2%+2是%使得hi(dz,dz) =hi(dz. dz) = 2. h(dz,dz) = hi(dz,dz) = 0另一方面，H1,0（相应地，H0,1）诱导了V10（相应地，V0,1）上的正定Hermite结构h10=4是品（相应地，ho1=4号）(6)*dz=*(dr+idy)=dy—idr=idz.同理*dz=idz此外，我们有*(dz^dz)=-2i*(dr^dy)=-2i以及*1 = dr ^ dy =1.2L?度量与微分算子这一节中，我们总假设X是n维紧黎曼流形，2是X上的k次微分形式向量丛，A(X）是其Coo整体截面空间.设2.是在点aEX处的k次微分形式全体设[ei}"=1是2x,的一组基，9ii=(ei；e是黎曼度量由引理1.1.1，我们可以自然诱导-7-