第三章Riemann-Roch定理本章主要研究紧致（无边）黎曼曲面，我们要证明极为重要的Riemann-Roch公式，并探讨这个公式的一些应用.83.1因子定义3.1.1(因子).设M为黎曼曲面，考虑映射D：M→Z.如果除了有限个点pEM之外，均有D(P)=0,则称D为M上的一个因子通常，我们用一个形式和Z,D(p)·p来表示M上的因子D.如果D(P)≥0,DEMVpEM,则称D为M上的有效因子，记为D≥0.用D表示M上因子全体组成的集合，在D内可以自然地引入群的运算：设 Di,D2eD, Di = Di(p) -p,ZD2(p)·p,定义PEMPEM(Di(p) + D2(p) ·p,Di + D2 = PEM (Di(p)-D2(p)-p.D1 - D2 =PEM在这些运算下，D成为一个交换群，称为因子群定义从D到整数加群Z的同态如下：d:D→ZD- ZD(p).PEMd(D)=D(p)称为因子D的次数PEM例3.1.1.亚纯函数诱导的因子设f为黎曼曲面M上的亚纯函数，则f决定了一个因子（f)，定义如下：(f) = vp(f) -p.PEM于诱导的因子（J)具有如下性质：·如果M为紧致黎曼曲面，则d((f))=0.这是留数公式的推论；· (f - g) = (f) + (g), (f/g) = (f) - (g)57
第三章 Riemann-Roch 定理 本章主要研究紧致 (无边) 黎曼曲面, 我们要证明极为重要的 Riemann-Roch 公 式, 并探讨这个公式的一些应用. §3.1 因子 定义 3.1.1 (因子). 设 M 为黎曼曲面, 考虑映射 D : M Ñ Z. 如果除了有限 个点 p P M 之外, 均有 Dppq “ 0, 则称 D 为 M 上的一个因子. 通常, 我们用一个形式和 ř pPM Dppq ¨ p 来表示 M 上的因子 D. 如果 Dppq ě 0, @ p P M, 则称 D 为 M 上的有效因子, 记为 D ě 0. 用 D¯ 表示 M 上因子全体组成 的集合, 在 D¯ 内可以自然地引入群的运算: 设 D1, D2 P D¯, D1 “ ř pPM D1ppq ¨ p, ř pPM D2ppq ¨ p, 定义 D1 ` D2 “ ÿ pPM pD1ppq ` D2ppqq ¨ p, D1 ´ D2 “ ÿ pPM pD1ppq ´ D2ppqq ¨ p. 在这些运算下, D¯ 成为一个交换群, 称为因子群. 定义从 D¯ 到整数加群 Z 的同态 如下: d : D¯ Ñ Z D ÞÑ ÿ pPM Dppq. dpDq “ ř pPM Dppq 称为因子 D 的次数. 例 3.1.1. 亚纯函数诱导的因子. 设 f 为黎曼曲面 M 上的亚纯函数, 则 f 决定了一个因子 pfq, 定义如下: pfq “ ÿ pPM νppfq ¨ p. f 诱导的因子 pfq 具有如下性质: • 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 dppfqq “ 0. 这是留数公式的推论; • pf ¨ gq “ pfq ` pgq, pf{gq “ pfq ´ pgq. 57
58第三章Riemann-Roch定理定义3.1.2（主要因子群）.如果M为紧致黎曼曲面，f为M上的亚纯函数，则称（f）为一个主要因子.记P=(f)Ifem(M))，P为因子群的子群，称为主要因子群根据主要因子的性质我们知道，PcKerd，因此d诱导了D/P到Z的同态称商群DP为因子类群，记为D.VD,D'D,如果D-D'EP,则称D与D线性等价，用D=D'表示.例3.1.2.亚纯微分诱导的因子设w为黎曼曲面M上的亚纯微分，则w决定了M上的一个因子，记为(w),定义如下：(w) = vp(w) ·p.PEM如果w为另一亚纯微分，则有(w) - (w') = E (vp(w) -vp(w')) ·ppeM=Zvp(w/w)·pPEM= (w/w').这里，w/w是M上的亚纯函数，因而（w）和（w）线性等价，记它们在因子类群中的等价类为K，称为典范因子(类)定义3.1.3.设M为紧致黎曼曲面，D为M上的一个因子.令I(D)=(f em(M)I(f)+D≥0)i(D) = (w ER(M)I(w) -D≥0)I(D）和（D)分别是亚纯函数域m(M）和亚纯微分空间R(M）的子集.下面的引理表明，它们都是有限维的子向量空间。引理3.1.1.(D)和（D)具有以下性质：(i)(D)和(D)为复向量空间。如果 D~D',则 I(D)与 I(D')线性同构,D)与(D')线性同构；(i)l(D)和（D)为有限维复向量空间;(ii)如果K为典范因子,则(D)与 l(K-D)线性同构证明.(i)设f,gel(D),则由p(f+g)≥min(vp(f),vp(g))以及(f)+D≥0,(g)+D≥0 知 vp(f +g)+D(p)≥0, VpE M. 这说明 f +g E l(D).如果入C,feI(D),则显然入f eI(D).因此I(D)为复向量空间
58 第三章 Riemann-Roch 定理 定义 3.1.2 (主要因子群). 如果 M 为紧致黎曼曲面, f 为 M 上的亚纯函数, 则称 pfq 为一个主要因子. 记 P “ tpfq | f P MpMqu, P 为因子群的子群, 称为主 要因子群. 根据主要因子的性质我们知道, P Ă Kerd, 因此 d 诱导了 D¯{P 到 Z 的同态. 称商群 D¯{P 为因子类群, 记为 D. @D, D1 P D¯, 如果 D ´ D1 P P, 则称 D 与 D1 线 性等价, 用 D – D1 表示. 例 3.1.2. 亚纯微分诱导的因子. 设 ω 为黎曼曲面 M 上的亚纯微分, 则 ω 决定了 M 上的一个因子, 记为 pωq, 定义如下: pωq “ ÿ pPM νppωq ¨ p. 如果 ω 1 为另一亚纯微分, 则有 pωq ´ pω 1 q “ ÿ pPM pνppωq ´ νppω 1 qq ¨ p “ ÿ pPM νppω{ω 1 q ¨ p “ pω{ω 1 q. 这里, ω{ω 1 是 M 上的亚纯函数, 因而 pωq 和 pω 1 q 线性等价, 记它们在因子类群中 的等价类为 K, 称为典范因子(类). 定义 3.1.3. 设 M 为紧致黎曼曲面, D 为 M 上的一个因子. 令 lpDq “ tf P MpMq | pfq ` D ě 0u, ipDq “ tω P KpMq | pωq ´ D ě 0u. lpDq 和 ipDq 分别是亚纯函数域 MpMq 和亚纯微分空间 KpMq 的子集. 下面 的引理表明, 它们都是有限维的子向量空间. 引理 3.1.1. lpDq 和 ipDq 具有以下性质: piq lpDq 和 ipDq 为复向量空间. 如果 D – D1 , 则 lpDq 与 lpD1 q 线性同构, ipDq 与 ipD1 q 线性同构; piiq lpDq 和 ipDq 为有限维复向量空间; piiiq 如果 K 为典范因子, 则 ipDq 与 lpK ´ Dq 线性同构. 证明. piq 设 f, g P lpDq, 则由 νppf ` gq ě mintνppfq, νppgqu 以及 pfq ` D ě 0, pgq ` D ě 0 知 νppf ` gq ` Dppq ě 0, @ p P M. 这说明 f ` g P lpDq. 如果 λ P C, f P lpDq, 则显然 λf P lpDq. 因此 lpDq 为复向量空间
83.1因子59如果D'=D+(fo),foEm(M),则(f)+D≥0 (f)+D+(fo)≥0 (ffo)+D≥0,从而下面的映射:I(D) -→I(D)f→ffo为线性同构.对于（D的证明是完全类似的，留作习题.(i)首先,把因子D写成两个有效因子的差：D=D1-D2,D1≥0,D2≥0.显然，I(D)Cl(Di).我们证明对于有效因子D1，diml(Di）0.记 AD = (f e I(Di)Ivp(f)>-n,BD, = (f e 1(Di)Ivp(f) = -n). 则显然AD,UBD=I(Di),且AD I(Di-p)。由归纳假设，dimAD<00.如果BD,≠,取foeBD1，设z为p附近的局部坐标函数，z(p)=0.在p附近fo有展开fo(z) = a=nz-n + a=n+12-n+1 +..*a=n ± 0.任取fEBD1f都有类似的展开式，从而存在入eC，使得f-入foEADr这说明l(Di)=span(fo,ADi).特别地,diml(Di)≤dimAD,+1<00.由归纳法，这就证明了1(D）总是有限维的复向量空间.对于（D）的证明是完全类似的，留作习题(ii)设典范因子K由M上非零亚纯微分w生成.则有(n)- D≥0 (n) - (w) + (w) -D≥0 (n/w) +K- D≥0.从而下面的映射b: i(D) →I(K -D)n→n/w.口为线性同构从上面引理的证明我们还得到以下的推论
§3.1 因子 59 如果 D1 “ D ` pf0q, f0 P MpMq, 则 pfq ` D1 ě 0 ðñ pfq ` D ` pf0q ě 0 ðñ pff0q ` D ě 0, 从而下面的映射 ϕ : lpD1 q Ñ lpDq f ÞÑ ff0. 为线性同构. 对于 ipDq 的证明是完全类似的, 留作习题. piiq 首先, 把因子 D 写成两个有效因子的差: D “ D1 ´ D2, D1 ě 0, D2 ě 0. 显然, lpDq Ă lpD1q. 我们证明对于有效因子 D1, dim lpD1q ă 8. 对 dpD1q 进 行归纳. 当 dpD1q “ 0 时, D1 “ 0, 因此 lpD1q “ lp0q “ tf P MpMq | pfq ě 0u “ tM 上的全纯函数u “ C. 假设 dpD1q “ m 时, dim lpD1q ă 8, 则当 dpD1q “ m ` 1 时, 可设 D1 “ n ¨ p ` ¨ ¨ ¨ , n ą 0. 记 AD1 “ tf P lpD1q | νppfq ą ´nu, BD1 “ tf P lpD1q | νppfq “ ´nu. 则显然 AD1 Y BD1 “ lpD1q, 且 AD1 Ă lpD1 ´ pq. 由归纳假设, dim AD1 ă 8. 如果 BD1 ‰ H, 取 f0 P BD1 , 设 z 为 p 附近的局部坐标函数, zppq “ 0. 在 p 附近 f0 有 展开 f0pzq “ a´nz ´n ` a´n`1z ´n`1 ` ¨ ¨ ¨ , a´n ‰ 0. 任取 f P BD1 , f 都有类似的展开式, 从而存在 λ P C, 使得 f ´ λf0 P AD1 . 这说明 lpD1q “ spantf0, AD1 u. 特别地, dim lpD1q ď dim AD1 ` 1 ă 8. 由归纳法, 这就证明了 lpDq 总是有限维的复向量空间. 对于 ipDq 的证明是完全类 似的, 留作习题. piiiq 设典范因子 K 由 M 上非零亚纯微分 ω 生成. 则有 pηq ´ D ě 0 ô pηq ´ pωq ` pωq ´ D ě 0 ô pη{ωq ` K ´ D ě 0. 从而下面的映射 ψ : ipDq Ñ lpK ´ Dq η ÞÑ η{ω. 为线性同构. 从上面引理的证明我们还得到以下的推论.
60第三章Riemann-Roch定理推论3.1.2.设M维紧致黎曼曲面.则(i)对于有效因子D,有diml(D)≤d(D)+1;(i)特别地，diml(p)≤2,VpeM.并且等号成立的充分必要条件是M与黎曼球面S同构.(ii）dimH<00，其中H是M上全纯1-形式的全体组成的复向量空间，证明.(i)这从上面的归纳证明即可看出.特别地，diml(p)≤d(p)+1=2VpEM.如果对于某个pEM,diml(p)=2,则存在fel(p)，f不是常值函数.由(f)+p≥0知于以p为惟一的极点，且这个极点为单极点.这说明，作为分歧覆盖，f：M→S是一一的全纯映照，即f是从M到S的全纯同构.这就证明了(ii),(i)如果H=(O)，则没什么要证的.否则，任取一个非零全纯微分w，它生成的典范因子K=(w)是一个有效因子因此有dimH = dimi(O) = diml(K)≤ d(K) +1.口特别地，H是有限维复向量空间，习题3.11.设D为黎曼曲面M上的因子,证明,如果d(D)<0,则I(D)=(0)2.设z为C上的标准复坐标，证明，把z看成黎曼球面S上的亚纯函数后其诱导的因子为（z）=0－003.设p,q为黎曼球面s上两个不同的点。证明，存在亚纯函数f，使得（f)=p-q4.设D为黎曼球面S上的因子.证明,D为主要因子的充分必要条件是d(D)=0.5.设M为紧黎曼曲面，D1，D2为M上的因子，其中D2为有效因子.证明，diml(D1 + D2) ≤diml(D) +d(D2)6.证明，如果紧致黎曼曲面M上存在处处非零的全纯1-形式，则dimH=1.g3.2Hodge定理设M为黎曼曲面.我们回忆一下，A(M）表示M上q次微分形式组成的复线性空间，q=0,1.我们有线性算子d：A(M)→A9+1(M)及*：A(M)→A(M)
60 第三章 Riemann-Roch 定理 推论 3.1.2. 设 M 维紧致黎曼曲面. 则 piq 对于有效因子 D, 有 dim lpDq ď dpDq ` 1; piiq 特别地, dim lppq ď 2, @ p P M. 并且等号成立的充分必要条件是 M 与黎 曼球面 S 同构. piiiq dim H ă 8, 其中 H 是 M 上全纯 1- 形式的全体组成的复向量空间. 证明. piq 这从上面的归纳证明即可看出. 特别地, dim lppq ď dppq ` 1 “ 2, @ p P M. 如果对于某个 p P M, dim lppq “ 2, 则存在 f P lppq, f 不是常值函数. 由 pfq ` p ě 0 知 f 以 p 为惟一的极点, 且这个极点为单极点. 这说明, 作为分歧覆盖, f : M Ñ S 是一一的全纯映照, 即 f 是从 M 到 S 的全纯同构. 这就证明了 piiq. piiiq 如果 H “ t0u, 则没什么要证的. 否则, 任取一个非零全纯微分 ω, 它生成 的典范因子 K “ pωq 是一个有效因子. 因此有 dim H “ dim ip0q “ dim lpKq ď dpKq ` 1. 特别地, H 是有限维复向量空间. 习题 3.1 1. 设 D 为黎曼曲面 M 上的因子, 证明, 如果 dpDq ă 0, 则 lpDq “ t0u. 2. 设 z 为 C 上的标准复坐标, 证明, 把 z 看成黎曼球面 S 上的亚纯函数后其诱 导的因子为 pzq “ 0 ´ 8. 3. 设 p, q 为黎曼球面 S 上两个不同的点. 证明, 存在亚纯函数 f, 使得 pfq “ p´q. 4. 设 D 为黎曼球面 S 上的因子. 证明, D 为主要因子的充分必要条件是 dpDq “ 0. 5. 设 M 为紧黎曼曲面, D1, D2 为 M 上的因子, 其中 D2 为有效因子. 证明, dim lpD1 ` D2q ď dim lpD1q ` dpD2q. 6. 证明, 如果紧致黎曼曲面 M 上存在处处非零的全纯 1- 形式, 则 dim H “ 1. §3.2 Hodge 定理 设 M 为黎曼曲面. 我们回忆一下, Aq pMq 表示 M 上 q 次微分形式组成的复线 性空间, q “ 0, 1. 我们有线性算子 d : Aq pMq Ñ Aq`1 pMq 及 ˚ : A1 pMq Ñ A1 pMq.
61$3.2Hodge定理又，我们有微分形式的分解A(M)=A1.0(M)④A0.1(M),其中A1.0(M)为(1,0)形式的全体，A0.1(M)为(0,1)形式的全体，并且*w=-V-lw,wEA10(M),*w=-1w, wEA0l(M)定义3.2.1.设w为1-形式.如果w及*w均为闭形式，则称w为调和形式。调和形式具有如下性质：·全纯形式必为调和形式.这是因为如果w为全纯形式，则w和*w=-V-1w均为闭形式；·调和形式是全纯形式当且仅当它是（1,0）型的调和形式我们把调和形式的全体组成的线性空间记为H1，下面的引理进一步说明了调和形式和全纯形式之间的关系引理3.2.1.H1=H④H，其中H=wEH)是全纯形式空间H的共轭空间.证明.如果wEH，则为（0,1)形式，*=V-I.因为w是闭形式，w和*w也是闭形式.这说明hCH，从而HOHcHI.反之，设wEHl，则w可写为w+V-I*ww-V-i*ww=22因为*(+V*w)-V-)=-V-1(+V-*(*w22-V-1*w(+) =V(-V)022故"+*为（1,0）形式，且为闭形式。根据上面的性质，它是全纯形式。同理，eR,这说明HCHOR.从而H=HOH口这就证明了引理从这个引理我们看到，对于紧致黎曼曲面，H为有限维向量空间.为了更进一步研究调和形式和全纯形式，我们在1-形式空间A（M）中引入内积运算
§3.2 Hodge 定理 61 又, 我们有微分形式的分解 A1 pMq “ A1,0 pMq ‘ A0,1 pMq, 其中 A1,0 pMq 为 p1, 0q 形式的全体, A0,1 pMq 为 p0, 1q 形式的全体, 并且 ˚ω “ ´? ´1 ω, ω P A 1,0 pMq, ˚ω “ ? ´1 ω, ω P A 0,1 pMq. 定义 3.2.1. 设 ω 为 1- 形式. 如果 ω 及 ˚ω 均为闭形式, 则称 ω 为调和形式. 调和形式具有如下性质: • 全纯形式必为调和形式. 这是因为如果 ω 为全纯形式, 则 ω 和 ˚ω “ ´? ´1 ω 均为闭形式; • 调和形式是全纯形式当且仅当它是 p1, 0q 型的调和形式. 我们把调和形式的全体组成的线性空间记为 H1 . 下面的引理进一步说明了调 和形式和全纯形式之间的关系. 引理 3.2.1. H1 “ H ‘ H¯, 其中 H¯ “ tω¯ | ω P Hu 是全纯形式空间 H 的共轭 空间. 证明. 如果 ω P H, 则 ω¯ 为 p0, 1q 形式, ˚ω¯ “ ? ´1 ¯ω. 因为 ω 是闭形式, ¯ω 和 ˚ω¯ 也是闭形式. 这说明 H¯ Ă H1 , 从而 H ‘ H¯ Ă H1 . 反之, 设 ω P H1 , 则 ω 可写为 ω “ ω ` ? ´1 ˚ ω 2 ` ω ´ ? ´1 ˚ ω 2 . 因为 ˚pω ` ? ´1 ˚ ω 2 q “ 1 2 p˚ω ´ ? ´1 ωq “ ´? ´1 p ω ` ? ´1 ˚ ω 2 q, ˚pω ´ ? ´1 ˚ ω 2 q “ 1 2 p˚ω ` ? ´1 ωq “ ? ´1 p ω ´ ? ´1 ˚ ω 2 q. 故 ω` ? ´1 ˚ω 2 为 p1, 0q 形式, 且为闭形式. 根据上面的性质, 它是全纯形式. 同理, ω´ ? ´1 ˚ω 2 P H¯, 这说明 H1 Ă H ‘ H¯. 从而 H1 “ H ‘ H¯. 这就证明了引理. 从这个引理我们看到, 对于紧致黎曼曲面, H1 为有限维向量空间. 为了更进 一步研究调和形式和全纯形式, 我们在 1- 形式空间 A1 pMq 中引入内积运算.
62第三章Riemann-Roch定理设M为紧致黎曼曲面，w1,w2EA(M),定义(w1,w2) =1A*2在局部坐标下，如果w1=uidz+idz，wz=u2dz+v2dz分别为w1，w2的局部表示，则w2=V-(u2+102)dzdz由此容易看出，（）为A"(M）上定义好的Hermite内积.对于wEA"(M)，定义它在此内积下的范数为[wl = V(w,w)引理3.2.2.设M为紧致黎曼曲面，（）是上面定义的内积.则(i)如果w为M上的调和形式,则(w,df)=0,VfeA(M).特别地，调和形式是恰当形式当且仅当它为零；(i)设w=wo+df为闭形式，其中wo为调和形式，feA(M)。则w|≥[wll且等号成立当且仅当w=wo.证明（i）因为（）为Hermite内积，我们只要证明（df，w）=0即可.由于w为调和形式，*w为闭形式.利用Stokes积分公式，我们有(df,w) =df^*JMd(f*w)M= 0.如果w为调和形式，且w=dh，则[w2= (w,w) = (dh,w) =0从而只能w=0.(i)利用(i)我们有w?= (wo + df,wo + df)= (wo,wo) + (df,wo) + (wo,df) + (df,df)= [wol2 + [df]2 ≥ wo2.口等号成立当且仅当df=0,即w=wo.从这个引理我们看到，调和形式和恰当形式是正交的；在M的一个deRham上同调类中如果存在调和形式作为代表，则这个调和形式范数最小，并且同一个deRham上同调中最多只能有一个调和形式作为代表.然而，我们有如下重要的分解定理
62 第三章 Riemann-Roch 定理 设 M 为紧致黎曼曲面, ω1, ω2 P A1 pMq, 定义 pω1, ω2q “ ż M ω1 ^ ˚ω¯2. 在局部坐标下, 如果 ω1 “ u1dz ` v1dz¯, ω2 “ u2dz ` v2dz¯ 分别为 ω1, ω2 的局部表 示, 则 ω1 ^ ˚ω¯2 “ ? ´1 pu1u¯2 ` v1v¯2qdz ^ dz. ¯ 由此容易看出, p,q 为 A1 pMq 上定义好的 Hermite 内积. 对于 ω P A1 pMq, 定义它 在此内积下的范数为 }ω} “ a pω, ωq. 引理 3.2.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, p,q 是上面定义的内积. 则 piq 如果 ω 为 M 上的调和形式, 则 pω, dfq “ 0, @ f P A0 pMq. 特别地, 调和形 式是恰当形式当且仅当它为零; piiq 设 ω “ ω0 `df 为闭形式, 其中 ω0 为调和形式, f P A0 pMq. 则 }ω} ě }ω0}, 且等号成立当且仅当 ω “ ω0. 证明. piq 因为 p,q 为 Hermite 内积, 我们只要证明 pdf, ωq “ 0 即可. 由于 ω 为 调和形式, ˚ω 为闭形式. 利用 Stokes 积分公式, 我们有 pdf, ωq “ ż M df ^ ˚¯ω “ ż M dpf˚¯ωq “ 0. 如果 ω 为调和形式, 且 ω “ dh, 则 }ω} 2 “ pω, ωq “ pdh, ωq “ 0. 从而只能 ω “ 0. piiq 利用 piq 我们有 }ω} 2 “ pω0 ` df, ω0 ` dfq “ pω0, ω0q ` pdf, ω0q ` pω0, dfq ` pdf, dfq “ }ω0} 2 ` }df} 2 ě }ω0} 2 . 等号成立当且仅当 df “ 0, 即 ω “ ω0. 从这个引理我们看到, 调和形式和恰当形式是正交的; 在 M 的一个 de Rham 上同调类中如果存在调和形式作为代表, 则这个调和形式范数最小, 并且同一个 de Rham 上同调中最多只能有一个调和形式作为代表. 然而, 我们有如下重要的分解 定理.
63$3.2Hodge定理定理3.2.3(Hodge定理)设M为紧致黎曼曲面：对任意wEA'(M)，存在惟一的WhEH1,以及在相差一个常数意义下惟一的光滑函数f,gEA(M)，使得W=Wh +df +*dg这个重要定理的证明参见本书附录：我们现在从这个定理推导一些今后需要的推论.首先，容易看到上述定理中的分解在内积（）下是一个正交分解如果w为闭形式，则它的分解将没有第三项.这是因为，如果*dg为闭形式，则I* dg]? =*dg ^** dg =d(g * dg) = 0JA从而*dg=0.因此，任何deRham上同调类中总存在惟一的调和代表元推论3.2.4.设M为紧致黎曼曲面，则Har(M）与HI线性同构.证明.定义映射Φ：HdR(M)→H为([w]) = wh.根据刚才的讨论，Φ是定义好的线性映射，并且既是单射又是满射，因而为线性同构口特别地，dimHar(M）=dimHl=2dimH，记dimH为g，g为拓扑不变量，称为M的亏格.例如，黎曼球面S亏格为0，黎曼环面C/A亏格为1推论3.2.5.设M为紧致黎曼曲面，n≥1为正整数.任取pEM，B为p附近的坐标邻域，z为B上的坐标函数，z(p)=0.则存在M上的亚纯微分n，使得n以p为惟一极点，且在p附近有m = d(=) + mh其中，h是p附近的全纯微分.证明.不妨设z(B)=D,记B,=(qEBIz(g)I<)取M上的光滑截断函数p:M→R，使得PlB=1,pM-B=0通过零延拓，考虑M-(p)上如下1-形式：d(p),qeB,w=[o, q$B.在B内，w--I*w'=0.因此，w-V-I*w可看成M上的光滑1-形式.由Hodge定理，存在wheH以及光滑函数f,g，使得w--1*w'=wh+df+*dg
§3.2 Hodge 定理 63 定理 3.2.3 (Hodge 定理). 设 M 为紧致黎曼曲面. 对任意 ω P A1 pMq, 存在 惟一的 ωh P H1 , 以及在相差一个常数意义下惟一的光滑函数 f, g P A0 pMq, 使得 ω “ ωh ` df ` ˚dg. 这个重要定理的证明参见本书附录. 我们现在从这个定理推导一些今后需要 的推论. 首先, 容易看到上述定理中的分解在内积 p,q 下是一个正交分解. 如果 ω 为闭形式, 则它的分解将没有第三项. 这是因为, 如果 ˚dg 为闭形式, 则 } ˚ dg} 2 “ ż M ˚dg ^ ˚ ˚ dg¯ “ ż M dpg¯ ˚ dgq “ 0. 从而 ˚dg “ 0. 因此, 任何 de Rham 上同调类中总存在惟一的调和代表元. 推论 3.2.4. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则 H1 dRpMq 与 H1 线性同构. 证明. 定义映射 ϕ : H1 dRpMq Ñ H1 为 ϕprωsq “ ωh. 根据刚才的讨论, ϕ 是定义好的线性映射, 并且既是单射又是满射, 因而为线性同 构. 特别地, dim H1 dRpMq “ dim H1 “ 2 dim H, 记 dim H 为 g, g 为拓扑不变量, 称 为 M 的亏格. 例如, 黎曼球面 S 亏格为 0, 黎曼环面 C{Λ 亏格为 1. 推论 3.2.5. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M, B 为 p 附 近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 η, 使得 η 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有 η “ dp 1 z n q ` ηh, 其中, ηh 是 p 附近的全纯微分. 证明. 不妨设 zpBq “ D, 记 B1 2 “ tq P B ˇ ˇ |zpqq| ă 1 2 u. 取 M 上的光滑截断函 数 ρ : M Ñ R, 使得 ρ|B 1 2 ” 1, ρ|M´B ” 0. 通过零延拓, 考虑 M ´ tpu 上如下 1- 形式: ω 1 “ $ & % dpρ ¨ 1 zn q, q P B, 0, q R B. 在 B1 2 内, ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 ” 0. 因此, ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 可看成 M 上的光滑 1- 形式. 由 Hodge 定理, 存在 ω 1 h P H1 以及光滑函数 f, g, 使得 ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 “ ω 1 h ` df ` ˚dg.
64第三章Riemann-Roch定理令w=-df=-1*w+wh+*dg，则w具有如下性质：(1)w在M-(p)上为调和形式事实上，由定义知w为闭形式，因此w=w'-f为闭形式，且*w=-V-iw+*wh-dg也是闭形式(2)在B内，w=Wh+d()，其中wh为B内调和形式.事实上，在B内，w=V-1*w=d(），因而w-d()=-df = wh + *dg由此易见w-d(）在B,内为调和形式.令n=(w+V-1 *w).由(1),(2)即知,n为满足要求的亚纯微分口从这个推论我们还可以得到下面两件事实：（1）紧致黎曼曲面上典范因子总是存在的：（2）紧致黎曼曲面上总存在非平凡的亚纯函数（只要取两个上述亚纯微分相除即可)在本节最后，我们考虑有限维复线性空间H的基，设M为紧致黎曼曲面，号格为g.取H在内积（.）下的一组标准正交基（Φ1,Φ2，·，Φg)则Hl = span(p1,p2,*..,pg,1,02,...,@g)令ΦH→C9wwA 01, wA02,.., Jw 0g)根据基的选取我们容易看出为单的线性映射，从而是一个线性同构习题3.21.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式，则（w,*df)=0,VfeA°(M)2.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式.如果(w,df）=0,VfeA(M)，则w为调和形式3.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式.如果(w,n)=0,VneHl,则w为恰当形式4.设M为紧致黎曼曲面，pEM.证明Har(M)和Har(M-(p)同构5.设M为紧致黎曼曲面,p,g为M两个不同的点，z,w分别是p.g附近的局部坐标函数.证明，存在M上的亚纯微分，它以p,q为仅有的极点，且在p附近具有奇性部分些，在附近具有奇性部分一。6.利用本节知识证明，亏格为0的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面S
64 第三章 Riemann-Roch 定理 令 ω “ ω 1 ´ df “ ? ´1 ˚ ω 1 ` ω 1 h ` ˚dg, 则 ω 具有如下性质: p1q ω 在 M ´ tpu 上为调和形式. 事实上, 由定义知 ω 1 为闭形式, 因此 ω “ ω 1 ´ df 为闭形式, 且 ˚ω “ ´? ´1 ω 1 ` ˚ω 1 h ´ dg 也是闭形式. p2q 在 B1 2 内, ω “ ωh ` dp 1 zn q, 其中 ωh 为 B1 2 内调和形式. 事实上, 在 B1 2 内, ω 1 “ ? ´1 ˚ ω 1 “ dp 1 zn q, 因而 ω ´ dp 1 z n q “ ´df “ ω 1 h ` ˚dg. 由此易见 ω ´ dp 1 zn q 在 B1 2 内为调和形式. 令 η “ 1 2 pω ` ? ´1 ˚ ωq. 由 p1q, p2q 即知, η 为满足要求的亚纯微分. 从这个推论我们还可以得到下面两件事实: p1q 紧致黎曼曲面上典范因子总是 存在的; p2q 紧致黎曼曲面上总存在非平凡的亚纯函数 (只要取两个上述亚纯微分 相除即可). 在本节最后, 我们考虑有限维复线性空间 H 的基. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏 格为 g. 取 H 在内积 p,q 下的一组标准正交基 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu. 则 H1 “ spantϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕg, ϕ¯ 1, ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ϕ¯ gu. 令 ϕ : H Ñ C g ω ÞÑ pż M ω ^ ϕ¯ 1, ż M ω ^ ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ż M ω ^ ϕ¯ gq. 根据基的选取我们容易看出 ϕ 为单的线性映射, 从而是一个线性同构. 习题 3.2 1. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式, 则 pω, ˚dfq “ 0, @ f P A0 pMq. 2. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式. 如果 pω, dfq “ 0, @ f P A0 pMq, 则 ω 为调和形式. 3. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式. 如果 pω, ηq “ 0, @ η P H1 , 则 ω 为恰 当形式. 4. 设 M 为紧致黎曼曲面, p P M. 证明 H1 dRpMq 和 H1 dRpM ´ tpuq 同构. 5. 设 M 为紧致黎曼曲面, p, q 为 M 两个不同的点, z, w 分别是 p, q 附近的局部 坐标函数. 证明, 存在 M 上的亚纯微分, 它以 p, q 为仅有的极点, 且在 p 附近 具有奇性部分 dz z , 在 q 附近具有奇性部分 ´ dw w . 6. 利用本节知识证明, 亏格为 0 的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面 S.
65g3.3Riemann-Roch公式g3.3Riemann-Roch公式在本章第一节中，我们证明了，对于紧致黎曼曲面上的任何因子D，I(D)，（D)均为有限维复向量空间.在这一节里，利用Hodge定理，我们来证明关于这两个有限维向量空间维数的一个重要等式，它是由Riemann，以及Riemann的学生Roch得到的定理3.3.1(Riemann-Roch公式).设M为紧致黎曼曲面，其亏格为g.则对任何因子D，有diml(D) = dimi(D) + (1 - g) + d(D),这里的维数都是指复维数根据Hodge定理的推论，曲面M上总存在典范因子，因此Riemann-Roch公式也可以改写为dimi(D)-dimi(K-D)=d(D)+(1-g)下面逐步给出Riemann-Roch公式的证明.首先作一些准备工作设w为紧黎曼曲面M上的亚纯微分，我们假设w的所有留数均为零.设Pi,P2，，Pi为w的所有极点，在pi附近取局部坐标邻域Bi，使得当i丰j时，BnB=の.由于W=2元Resp (w)=0,JaB,w在B;-(pi)内为恰当形式，即存在B;-(pi)内的光滑函数gi，使得w=dgi.通过使用光滑截断函数以及零延拓，在M-(p1,P2,…，Pk）上就得到光滑函数9，使得在每个pi附近均有w=dg.此时w-dg可以看成M上的光滑微分形式。任给M上闭形式n,定义奇异积分JMw^n为w^n=(w-dg)An奇异积分具有下列性质：·奇异积分的定义是恰当的.事实上，如果另有M-(p1,P2,，Pk）上的光滑函数g，使得在每个pi附近也有w=dg，则在pi附近d(g-g)=0,因此存在
§3.3 Riemann-Roch 公式 65 §3.3 Riemann-Roch 公式 在本章第一节中, 我们证明了, 对于紧致黎曼曲面上的任何因子 D, lpDq, ipDq 均为有限维复向量空间. 在这一节里, 利用 Hodge 定理, 我们来证明关于这两个有 限维向量空间维数的一个重要等式, 它是由 Riemann, 以及 Riemann 的学生 Roch 得到的. 定理 3.3.1 (Riemann-Roch 公式). 设 M 为紧致黎曼曲面, 其亏格为 g. 则对 任何因子 D, 有 dim lpDq “ dim ipDq ` p1 ´ gq ` dpDq. 这里的维数都是指复维数. 根据 Hodge 定理的推论, 曲面 M 上总存在典范因子, 因此 Riemann-Roch 公 式也可以改写为 dim lpDq ´ dim lpK ´ Dq “ dpDq ` p1 ´ gq. 下面逐步给出 Riemann-Roch 公式的证明. 首先作一些准备工作. 设 ω 为紧黎 曼曲面 M 上的亚纯微分, 我们假设 ω 的所有留数均为零. 设 p1, p2, ¨ ¨ ¨ , pk 为 ω 的 所有极点, 在 pi 附近取局部坐标邻域 Bi , 使得当 i ‰ j 时, Bi X Bj “ H. 由于 ż BBi ω “ 2πRespi pωq “ 0, ω 在 Bi ´ tpiu 内为恰当形式, 即存在 Bi ´ tpiu 内的光滑函数 gi , 使得 ω “ dgi . 通 过使用光滑截断函数以及零延拓, 在 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上就得到光滑函数 g, 使 得在每个 pi 附近均有 ω “ dg. 此时 ω ´ dg 可以看成 M 上的光滑微分形式. 任给 M 上闭形式 η, 定义奇异积分 ş M ω ^ η 为 ż M ω ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ η. 奇异积分具有下列性质: • 奇异积分的定义是恰当的. 事实上, 如果另有 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上的光滑函 数 g 1 , 使得在每个 pi 附近也有 ω “ dg1 , 则在 pi 附近 dpg ´ g 1 q “ 0, 因此存在
66第三章Riemann-Roch定理常数ci，使得在pi附近g-g=ci.此时有(-dg)n-n(-dg)n=Jμd(g-g)An1d(g' - g) ^nJM-U;B=-2/, (g-g)mJaB=Zcin= 0.JaB这说明奇异积分的定义是确切的。当w没有极点（即为全纯微分时)，奇异积分就是通常的微分形式的积分。当为恰当形式时，奇异积分JMw^=0.事实上，如果n=df，则有w ^n= (w- dg) ^n= (w- dg) ^df = - d(f(w- dg) = 0.上式最后用到了Stokes积分公式.·w=dg,gem(M)Jmw^n=0,闭形式n.事实上，如果存在亚纯函数g,使得w=dg，则按奇异积分的定义，Jw^n=J(w-dg)^n=0.反之，假设对任意闭形式n均有Smw^n=0,我们首先取M-(p1,P2，，Pk）上的光滑函数h，使得在每个Pi附近都有w=dh，则w-dh可视为M上光滑闭形式,且Jm(-dh)^n=0,V闭形式n.由Hodge定理中的分解容易看到,此时闭形式w-dh必为恰当形式，即存在M上的光滑函数h，使得w-dh=dh令g=h+h',则w=dg.由w为亚纯微分知g为M上的亚纯函数有了奇异积分，我们可以把前节推论3.2.5中得到的亚纯微分作规范化引理3.3.2.设M为紧致黎曼曲面，n≥1为正整数.任取peM,B为p附近的坐标邻域，2为B上的坐标函数，z(p)=0.则存在M上的亚纯微分w,使得w以P为惟一极点，且在p附近有w=d(）+wh其中，wh是p附近的全纯微分，并且奇异积分JMw^=0,i=1,2,..,9.其中{Φ1,中2,,中g)是前节最后定义的H的一组基证明.根据前节推论3.2.5，存在亚纯微分w，满足除奇异积分为零以外的所有条件.根据前节最后的一段说明，映射中:H→C9JMOA0MOA2.-(0ag)
66 第三章 Riemann-Roch 定理 常数 ci , 使得在 pi 附近 g ´ g 1 “ ci . 此时有 ż M pω ´ dgq ^ η ´ ż M pω ´ dg1 q ^ η “ ż M dpg 1 ´ gq ^ η “ ż M´YiBi dpg 1 ´ gq ^ η “ ´ÿ i ż BBi pg 1 ´ gqη “ ÿ i ci ż BBi η “ 0. 这说明奇异积分的定义是确切的. 当 ω 没有极点 (即为全纯微分时), 奇异积 分就是通常的微分形式的积分. • 当 η 为恰当形式时, 奇异积分 ş M ω ^ η “ 0. 事实上, 如果 η “ df, 则有 ż M ω ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ df “ ´ ż M dpfpω ´ dgqq “ 0. 上式最后用到了 Stokes 积分公式. • ω “ dg, g P MpMq ðñ ş M ω ^ η “ 0, @ 闭形式 η. 事实上, 如果存在亚纯函数 g, 使得 ω “ dg, 则按奇异积分的定义, ş M ω ^ η “ ş Mpω ´ dgq ^ η “ 0. 反之, 假 设对任意闭形式 η 均有 ş M ω ^ η “ 0, 我们首先取 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上的光 滑函数 h, 使得在每个 pi 附近都有 ω “ dh, 则 ω ´ dh 可视为 M 上光滑闭形 式, 且 ş Mpω ´dhq ^η “ 0, @ 闭形式 η. 由 Hodge 定理中的分解容易看到, 此时 闭形式 ω ´ dh 必为恰当形式, 即存在 M 上的光滑函数 h 1 , 使得 ω ´ dh “ dh1 . 令 g “ h ` h 1 , 则 ω “ dg. 由 ω 为亚纯微分知 g 为 M 上的亚纯函数. 有了奇异积分, 我们可以把前节推论 3.2.5 中得到的亚纯微分作规范化. 引理 3.3.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M, B 为 p 附 近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 ω, 使得 ω 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有 ω “ dp 1 z n q ` ωh, 其中, ωh 是 p 附近的全纯微分, 并且奇异积分 ş M ω ^ ϕ¯ i “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 其中 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu 是前节最后定义的 H 的一组基. 证明. 根据前节推论 3.2.5, 存在亚纯微分 ω 1 , 满足除奇异积分为零以外的所有 条件. 根据前节最后的一段说明, 映射 ϕ : H Ñ C g φ ÞÑ pż M φ ^ ϕ¯ 1, ż M φ ^ ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ż M φ ^ ϕ¯ gq