向量组的线性相关性 第四节 向量空间 一、向量空间的概念 > 二、子空间 > 三、向量空间的基与维数 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、向量空间的概念定义1设V为n维向量的集合，如果集合V非空且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间说明1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指若αEV,βeV,则α+βeV;若αEV, ER, 则 aα EV2.n维向量的集合是一个向量空间.记作R"回页下页
说明 若 V, R, 则 V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 + V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例13维向量的全体R3.是一个向量空间因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数2乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3类似地，n维向量的全体R"，也是一个向量空间.艺国下质
3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数 . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2 判别下列集合是否为向量空间V, - (x= (o, x,..,x.)x2,..x, e R解军V是向量空间因为对于V的任意两个元素α = (o,a2,...,a.), β = (o,b,...,b.)" eV有 α +β=(o,a, + b2,.,an + b,) e VAα - (o, Naz,..., Na.) V上页回下页
例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 , , n 2 , , 解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T = 0,a2 , ,an , = 0,b2 , ,b V , 1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有 + = + n + n (0, , , ) . a2 a V1 T = n
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例3 判别下列集合是否为向量空间V, -(x -(1,x,,..,x.)x,,.,x. eR.解 V,不是向量空间因为若α =(1,az,..,a,)" V2则2α = (2,2a2,..,2a,) 史 V2上页下页回
例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 , , n 2 , , 解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 = n
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例4设a,b为两个已知的n维向量，集合V = (x = a + μub a, μ e R)试判断集合是否为向量空间解 v是一个向量空间因为若x =,a+μ,bxz = a + μ,b, 则有xi + x, = (a + a2)a +(ui + μ)b e V,kx, =(ka )a +(kμ )b eV这个向量空间称为由向量a.b所生成的向量空间.上页画下页
例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b, R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a + 2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 + 2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一般地,由向量组aj,a,,.,a所生成的向量空间为V = (x = Ma, + a, +..+ Amam1,2,.,a. e R)例5设向量组aj,,a.与向量组br,..,b,等价记V =(x = a,a, + aza, + ...+ amama1,a2,..,am e R)V, = (x = utb, + μzb, +...+ μ,b, ui,u2,..-μ, e R)试证: V = V2上页回下页
V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为 . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + + = = + + + 试证： 记 设向量组 与向量组 等价， 例 5
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH证设xeV，则x可由a,..,a线性表示因aja可由b,…,b,线性表示，故x可由bi….b,线性表示，所以x eV2这就是说，若x EV，则x EV2因此VCV2类似地可证：若x EV2,则xeVi因此V, c VI.因为V C V2,V, C V，所以V =V2上页回下质
, , . 证 设xV1，则x可由a1 am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1 1 1 . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1 V2 . 因此V2 V1
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、子空间定义2设有向量空间V及V，若向量空间VCV2就说V是V,的子空间，实例设V是由n维向量所组成的向量空间显然VCR所以V总是R"的子空间正页回下质
定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1 V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然 所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、向量空间的基与维数定义3设V是向量空间，如果r个向量 αi,α2，,α,EV且满足(1)α1,α2,...,α,线性无关(2)V中任一向量都可由α,α2,.…,α,线性表示那末，向量组 α,αz,.…,α,就称为向量V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间上页回下页
(1) , , , ; 1 2 r线性无关 (2) , , , . V中任一向量都可由1 2 r线性表示 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． r V V r 三、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 r , , V 1 2 , r V