本科生基础课 复变函数讲义 华东师范大学数学系 2012
前言复变函数论主要研究复函数的微积分理论，它是一门非常优美的数学理论，产生了异常丰富的结果，复变函数论是许多重要学科的基础，比如代数几何、解析数论等等复变函数论从某种角度来讲，可以看作是将数学分析从实数情形推广到复数情形，因此很多地方具有极大的相似性，对初学者来说，较为容易掌握，但复变函数论也有其独特的一面，比如在复变函数论中，积分与微分的关系异常密切，数学分析中通常是利用导数来求积分，复变函数则相反，它是利用积分来求出导数。又比如复变函数的另一个重要课题就是研究多值函数的性质，这也是数学分析未能涉及的领域，复变函数对多值函数的研究，直接促使了黎曼曲面理论的发展一它是代数几何理论极为重要的基础.本讲义是在由庞学成等教授主编的华东师范大学教材《复变函数》的基础上完成的.这部讲义对原教材的教学顺序做了若干改动，试图简化部分教学内容，让主线更为突出.讲义的内容安排大致如下：第一部分介绍复数及复平面的初等性质：第二部分介绍复变函数的微积分学，第三部分介绍奇点理论以及残数的计算本讲义的写作得到了许多师生的支持与帮助，作者要在这里特别感谢文平同学为我整理了最初的讲稿电子版本一其工作量是非常巨大的.作者也同样感谢邢雪、董杰等等同学为我提供了许多有价值的文献资料，最后作者也要感谢徐长桃同学为我校对讲稿。本讲义成稿仓促，未及细改错误必定不少，诚感希望各位读者能够批评指正
目录目录第一章复数与扩充复平面11.1复数.11.2复平面21.33复数的表示1.3.1向量表示，31.3.2三角表示.3指数表示..41.3.31.4代数学基本定理51.5单位根，51.6复数列的极限61.7扩充复平面，771.7.1无穷远点.1.7.2球极投影81.8分式线性变换，891.8.1分式线性变换1.8.2保圆周性..10保交比性1.8.3111.8.4保边界性111.8.5保对称性121.8.6应用：区域变换13本章习题15第二章复函数与微积分162.1复变函数162.1.1初等单值函数，16初等多值函数..2.1.2172.1.3连续函数182.2解析函数.182.2.1可导函数与解析函数182.2.219柯西-黎曼条件.2.2.3实可微与复可微关系212.2.4在分式线性变换中的应用222.3复积分222.3.1复积分的定义232.3.2复积分的计算.242.3.3柯西积分定理.252.3.4柯西积分公式.27柯西导数公式，2.3.529-ii-
目录2.4复积分的应用302.4.1柯西不等式302.4.2刘维尔定理302.4.3代数学基本定理证明312.4.4均值公式..312.4.5最大模原理322.4.6许瓦兹引理332.5级数.332.5.1级数的基本性质332.5.2幂级数.352.5.3欧拉定理证明，362.5.4零点孤立性定理.372.5.5刚性定理.382.5.6双边幂级数392.5.7傅里叶级数40本章习题41第三章奇点与残数423.1奇点分类423.1.1孤立奇点.423.1.2无穷远点.443.1.3非孤立奇点45残数，3.2463.2.1有限奇点的残数，463.2.2无穷远点的残数..483.3残数定理49有界区域残数定理，3.3.149503.3.2无界区域残数定理3.4残数总和定理523.5辐角原理533.5.1对数导数的奇点与残数，533.5.2对数导数的积分543.5.3幅角增量，553.5.4辐角原理573.6儒歇定理573.7幅角原理与儒歇定理的应用593.7.1代数学基本定理另一证明.593.7.259许瓦兹引理另一证明3.7.3单叶性定理603.7.461保区域性定理3.7.5实系数方程在半平面内的根数，61-ili-
目录残数定理的应用3.863....+............................3.8.1三角有理函数的积分633.8.2有理函数的广义积分653.8.3加权有理函数的广义积分663.8.4定理3.8.1与定理3.8.2的证明及其他应用67双周期函数693.8.5本章习题71.;参考文献72-iv-
第一章复数与扩充复平面第一章复数与扩充复平面1.1复数设方程a2=-1的根为1=V-1，2=-V-1.记:=V-1,称作虚数单位：这样，12 = -1.定义1.1.1我们把如下形式的数z:=a+iy称作复数，此处，y是任意实数，我们把称作之的实部，y称作的虚部，并重新记作t= Rez,y:=Imz.这样，我们有=Rez+imz.设z1=1+i1，22=a2+iy2是两个复数.我们规定gef31=32且91=9221 = 22以及del21是实数Imz1=0定义 1.1.2复数z=+iy的共轭复数定义为z：=-iy显然我们有Rez = Rez,Imz=-Imz以及克=z.类似实数情形，我们也可以定义复数之间的加减乘运算：21± 22 := (a1 ± ±2)+ i(y1 ± y2),21 :22 := (122-y1y2) + i(1y2 + 2y1)这些运算满足交换律、结合律和分配律（留给读者验证）例1.1.1对z=+iy,我们有(1) +z=2r = 2Rez,(2) z-z= 2iy = 2ilmz,(3) 2+=12 +y2■此外，我们也可以定义复数艺=十u的倒数a1za-iyy22 + 32r2 +y22z2+22这样，我们也可以定义复数之间的除法运算12=222121-1-
第一章复数与扩充复平面有时为了强调复数有加减乘除四则运算，我们就把全体复数构成的集合称作复数域，并记作C，全体实数构成的集合称作实数域，并记作R，类似地、我们将有理数域记作①，整数集合记作Z显然ZCQCRCC利用这些运算以及共轭复数的定义，我们也得到如下结论命题1.1.1+元吃一Rez=3Imz = 2i1.2复平面如何将复数用直观的方式表现出来？这是个有趣的问题.注意到复数之=十是由实部和虚部y唯一确定的，因此我们可以把复数z直接看成平面R2上的点（,u).换言之，我们建立以下的一一对应ΦCRz=a+iy-(a,y)我们把这种表示方法称作复数的坐标表示.此时平面R2兰C也称做复平面.天才数学家高斯最早引入了复平面概念，因此有时我们也将此称作高斯平面，利用这种表示，我们可以将平面上的曲线方程替换成2，的表达式，(1)直线方程aa+by+c=0(a,b,ceR).将=，y=“代入即得例1.2.1（(a-ib)z+(a+ib)z+2c=0也可以写为更简洁的形式Re((a-ib)2)=-c.(2)圆周方程(α-a)?+(y-b)2=r2(a,b,rER)类似可写成-(a-i)-(a+ib)+(α2+b2-2)=0-也可以写为更简洁的形式z一（a+ib)=r更一般的，方程f(,3)=0定义的曲线总可写成(+2,2)= 0.f(-2我们把这种方程称作于的复化方程，反过来，如果事先知道复化方程F(z,) = 0.我们可以将z=+iy,z=a-iy代入求得原始方程f(a,y)=0.这一过程称作复方程的实化注1.2.1请注意，对于一般的方程F(,）=0，实化后的方程定义的轨迹不一定得到曲线.比如2+2z=0实化为3a-iy=0.由此推得a=y=0.换言之，该方程定义的轨迹恰为原点.--2-
第一章复数与扩充复平面1.3复数的表示1.3.1向量表示由于平面上的点α,y）也可以看作从原点出发指向（α,y）的向量，因此我们也可以将=&+iy视作向量之=（a,y).这种表示方法称作复数的向量表示，复数作为向量的加法减法运算和复数本身的加减法运算是一致的，即引理1.3.1+22=+2221-22=-2向量本身还有长度的概念，因而我们也可定义复数z=a+iy的模l=Va?+y2.由例1.1.1(3）可知22=命题1.3.1(三角不等式）设21,22EC，则有[21 +22] ≤[21/ +[22],[[21/ - |22]/ ≤ [21 - 22]此外，复数的模显然满足以下恒等式(1-1)[21][22|= [2122].1.3.2三角表示我们把向量与轴的夹角记作，称作复数的幅角，设模长r=因为=rcosy=rsino，所以我们也可将写成z=rcos+irsing=r(coso+isino)上述表示称作复数的三角表示，容易看到，将6换成以下任何一个值：0±2元，0±4斤，*.*，0±2元，.都不会影响三角函数的值，从而也不会影响复数的三角表示，因此我们有时把Argz:=0+2kπ|kEZ]中的值统称为的幅角：Argz中任何两个值都相差2元的整数倍.当我们特别指定Argz中的一个值，比如，我们就称该值为的主幅角，记作argz.通常为了讨论方便，人们总是选取主幅角满足-π0当且仅当0<argz<元.(3）当不是负实数时，arg+arg=0.-3-
第一章复数与扩充复平面例1.3.1设z的主幅角在（一元，元）内(1）=—2i的模长=2，主幅角argz=，三角表示为-2i=2(cos(-)+isin(一)(2)2=1+i的模长2l=V2,主幅角argz=，三角表示为1+i=V2(cos# +isin)44如果我们不考虑幅角之间相差的2元倍数，那么显然有以下公式Argz1 +Arg22=Argz122.1.3.3指数表示天才数学家欧拉将复数z=r（cos十isin0）写成如下的指数表示2=rei0这里01"=1+2e = lim (1 +~2.71828.nn=in!是自然对数，这种表示法看上去很奇怪，其实是有很自然的背景的.我们将在后文解释为什么欧拉要这么表示复数这里我们先承认如下事实命题1.3.3(1)r1ei01=T2ei02的充分必要条件是01-02=2k元，对某个EZT=T2,(2) e01 -ei02 = e(01+02)(3) e0 /ei02 = e(01-02),(4) (ei0)" = eino, Vn e Z.由定义r(cos+isinの)=re即得eio = cos++isin o.特别地，取0=元，我们有定理1.3.1(欧拉公式)元+1=01类似地，还有e号=i，e2ih元=1等等例1.3.2（1）由例1.3.1，2=-2i的指数表示为-2i=2e-号(2）=1+i的指数表示为1+i=V2e-(3）z=1-i与上例中的1+i共轭，故模仍为V2,主幅角可取-，从而有指数表示V2e-号(4)之=（告）的指数表示可以通过命题1.3.3的运算规则来简单求出：V2e-(e-(-)*- (e)*=eV2e-图因此它的模长[=1，主幅角可取为arg=等-4-
第一章复数与扩充复平面由命题1.3.3(3)立得以下著名结论定理1.3.2（棣美弗公式）(coso+isino)n=cosno+isinno棣美费公式可以计算出三角函数的倍角公式例1.3.3(1)展开(cos0 + isin 0)2= (cos?0sin20) +2i cos 0 sin 0.由棣美弗公式即得cos 20 = cos? A - sin2 0,sin 20 = 2 cos 0 sin 0.(2）类似地，可得三倍角公式cos 30 = cos3 9-3cos 0 sin?0sin 30 3cos2 0 sin - sin3 0.-1.4代数学基本定理上一节中，我们通过求方程？二一1的根最终引入了复数的概念这就产生了一个自然的问题：通过其他多项式方程的求根，是否会引入复数以外的新“数”呢？答案是否定！这就是著名的代数学基本定理，由高斯最早给出严格的证明定理1.4.1（代数学基本定理）设f(2)=anz"+an-1zn-1+...+a1z+a0,an+0是n次复系数多项式，则方程f(2)=0恰好有n个复数根2=%，i=1..，n（这里%允许相同)换言之，在复数域内，我们有因式分解f(2) = an(z -1)(z - 2) -.. (z - n)这个定理的证明有许多种，我们将在后文介绍其中的几种需要指出的是，代数学基本定理的任何证明都不可能是纯代数的，它一定会涉及到函数的连续性这类拓扑性质，接下去一个自然的问题当然是如何求出多项式方程的根，对不超过四次的多项式方程，人们已经找到了求根公式，但遗憾的是，英年早逝的天才数学家阿贝尔证明了五次及五次以上方程没有一般的求根公式，另一位天才数学家伽罗华创建了“群论”进一步揭示了方程求根与群的关系1.5单位根尽管一般的多项式方程没有求根公式，但是对于一些特殊的方程，我们可以计算求根，比如以下的n次方程zn-1=0.-5-