矩阵的初等变换与线性方程组 第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、矩阵秩的概念任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.矩阵的秩定义1在m×n矩阵A中任取k行k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的个k2元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式！称为矩阵A的k阶子式上页回下页
. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m 一、矩阵秩的概念 矩阵的秩
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHm×n矩阵A的k阶子式共有Ck·Ck个定义2设在矩阵A中有一个不等于0的 k阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数1称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩等于零m×n矩阵 A的秩R(A)是 A中不等于零的子式的最高阶数对于 AT，显有 R(A')= R(A)福回页下页
. ( ) . 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定 义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶 子 A R A D A r D r A k + . ( ) 子式的最高阶数 m n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH123例1的秩求矩阵A=23-5解在A中, 0.32又：A的3阶子式只有一个A，且A=0,R(A) = 2.上页下页回
例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩 A = − 解 在 A中， 又 A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2 且 A = 0 ， R ( A ) = 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH23-22的秩。例2 求矩阵B=4300解 ：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行B的所有4阶子式全为零2-13而03-2￥0,:. R(B) = 3.004上页国下页
例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩 − − − − B = 解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3− − 而 R(B) = 3
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH1已知A=求该矩阵的秩例33解2E± 0,一计算A的3阶子式23-221-22￥3-2￥316 2 3=D,-13=00-13=021=00521.. R(A)= 2.= 0.上页国下页文
例3 已知 ，求该矩阵的秩． − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3 = 2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0. R(A) = 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH-２２3另解对矩阵 A=做初等变换2 —１302-1320一显然，非零行的行数为2此方法简单！.. R(A) = 2.国质
对矩阵 做初等变换， − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 − − − − − 显然，非零行的行数为2， R(A) = 2. 此方法简单！
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、矩阵秩的求法因为对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形问题：经过变换矩阵的秩变吗？定理1 若 A～ B,则 R(A)=R(B)证先证明：若A经一次初等行变换变为B,则R(A)≤ R(B),设 R(A)=r， 且 A的某个r阶子式D,±0.上页回下质
. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 证 二、矩阵秩的求法 ( ) ( ). R A R B A B 则 先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( ) = 0. Dr 设 R A r，且 A的某个r 阶子式
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH当A—→B或A—rx→B时,在 B 中总能找到与D,相对应的子式Dr,由于 D, =D,或 D, = -D,或 Dr = kD,因此D.±0，从而R(B)≥r当A—"+k→B时，分三种情况讨论(1）D中不含第行(2）D中同时含第行和第行（3）D中含第行但不含第行：页画下页
当A B或A r k B时， r r i ⎯i ⎯j→ ⎯⎯ → 当A i j B时，分三种情况讨论： r kr ⎯ ⎯→ + r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr = D 或 D = −D 或 D = kD D 0 R(B) r. r 因此 ，从而 （ ） 中含第 行但不含第 行； （ ） 中同时含第 行和第 行； （ ） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH对(1),(2)两种情形，显然 B中与 D, 对应的子式D,=D, ±0,故R(B)≥r对情形(3),=r + kri = D, + kDD, = r; + kr;.若D,±0,因D 中不含第i行知A中有不含第i行的r阶非零子式，: R(B)≥r.上页回下页
0, ( ) . (1),(2) D D R B r B D r r r 子式 = 故 对 两种情形，显然 中与 对应的 对情形 (3)， , ˆ i j i j r r Dr = r + kr = r + k r = D + kD 0, 若D ˆ r , ˆ 非零子式 因 Dr 中不含第 i 行知 A中有不含第 i 行的 r 阶 R(B) r