行到式第二节全排列及其逆序数概念的引入全排列及其逆序数三、小结思考题
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？23解23百位213种放法福真3十位212种放法1种放法个位2一3共有3×2×1=6种放法上页回下页
一、概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 百位 1 2 3 3种放法 十位 1 2 1 3 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 共有 3 21 = 6 种放法
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、全排列及其逆序数把 n个不同的元素排成一列，共有几种不问题同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的全排列（或排列）n个不同的元素的所有排列的种数，通常用 Pn表示由引例 P =3.2·1= 6.同理 P, = n ·(n-1) ·(n -2) .....3.2.1 = n!.上页回下页
二、全排列及其逆序数 同的排法？ 问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个 元素的全排列（或排列）. n n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示. n Pn 由引例 P3 = 3 2 1 = 6. 同理 Pn = n (n − 1) (n − 2) 3 2 1 = n!
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH排列的逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序定义在一个排列(ii..i...i...i)中，若数i>i则称这两个数组成一个逆序例如排列32514中，逆序逆序逆序福国下质质
在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i i 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数例如排列32514中，0030514逆序数为3故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5顶国下质
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 0 0 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在1,2,.·,n－1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,n一1,n 这 n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数国庆质
计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 1,2, ,n −1,n 1,2, ,n −1,n n 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH方法2分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1求排列32514的逆序数解在排列32514中3排在首位,逆序数为0：2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1；2国下质质
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH5的前面没有比5大的数，其逆序数为0：1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3；4的前面比4大的数有1个,故逆序数为18111于是排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5页回下质
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1+ 0 + 3 + 1= 5. 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.(1)217986354解21986354010013445t=5+4 +4+3+1+0+0+1+0=18此排列为偶排列正页回下页
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. (1) 217986354 解 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 0 0 1 3 4 4 5 t = = 18 此排列为偶排列. 5 + 4 + 4 + 3 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH(2)n(n-1)(n-2) ..321n-1解n(n -1(n-2)..321(n-2)t =(n-1)+(n-2) +...+2+1n(n-1)2当 n=4k,4k+1 时为偶排列;当 n= 4k+2,4k+3 时为奇排列上页下页回
(2) n(n − 1)(n − 2)321 解 ++ 2 + 1 ( ) , 2 − 1 = n n 当 n = 4k,4k +1 时为偶排列； 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列. t = (n −1) + (n − 2) n(n −1)(n − 2)321 n −1 (n − 2)