第三节偏导数与全微分主要内容：一、偏导数及其运算二、全微分
第三节 偏导数与全微分 主要内容： 一、偏导数及其运算 二、全微分
偏导数及其运算某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时引例：除关心本品牌电视机的价格取向外，更关心其他牌同类型电视机的价格情况，以决定自已的营销策略.即该品牌电视机的销量O.是它的价格P和其他电视机的销量增减品牌电视机价格PB的函数与两种价格的升降QA = f(PA,PB)都有关系通过分析Q.关于P（以及P）的变化率，来研究该函数交叉弹性
某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, 除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品 牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策 略.即该品牌电视机的销量QA是它的价格PA和其他 品牌电视机价格PB的函数. 一、偏导数及其运算 引例: ( , ) Q f P P A A B = 通过分析 关于 （以及 ）的变化率，来研究该函数. Q P P A A B 交叉弹性 电视机的销量增减 与两种价格的升降 都有关系
偏导数的定义定义设函数z= f(x,y)在点(xo,y)的某一邻域内有定义,当把y固定在y,而x在x,处有增量△x时，相应地函数有增量Arz = f(x +Ax, Jo)- f(xo, yo),如果A.zf(x, + Ar, yo) - f(xo,yo)limJimAxAx:Ar-→0Ar-→0存在，贝则称此极限为函数z=f(x,)在点(xo,yo)处对x的偏函数对x的偏导数导数，记为afOz.x=x 或f'(xo,yo) .axaxx=xoX=X0y=yoy=yo【pa:fal]
设函数 在点 的某一邻域内有定义， 当把 固定在 而 在 处有增量 时，相应地函数有增量 如果 存在，则称此极 定 限为函数 在点 处对 的偏 导数，记为 ， ， 义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) lim lim ( , ) ( , ) x x x x x x x x x x y y y y z f x y x y y y x x x z f x x y f x y z f x x y f x y x x z f x y x y x z f z x x → → = = = = = = + − + − = = 0 或 0 0 0 x ( , ) . x y y = f x y = 偏导数的定义 0 y 0 y 函数对x的偏导数
类似的，函数z= f(x,y)在点(xo,yo)处关于y的偏导数为f(xo, Jo + Ay)- f(xo,yo)limAyAy-→0afaz记为或f,(xo,o) .ayayx=XoX=xoy=yoy=yo偏导数的实质是一元函数的导数注意az[(xo.o) =f'(x, yo)X=Xaxaz[(0,) = f'(xo, J)一y=yoay
0 0 0 ( , ) 0 ( , ) x y y y z f x y y = = 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) x y x x z f x y x = = 注意 偏导数的实质是 一元函数的导数 类似 的，函 数 在 点 处 关 于 的 偏 导 数 为 记 为 ， 或 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) . y y x x x x y y y y z f x y x y f y y f y y z f f x y y y x x y → = = = == + −
如果函数z= f(x,y)在定义域内每一点(x,J)处对x(或>)的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，称其为函数z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数，记作Ozaz afaff'(x,y)(或f'(x,y)) :ax'axayy也简称偏导数
如果函数 在定义域内每一点 处对 或 的偏导数都存在，那么这个偏导数就 是 、 的函数，称其为函数 对自变量 或 的偏导函数，记作 ， ， 或 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( , , ( , )) . x y z f x y x y x y x y z f x y x y z f z f f x y f x y x x y y = = 也简称偏导数
有关偏导数的几点说明：Qu1.偏导数是一个整体记号，不能拆分；ax2.求偏导数时，均可用求导数的法则和公式只需将另外的变量看成常数即可af把暂时看作常量，而对x求导数axaf把暂时看作常量，而对求导数ay
偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分; 有关偏导数的几点说明： 1. 2. 求偏导数时，均可用求导数的法则和公式， 只需将另外的变量看成常数即可. x f 把y x 暂时看作常量,而对 求导数 y f 把x y 暂时看作常量,而对 求导数 x x y y
例1求函数z=x2sin2y的偏导数提示与分析：分别将x，v暂时看作常数，用一元函数求导法则，求偏导数将看作常数aOz(x) = 2x sin 2y,(sin2y解axax将幂作常数aza= x2.2cos2y= 2x2 cos2ysin2 VXayay水于正弦函数求导
例 求函数 的偏导数. 2 1 sin2 z x y = 提示与分析: 分别将x,y暂时看作常数，用一元函数 求导法则，求偏导数. 解 z x 将y看作常 数 2 ( sin 2 ) x y x = = 2 sin 2 , x y 幂函 数的 求导 z y 2 ( sin 2 ) x y y = 2 = x y 2cos 2 正弦 函数 求导 2 = 2 cos2 . x y 将x看作常数 sin 2 y 2 = ( ) x
azOz例2已知z= x sin(x+y),求ax'ay将看作常数az解sin(x + y)rs乘积的求导法则axax= sin(x+ y)+xcos(x + y)将x看作常数aazsin(x+ Dl = xcos(x + y)rsayay正弦函数求导
例2 sin( ), , . 已知 求 z z z x x y x y = + 解 zx 将y看作常 数 [ sin( )] x x y x = + = + + + sin( ) cos( ), x y x x y 乘积的求导法则 zy [ sin( )] x x y y = + = + x x y cos( ). 正弦 函数 求导 将 x看作常数
xy,(x, y)±(0, 0),22求函数 f(x,J)= x2+ y例30,(x, y) = (0,0),在点(0,0)处的偏导数提示与分析：用定义求分段函数在一点处的偏导数f(0 + △x, 0) - f(0,0)解 fi(0,0)= limArAr-→>0Xo = 0, Jo= 0Ax.0-00-0(△x) + 0= lim=0.= limAxAr-→0Ar-→0Ax
， 例 求函数 ， 在点 处的偏导数 2 2 ,( , ) (0,0) 3 ( , ) 0, ( , ) (0,0) (0,0) . xy x y f x y x y x y = + = 提示与分析: 用定义求分段函数在一点处的偏导数. 解 (0,0) x f 0 (0 ,0) (0,0) lim x f x f → x + − = 2 0 0 0 ( ) 0 lim x x x → x − + = 0 0 0 lim →x x − = 0 0 x y = = 0, 0 = 0
xy(x, y) ±(0,0);例3 求函数 f(x,J)=x2 + J0,(x,y) =(0,0),在点(0,0)处的偏导数f(0, 0 +Ay) - f(0, 0)解 J;(0,0)= limAyAy-→00 . Ay-00 +(Ay)20-0lim= lim=0.AyAy-→0AyAy-→>0:: f(0, 0) = f'(0, 0) = 0
解 (0,0) y f 0 (0,0 ) (0,0) lim y f y f → y + − = 2 0 0 0 0 ( ) lim y y y → y − + = 0 0 0 lim →y y − = = 0. (0,0) (0,0) 0. x y = = f f ， 例 求函数 ， 在点 处的偏导数 2 2 ,( , ) (0,0) 3 ( , ) 0, ( , ) (0,0) (0,0) . xy x y f x y x y x y = + =