《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步 7-4 随机现象平均特征的描述——期望值

第四节随机现象平均特征的描述期望值主要内容：一、期望值的概念二、期望值的性质

第四节 主要内容： 一、期望值的概念 二、期望值的性质 随机现象平均特征的描述 期望值

随机变量的概率分布能完整地表示随机变量的统计规，而在实际尚题中不一定能够确定所考虑的随机变量的概率分布，而且有时弃不需要对随机变量的变化全面进行描迷，只是需要知道它在桌些方面的特证.用来刻画随机变量特证的量叫做随机变量的数字特证，常用的是数学期望（期望值）、方差

随机变量的概率分布能完整地表示随机 变量的统计规律，而在实际问题中不一 定能够确定所考虑的随机变量的概率分 布，而且有时并不需要对随机变量的变 化全面进行描述，只是需要知道它在某 些方面的特征.用来刻画随机变量特征的 量叫做随机变量的数字特征，常用的是 数学期望（期望值）、方差

期望值的概念在参加数学竞赛的同学中有10人获奖，二人获一等奖，每人奖金1000元：三人获二等奖，每人奖金600元：五人获三等奖，每人奖金400元.若考虑平均每人获多少奖金？合理的算法是：(1000×2+600×3+400×5)10253-×400x1000+x600+101010=580(元）：235这个平均值是与频率有关的，其中10'10'10分别是一、二、三等奖出现的频率，这种平均叫做依频率的加权平均

一、期望值的概念 在参加数学竞赛的同学中有10人获奖，二 人获一等奖，每人奖金1000元；三人获二等 奖，每人奖金600元；五人获三等奖，每人奖 金400元.若考虑平均每人获多少奖金？合理 的算法是： 元 2 3 5 1000 600 400 10 10 10 580( ) . =  +  +  = 1 (1000 2 600 3 400 5) 10  +  +  2 3 5 , , 这个平均值是与频率有关的，其中 10 10 10 分别是一、二、三等奖出现的频率，这种平均 叫做依频率的加权平均

可以借助于加权平均来表示随机变量取值的平均离散型随机变量期望数学期望连续型随机变量期望

数学期望 离散型随机变量期望 连续型随机变量期望 可以借助于加权平均来表示随机变量取值的 平均

定义若离散型随机变量的概率分布为P(= x,)= pii-1,2,..,n,..88x,P,为的期望值，则称和式<+8x,P;-1=1i=1即以概率 P;为权的加权平均数，记为E5-ExP：是有限值i-1

若离散型随机变量 的概率分布为 则称和式 为 的期望值， 1 i i i x p  =  1 ( ) i i i x p  =   + 定义 1 . i E  =  =  ( ) 1 2 , , P x p i n i i  = = = ， ， 1 i i i x p  =  是有限值 i x i p i 即以概率 p 为权的加权平均数，记为

例1两名学生在军训射击比赛中，得分分别为引，弓，其分布列如下表所示2125251000.80.30.10.60.20.0P;P;问谁的平均分数高？8解由计算公式得E-X;P;i=1EE =0×0.0+1×0.2+2×0.8 = 1.8,EE2=0×0.6+1×0.3+2×0.1= 0.5.这表明，他们得分的平均值分别是1.8和0.5可见，第一个人打得好

两名学生在军训射击比赛中，得分 分别为1 , 2 ，其分布列如下表所示 E1 =00.0+10.2+20.8 = 1.8, 例1 0.0 0.2 0.8 1 0 1 2 pi 解 这表明，他们得分的平均值分别是1.8和0.5, 可见，第一个人打得好. 由计算公式得 0.6 0.3 0.1 2 0 1 2 pi 问谁的平均分数高？ E2=00.6+10.3+20.1 = 0.5. 1 , i i i E x p  =  = 

20S10.00.20.8Pi期望值类似于加权平均数，它反映了随机变量取值的集中位置例如，在上例中，E=1.8，表示第一个人的得分集中在1.8附近第一人得2分的概率为0.8，而2在1.8附近如果射击100次，则有80%在1.8附近，即得2分占80%

期望值类似于加权平均数，它反映了随机 变量取值的集中位置. 例如，在上例中，E1 = 1.8 ，表示第一个 人的得分1集中在1.8附近. 0.0 0.2 0.8 1 0 1 2 pi 第一人得2分的概率为0.8，而2在1.8附近. 如果射击100次，则有80%在1.8附近，即得2 分占80%

在经济管理中，E也经常表现为正常生产情况下国家规定的质量指标，因为它可以理解为工人和市场的期望值例如，市场需要12mm直径的零件，但受各种随机因素的影响，生产的零件不会刚好是12mm.设为零件的直径，如果的概率分布为:131214101150.10.20.10.20.4Pi

在经济管理中，E也经常表现为正常生产 情况下国家规定的质量指标，因为它可以理 解为工人和市场的期望值. 例如，市场需要12mm直径的零件，但受各 种随机因素的影响，生产的零件不会刚好是 12mm.设为零件的直径，如果 的概率分布 为: 0.1 0.2 0.4  10 11 12 pi 13 14 0.2 0.1

121314SS10110.20.10.10.20.4P;EE =10 X 0.1+11X 0.2+12 X 0.4+13 X 0.2+14 X0.1=12.即E=12，这表明生产是正常的，而且表明12mm正是大家的期望，这也是期望名称的由来随机变量的数学期望是个实数，与随机变量有相同的单位.数学期望反映了随机变量取值的平均水平，它的统计意义是对随机变量进行大量观测后得到的理论平均数

即E = 12，这表明生产是正常的，而且表明 12mm正是大家的期望，这也是期望名称的由来. 随机变量的数学期望是个实数，与随机变量 有相同的单位.数学期望反映了随机变量取值的 平均水平，它的统计意义是对随机变量进行大 量观测后得到的理论平均数. 0.1 0.2 0.4  10 11 12 pi 13 14 0.2 0.1 E =10×0.1+11×0.2+12×0.4+13×0.2+14×0.1 =12

物理解释：一质量为1的金属细棒，质量散布在坐标为x,X2,",x,的质点Mi，M2，…,Mn上，若质点M;的质量是pi，则金属细棒的"2质心位置就是X;Pi.i=1例2求0一1分布的数学期望。8S01-pPkP解 E= ()+×=p

物理解释：一质量为1的金属细棒,质量散布 在坐标为 质点M1，M2 ， . ， Mn上，若质点Mi的质量是pi ，则金属细棒的 质心位置就是 1 . n i i i x p =  x x x 1 2 , , , n 的 例2 求 0 —1分布的数学期望 .  0 1 pk 1－ p p 解 E = 0 1 1－ p p ×( ) ＋ × = p