矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并提出求秩的有效方法：再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大福回快下质
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、消元法解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程引例求解线性方程组2xi - X2 - Xs + X4 = 2,Xi + x2 - 2x, + x4 = 4,2(1)4x - 6x2 + 2x - 2x4 = 4, 3-23x + 6x2 - 9x +7x = 9, @上页国下质
引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程． 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解1x 1 x22x3 1 x4 = 4,2xi - X2 - Xs + X4 = 2,2①Q(B,)(1)①:22xi - 3x2 + x3 - x4 = 2,343x + 6x2 - 9x + 7x4 = 9,①) + X2 - 2x + x4 = 4,x)2-32x, 2x 1 2x = 0, ?-20(B,)3- 5x, + 5x, - 3x4 = -6,④-303x, - 3x3 + 4x4 = -3,上页回下页文
解 ( ) (1) B1 ( ) B2 2 1 3 2 + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1 − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHX + x, - 2x3 + x4 = 4,2- x + x = 0,(B,)?+502x = -6,0-32x, = -3,X + x2 - 2x + x4 = 4,2X2 - 3 + x4 = 0,(B4)3430-23() = -3,④0 = 0,用“回代”的方法求出解上页下页反回
( ) B3 ( ) B4 = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1 3 4 − 3 2 2 = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3 2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHXi = xs + 4于是解得其中x,为任意取值3 x2 = x +3L x =-3或令x，=c,方程组的解可记作c+4)大3C+3X2(2)即x = cx=03?0x其中c为任意常数上页回下页
于是解得 = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1 − + + = = c c c x x x x x 其中c为任意常数. − + = 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c （2）
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH小结：1.上述解方程组的方法称为消元法2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（①与①相互替换）（2）以不等于0的数乘某个方程；(以 ①×k替换 ①)（3）一个方程加上另一个方程的k倍(以 ①+k 春替换①)页下页回
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3．上述三种变换都是可逆的DDHO若(A)(A);(B),则(B)xk①-k若(A)(A);(B),则(B)①+ kの①-k@若(A)(A)(B),则(B)由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换。页回下页
3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). i − k j
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记B =(Ab) =6则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换2国庆质
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算．若记 − − − − − − = = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (Ab) 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一二、矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换()对调两行（对调,j两行,记作r;<r），(2)以数k0乘以某一行的所有元素（第i行乘k,记作rxk）3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第i行上记作r,+kr）艺页回下页
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； (2)以 数 k 0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 二、矩阵的初等变换