向量组的线性相关性 第三节 向量组的秩 一、最大线性无关向量组 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、最大线性无关向量组定义1 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量α1,α2,...,α,满足(1)向量组A,:α1,α2,…,α,线性无关(2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相联，那末称向量组A,是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大格无关组）最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0回下质
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、矩阵与向量组秩的关系定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩证 设A=(ai,a2,….,am),R(A)=r,并设r阶子式D，±0.根据4.2定理2由D.≠0知所在的r列线性无关;又由A中所有r+1阶子式均为零，知A中任意r+1个列向量都线性相关．因此D,所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A)2回下质
. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 关； 根据4.2定理2由Dr 0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH向量组aj,a2,...,am的秩也记作R(a,,a2,..,am)结论若D,是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D所在的r行即是行向量组的一个最大无关组说明(1）最大无关组不唯一（2）向量组与它的最大无关组是等价的页回下质
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) R a1 a2 am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1全体n维向量构成的向量组记作R"，求R"的一个最大无关组及R"的秩解因为n维单位坐标向量构成的向量组E:er,e2..",en是线性无关的，又根据4.2定理3的结论(3)知R中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E是R"的一个最大无关组，且R"的秩等于n上页画下页
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2设矩阵F22-1一一2111A一2-24-69—9736求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示国下质
− − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵初等行变换A知R(A) = 3,故列向量组的最大无关组含3个向量而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故aj,az,a4,为列向量组的一个最大无关组2国0质
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ， − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH事实上2-1(ar,az,a)=1 1 1初等行变换04-6-2736知R(a,z,a)=3，故a,a2,a,线性无关要把as,a用a,a,,a,线性表示，必须将A再变成行最简形矩阵页回下页
知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上 − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH?A初等行变换-3a = -ai -α2,即得as = 4a + 3a, - 3a页国下质
− − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换 = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、向量组秩的重要结论定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩证设向量组B的一个最大无关组为B。：b,.…,b,，向量组A的一个最大无关组为 A,：αj，,a,,要证r≤s.因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A组能由A,组线性表示故B,组能由A,组线性表示即存在系数矩阵K=（k),使得福回0下质
. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r 向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ， 证 定理２ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 即存在系数矩阵Ksr = (kij ),使得 三、向量组秩的重要结论