《黎曼曲面》课程教学资源（讲义）第四章曲面与上同调.pdf_大学文库

第四章曲面与上同调在前一章, 我们利用 Hodge 定理, 用较为初等的方法证明了重要的 RiemannRoch 公式. 本章将引入曲面上的全纯线丛, 层及层的上同调等概念, 并把 RiemannRoch 公式重新解释为一个指标公式. §4.1 全纯线丛的定义在第二章第二节介绍切向量场和微分形式的时候我们其实已经遇到了丛的概念. 现在我们稍加详细地予以研究. 首先, 从先前的例子出发, 我们回顾一下切丛. 设 M 为黎曼曲面, 任给 p P M, p 处的切空间是一个实的 2 维向量空间, 其复化 TppMq b C 是一个复 2 维向量空间, 并且有分解 TppMq b C “ TphM ‘ TphM. 如果 z “ x ` ? ´1 y 为 p 附近的局部复坐标, 则 TppMq “ spant B Bx |p, B By |pu, 而 TphM “ spant B Bz |pu, TphM “ spant B Bz¯ |pu. 令 ThM “ Ť pPM TphM, 在 ThM 上定义拓扑如下: 如果 U 为局部坐标邻域, 定义映射 ψ : ď pPU TphM Ñ U ˆ C Xp P TphM ÞÑ pp, aq 其中, a 是 Xp 的局部表示 Xp “ a B Bz |p 的系数. 我们要求 ψ 为同胚, 而 ThM 的拓扑就是由 t Ť pPU TphM 中开集|U Ă Mu 这些开集所生成. 在这个拓扑之下, 投影 π : ThM Ñ M, πpXpq “ p 为连续的开映射, 且显然 π ´1 pUq “ Ť pPU TphM. 不只如此, 拓扑空间 ThM 还具有其他好的性质: • ThM 为 2 维复流形. 事实上, 设 tUαu 为 M 的坐标覆盖, zα “ xα ` ? ´1 yα 为 Uα 上的坐标函数, 则 π ´1 pUαq 为 ThM 的开覆盖, 并且 pzα, idq ˝ψα 为 π ´1 pUαq 上的坐标映射. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 转换映射形如 pzβ, idq˝ψβ ˝ψ ´1 α ˝pzα, idq ´1 pa, bq “ pzβ ˝z ´1 α ,p B Bzα zβq¨bq, a P zαpUαXUβq, b P C. 这是全纯映射. 因此 ThM 为复流形, ψα 为双全纯映射. • 投影 π : ThM Ñ M 为全纯的满射. 这从上一条性质立即可以得到. • 考虑映射 gβα : Uα X Uβ Ñ C ˚, gβαppq “ B Bzα |pzβ. 这是全纯函数, 并且满足关系 gαα “ 1; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1. 121

122 第四章曲面与上同调我们把 ThM 称为 M 的全纯切丛, ψα 称为它的局部平凡化, gβα 称为连接函数. 一般地, 我们可以如下定义黎曼曲面上的全纯线丛. 定义 4.1.1 (全纯线丛). 设 M 为黎曼曲面, L 为 2 维复流形, π : L Ñ M 为全纯满射. 如果存在 M 的开覆盖 tUαu 以及双全纯映射 ψα : π ´1 pUαq Ñ Uα ˆ C 满足条件 p1q ψαpπ ´1 ppqq “ tpu ˆ C, @ p P Uα. p2q 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 存在全纯函数 gβα : Uα X Uβ Ñ C ˚, 使得 ψβ ˝ ψ ´1 α pp, aq “ pp, gβαppq ¨ aq, @ p P Uα X Uβ, a P C. 则称 L 为 M 上的全纯线丛, π 为丛投影. 如同全纯切丛那样, 称 ψα 为局部平凡化, gβα 为连接函数. 我们还称 π ´1 ppq 为点 p 上的纤维. 由定义中的 p1q, 任何纤维都和 C 同胚; 进一步, 由 p2q, 纤维 π ´1 ppq 中还可自然地定义复线性结构, 使之线性同构于 C. 有时也用 Lp 表示纤维 π ´1 ppq. 在全纯线丛的定义中, 连接函数处于非常重要的位置. 直观地看, 一个全纯线丛就是由这些连接函数把若干乘积空间 “粘结” 在一起形成的, 在 “粘结” 的过程中, 要始终保持每一根纤维的线性性. 我们对这个过程用数学的语言描述如下. 首先, 注意到连接函数满足下面的性质: gαα “ 1, @ Uα; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1, @ Uα X Uβ X Uγ ‰ H. (4.1) 特别地, gαβ “ pgβαq ´1 . 反之, 如果有这样一族全纯函数 tgαβu 满足条件 (4.1), 则定义商空间 L “ ž α pUα ˆ Cq{ ∼, 其中, 等价关系 ∼ 定义如下: 任给 pp, aq P Uα ˆ C, pq, bq P Uβ ˆ C, 规定 pp, aq ∼ pq, bq ðñ p “ q, b “ gβαppqa. L 的拓扑由商拓扑给出. 用 rp, as 表示 pp, aq 的等价类, 定义投影 π : L Ñ M 为 πprp, asq “ p. 则不难验证 L 在投影 π 之下成为 M 上的全纯线丛. 例 4.1.1. 平凡线丛. 令 L “ M ˆ C, π : L Ñ M 是向第一个分量的投影. 则显然, L 为 M 上的全纯线丛, 其平凡化为恒同映射, 连接函数恒为 1. 例 4.1.2. 全纯余切丛

124第四章曲面与上同调定义4.1.2（全纯截面).设L为黎曼曲面M上的全纯线丛，π：L→M为丛投影.如果连续映射s:M→L满足条件πos=id,即s(p)Eπ-1(p)，VpeM,则称s为丛L的一个截面：当s光滑时称为光滑截面，当s为全纯映射时称为全纯截面.全纯截面的全体记为Fr(L)，Tr(L）中有一个特殊的截面，它把任何一点p均映为π-1(p）中的零向量，称这个截面为零截面：由于纤维具有线性结构，因此截面空间h（L）也有自然的线性结构，即截面之间有加法和数乘运算，使之成为复向量空间。以后我们将看到，如果M为紧致黎曼曲面，则T(L）是有限维的复向量空间.例4.1.4.平凡线丛的截面，映射s：M→M×C为截面当且仅当s形如s(p) = (p, f(p),其中，：M→C为M上的连续函数.s为全纯截面当且仅当f为全纯函数.因此，截面实际上是函数的推广：例4.1.5.全纯切丛和全纯余切丛的截面，按照我们先前的定义，全纯切丛的截面就是切向量场，全纯余切丛的截面为余切向量场，即微分形式，特别地，全纯余切丛的全纯截面就是全纯微分，根据第四例，平凡丛上的截面等同于函数。由于任何线丛都是局部平凡的，因此我们可以把截面s表示为局部函数.具体来讲，如果U。为M的开覆盖，为对应的局部平凡化，则有(4.2)ba(s(p)) = (p, Sa(p)), VpeUα.其中，sa为Ua上的函数当UanUpの时，有(4.3)Sp(p)=ga(p)Sa(p),VpeUnUp其中，93α为全纯线丛的连接函数，我们把这一族函数{sa）称为截面s的局部表示反之，如果一组函数Sα满足条件（4.3)，则利用（4.2）就可以定义一个截面.这样做的好处是，我们可以定义全纯线丛的亚纯截面：定义4.1.3（亚纯截面).一组亚纯函数8a：Ua→S如果满足条件（4.3),则称为全纯线丛L上的一个亚纯截面，记为s=(s。].亚纯截面的全体用t(L)表示按照这个定义，黎曼曲面上的亚纯微分就是全纯余切丛的亚纯截面

124 第四章曲面与上同调定义 4.1.2 (全纯截面). 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, π : L Ñ M 为丛投影. 如果连续映射 s : M Ñ L 满足条件 π ˝ s “ id, 即 sppq P π ´1 ppq, @ p P M, 则称 s 为丛 L 的一个截面. 当 s 光滑时称为光滑截面, 当 s 为全纯映射时称为全纯截面. 全纯截面的全体记为 ΓhpLq, ΓhpLq 中有一个特殊的截面, 它把任何一点 p 均映为 π ´1 ppq 中的零向量, 称这个截面为零截面. 由于纤维具有线性结构, 因此截面空间 ΓhpLq 也有自然的线性结构, 即截面之间有加法和数乘运算, 使之成为复向量空间. 以后我们将看到, 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 ΓhpLq 是有限维的复向量空间. 例 4.1.4. 平凡线丛的截面. 映射 s : M Ñ M ˆ C 为截面当且仅当 s 形如 sppq “ pp, fppqq, 其中, f : M Ñ C 为 M 上的连续函数. s 为全纯截面当且仅当 f 为全纯函数. 因此, 截面实际上是函数的推广. 例 4.1.5. 全纯切丛和全纯余切丛的截面. 按照我们先前的定义, 全纯切丛的截面就是切向量场, 全纯余切丛的截面为余切向量场, 即微分形式. 特别地, 全纯余切丛的全纯截面就是全纯微分. 根据第四例, 平凡丛上的截面等同于函数. 由于任何线丛都是局部平凡的, 因此我们可以把截面 s 表示为局部函数. 具体来讲, 如果 Uα 为 M 的开覆盖, ψα 为对应的局部平凡化, 则有 ψαpsppqq “ pp, sαppqq, @ p P Uα. (4.2) 其中, sα 为 Uα 上的函数. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有 sβppq “ gβαppq ¨ sαppq, @ p P Uα X Uβ. (4.3) 其中, gβα 为全纯线丛的连接函数. 我们把这一族函数 tsαu 称为截面 s 的局部表示. 反之, 如果一组函数 sα 满足条件 (4.3), 则利用 (4.2) 就可以定义一个截面. 这样做的好处是, 我们可以定义全纯线丛的亚纯截面: 定义 4.1.3 (亚纯截面). 一组亚纯函数 sα : Uα Ñ S 如果满足条件 (4.3), 则称为全纯线丛 L 上的一个亚纯截面, 记为 s “ tsαu. 亚纯截面的全体用 MpLq 表示. 按照这个定义, 黎曼曲面上的亚纯微分就是全纯余切丛的亚纯截面

84.1全纯线丛的定义125定义4.1.4（丛同态).设L1，L2分别为黎曼曲面M，N上的全纯线丛，T1，T2分别为丛投影.如果全纯映射对（F,f)：(L1，M）→(L2,M)满足条件π20F=fo元1,即F((p))2(f(p),VpeM,并且 F限制在每个纤维 -1(p)上均为线性同态，则称（FJ）为全纯线丛L1和L2之间的丛同态显然，丛同态（F,J）中的映射f完全由F决定.我们来看丛同态的一个例子设于：M→N为黎曼曲面之间的全纯映射，L为N上的全纯线丛，π为丛投影.令f*L=（（m,I)EM×Lf(m）=π(U)),f*L是乘积空间M×L的子拓扑空间不仅如此，它还具有丛的结构，事实上，令元，：f*L→M，元(m,1)=m.则元，为连续满射.设U为N中的开集，：元-1(U）→U×C为一个局部平凡化，则映射: (f-1(U)):→f-1(U)×C(m,I)-→ (m,πc(b()为同胚.其中，πc：U×C→C是向第二个分量的投影.如果a，分别为Ua，U上的平凡化，则有bpfoa)(m,a) = (m,9Ba(f(m))a),其中gBα为L的连接函数.这说明*L具有复结构，并且是M上的全纯线丛，其连接函数为hpa:f-1(UnU)→C*,hBa=gpaof.令F：f*L→L,F(m,I)=l,则（F,J）为全纯线丛f*L和L之间的丛同态.我们把f*L称为拉回丛.因为紧致黎曼曲面上存在非常多的亚纯函数，通过拉回映射把CP1上的全纯线丛拉回就得到了紧致黎曼曲面上许多的全纯线丛。为了区分全纯线丛，我们还要引入丛同构的概念定义4.1.5（丛同构).设(F,f）为全纯线丛L1,L2之间的丛同态，如果存在从Lz到L1的丛同态(G,g)，使得F,G为互逆的双全纯映射，f,g为互逆的双全纯映射，则称全纯线丛L1，L2同构.称（F,f)，(G,9)为丛同构.丛同构显然是一个等价关系.如果f：M→N为双全纯同构，则拉回丛f*L和L同构。如果（F,J)是全纯线丛Li和L之间的同构，考虑映射F"：L1→f*L2F'() = (i(1),F(), Vle L1.则（F,id）是全纯线丛L和f*L2之间的同构.由于这个原因，当黎曼曲面M上的两个全纯线丛同构时，我们可以假设丛同构在M上诱导的映射为恒同映射．以下如果不加说明，我们都做这样的假设.下面我们用连接函数来描述丛的同构设L1，L2为黎曼曲面M上的两个同构的全纯线丛，F：Li→L2为丛同构.我们注意到，丛Li和L2的局部平凡化开

§4.1 全纯线丛的定义 125 定义 4.1.4 (丛同态). 设 L1, L2 分别为黎曼曲面 M, N 上的全纯线丛, π1, π2 分别为丛投影. 如果全纯映射对 pF, fq : pL1, Mq Ñ pL2, Nq 满足条件 π2 ˝F “ f ˝π1, 即 Fpπ ´1 1 ppqq Ă π ´1 2 pfppqq, @ p P M, 并且 F 限制在每个纤维 π ´1 ppq 上均为线性同态, 则称 pF, fq 为全纯线丛 L1 和 L2 之间的丛同态. 显然, 丛同态 pF, fq 中的映射 f 完全由 F 决定. 我们来看丛同态的一个例子. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, L 为 N 上的全纯线丛, π 为丛投影. 令 f ˚L “ tpm, lq P M ˆ L| fpmq “ πplqu, f ˚L 是乘积空间 M ˆ L 的子拓扑空间. 不仅如此, 它还具有丛的结构. 事实上, 令 πf : f ˚L Ñ M, πf pm, lq “ m. 则 πf 为连续满射. 设 U 为 N 中的开集, ψ : π ´1 pUq Ñ U ˆ C 为一个局部平凡化, 则映射 ψf : π ´1 f pf ´1 pUqq : Ñ f ´1 pUq ˆ C pm, lq ÞÑ pm, πCpψplqqq. 为同胚. 其中, πC : U ˆ C Ñ C 是向第二个分量的投影. 如果 ψα, ψβ 分别为 Uα, Uβ 上的平凡化, 则有 ψβf ˝ ψ ´1 αf pm, aq “ pm, gβαpfpmqq ¨ aq, 其中 gβα 为 L 的连接函数. 这说明 f ˚L 具有复结构, 并且是 M 上的全纯线丛, 其连接函数为 hβα : f ´1 pUα X Uβq Ñ C ˚, hβα “ gβα ˝ f. 令 F : f ˚L Ñ L, Fpm, lq “ l, 则 pF, fq 为全纯线丛 f ˚L 和 L 之间的丛同态. 我们把 f ˚L 称为拉回丛. 因为紧致黎曼曲面上存在非常多的亚纯函数, 通过拉回映射把 CP 1 上的全纯线丛拉回就得到了紧致黎曼曲面上许多的全纯线丛. 为了区分全纯线丛, 我们还要引入丛同构的概念. 定义 4.1.5 (丛同构). 设 pF, fq 为全纯线丛 L1, L2 之间的丛同态, 如果存在从 L2 到 L1 的丛同态 pG, gq, 使得 F, G 为互逆的双全纯映射, f, g 为互逆的双全纯映射, 则称全纯线丛 L1, L2 同构. 称 pF, fq, pG, gq 为丛同构. 丛同构显然是一个等价关系. 如果 f : M Ñ N 为双全纯同构, 则拉回丛 f ˚L 和 L 同构. 如果 pF, fq 是全纯线丛 L1 和 L2 之间的同构, 考虑映射 F 1 : L1 Ñ f ˚L2: F 1 pl1q “ pπ1pl1q, Fpl1qq, @ l1 P L1. 则 pF 1 , idq 是全纯线丛 L1 和 f ˚L2 之间的同构. 由于这个原因, 当黎曼曲面 M 上的两个全纯线丛同构时, 我们可以假设丛同构在 M 上诱导的映射为恒同映射. 以下如果不加说明, 我们都做这样的假设. 下面我们用连接函数来描述丛的同构. 设 L1, L2 为黎曼曲面 M 上的两个同构的全纯线丛, F : L1 Ñ L2 为丛同构. 我们注意到, 丛 L1 和 L2 的局部平凡化开

第四章曲面与上同调126覆盖不必相同.但是，通过对开覆盖取公共的加细，我们可以假设L1和L2同时以(U。)为局部平凡化开覆盖.设。和。分别为L1，L2在(U。的平凡化.则F在P和下有局部表示Fa=aFl:Ua×C→Ua×C:Fa(p,a) = (p,fa(p)-a), VpeUa, ae C其中，f:U→C*为全纯映射，当UnUs≠の时，有93a=fahgafa(4.4)其中，9βa，hga分别为L1，L2的连接函数。反之，如果存在满足条件（4.4)的一族函数（fa),则L和L2同构.特别地，有推论4.1.1.黎曼曲面L上的全纯线丛L同构于平凡线丛当且仅当存在局部平凡化开覆盖Uα以及全纯函数fa：Ua→C*，使得L的连接函数gBa=f"fα黎曼曲面M上全纯线丛在同构下的等价类的全体记为C(M).全纯线丛L的同构类记为[L].在C(M)中可以引入群的运算.事实上，设全纯线丛L由连接函数9B决定，则hBα=（9Bα）-1仍然满足连接函数的条件（4.1)，因此也决定了一个全纯线丛，记为－L或L*，称为L的对偶丛对偶丛可以看成是把L的每一根纤维换成它的对偶空间得到。例如，黎曼曲面的全纯余切丛就是全纯切丛的对偶丛。如果L1，L2为两个全纯线丛，在某个公共的局部平凡化开覆盖上，它们分别有连接函数gBα和gBa，则gBa=gba9g满足连接函数的条件（4.1)，因此决定了一个全纯线丛，记为L1+L2或LL2，称为L和Lz的张量积.显然，L+L与L2+L同构容易验证，对偶运算和张量积运算在C(M）上也是定义好的，并且在这些运算下，C（M）成为一个交换群，称为M上的线丛类群.以后我们将不区分同构的全纯线丛.习题4.11.利用局部平凡化在全纯线从的纤维中定义复线性结构，并验证你的定义不依赖于局部平凡化的选取，2.验证我们用连接函数构造的L是全纯线丛，并且该线丛的连接函数就是给定的那一族函数3.写出黎曼球面S的全纯切丛和全纯余切丛的局部平凡化和连接函数，并研究它们和本节第三例中线丛的关系4.证明，全纯线丛的零截面的确是全纯的

126 第四章曲面与上同调覆盖不必相同. 但是, 通过对开覆盖取公共的加细, 我们可以假设 L1 和 L2 同时以 tUαu 为局部平凡化开覆盖. 设 φα 和 ψα 分别为 L1, L2 在 tUαu 的平凡化. 则 F 在 φα 和 ψα 下有局部表示 Fα “ ψα ˝ F ˝ φ ´1 α : Uα ˆ C Ñ Uα ˆ C: Fαpp, aq “ pp, fαppq ¨ aq, @ p P Uα, a P C. 其中, fα : Uα Ñ C ˚ 为全纯映射, 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有 gβα “ f ´1 β hβαfα. (4.4) 其中, gβα, hβα 分别为 L1, L2 的连接函数. 反之, 如果存在满足条件 (4.4) 的一族函数 tfαu, 则 L1 和 L2 同构. 特别地, 有推论 4.1.1. 黎曼曲面 L 上的全纯线丛 L 同构于平凡线丛当且仅当存在局部平凡化开覆盖 Uα 以及全纯函数 fα : Uα Ñ C ˚, 使得 L 的连接函数 gβα “ f ´1 β fα. 黎曼曲面 M 上全纯线丛在同构下的等价类的全体记为 LpMq. 全纯线丛 L 的同构类记为 rLs. 在 LpMq 中可以引入群的运算. 事实上, 设全纯线丛 L 由连接函数 gβα 决定, 则 hβα “ pgβαq ´1 仍然满足连接函数的条件 (4.1), 因此也决定了一个全纯线丛, 记为 ´L 或 L ˚, 称为 L 的对偶丛. 对偶丛可以看成是把 L 的每一根纤维换成它的对偶空间得到. 例如, 黎曼曲面的全纯余切丛就是全纯切丛的对偶丛. 如果 L1, L2 为两个全纯线丛, 在某个公共的局部平凡化开覆盖上, 它们分别有连接函数 g 1 βα 和 g 2 βα, 则 gβα “ g 1 βαg 2 βα 满足连接函数的条件 (4.1), 因此决定了一个全纯线丛, 记为 L1 ` L2 或 L1 b L2, 称为 L1 和 L2 的张量积. 显然, L1 ` L2 与 L2 ` L1 同构. 容易验证, 对偶运算和张量积运算在 LpMq 上也是定义好的, 并且在这些运算下, LpMq 成为一个交换群, 称为 M 上的线丛类群. 以后我们将不区分同构的全纯线丛. 习题 4.1 1. 利用局部平凡化在全纯线丛的纤维中定义复线性结构, 并验证你的定义不依赖于局部平凡化的选取. 2. 验证我们用连接函数构造的 L 是全纯线丛, 并且该线丛的连接函数就是给定的那一族函数. 3. 写出黎曼球面 S 的全纯切丛和全纯余切丛的局部平凡化和连接函数, 并研究它们和本节第三例中线丛的关系. 4. 证明, 全纯线丛的零截面的确是全纯的

84.2因子与线丛1275.证明，全纯线丛同构于平凡丛当且仅当它存在处处非零的全纯截面6.证明，如果于为常值映射，则拉回丛*L为平凡丛；如果L为平凡丛，则拉回从f*L为平凡丛7证明，同构的全纯线丛在拉回映射下仍为同构的全纯线丛84.2因子与线丛在前一节中，通过亚纯函数和拉回，我们可以得到黎曼曲面上的许多全纯线丛在本节，我们要给出全纯线丛的另外一个很自然的构造方法设D=Zni·Pi为M上的一个因子.取M的一个局部坐标邻域覆盖(Ua),因子D属于坐标邻域U&的部分记为DnU.在U。内存在亚纯函数fa，使得它在Ua内诱导的因子（fa）=DnUα,如果UanUp≠の,则在U&nUp上fo/fa既无极点，又无零点，因此是非零全纯函数，记为fBα显然，{fa）满足连接函数要求的条件(4.1),因此决定了M上的全纯线丛，记为入(D).我们有·入(D)的定义是合理的．事实上，如果在Uα中另取亚纯函数9a，使得（ga）=DnUa，则ha=fa/gα在U。中没有极点及零点，因而为非零全纯函数.记93=gp/9a，则gpa=hgfgaha，因此连接函数g3a）决定的全纯线丛和(fa）决定的全纯线丛同构；如果我们选取的局部坐标覆盖不同，则通过适当的加细就得到公共的局部坐标覆盖，这一过程同样不影响入(D）的同构类·入(D)同构于平凡丛当且仅当D为主要因子.事实上，如果D=（f）为主要因子，则可以选取fa=flua，此时fBα=1,因此入(D)为平凡丛；反之，如果入（D）同构于平凡丛，则由上一节最后的推论，存在平凡化开覆盖，通过适当加细不妨设为坐标覆盖Ua，以及全纯函数族α：Ua→C*，使得在UanUg上fa=a.因此，在UanU上，fo=faa，即(faa定义了M上一个整体亚纯函数，且在每个Ua上，（fapa）=（fa）+（a）=（fa）=DnUa，从而有（f)=D,即 D为主要因子.·入(-D)=->(D),入(D1)+>(D2)=入(D1+D2).这由定义可立即得到这说明，入诱导了因子类群D到线丛类群C的同态，仍记为入：D→L，并且这是单同态例4.2.1.考虑黎曼球面S上的因子D=0,其中0eCCS为复平面的原点.取S的坐标覆盖为Uo=C和Ui=S-{0),分别在Uo和Ui上取全纯函数fo=z,f1=1.则入(0)由连接函数(f10=1/z,fo1=z)给出

§4.2 因子与线丛 127 5. 证明, 全纯线丛同构于平凡丛当且仅当它存在处处非零的全纯截面. 6. 证明, 如果 f 为常值映射, 则拉回丛 f ˚L 为平凡丛; 如果 L 为平凡丛, 则拉回从 f ˚L 为平凡丛. 7. 证明, 同构的全纯线丛在拉回映射下仍为同构的全纯线丛. §4.2 因子与线丛在前一节中, 通过亚纯函数和拉回, 我们可以得到黎曼曲面上的许多全纯线丛. 在本节, 我们要给出全纯线丛的另外一个很自然的构造方法. 设 D “ ř i ni ¨ pi 为 M 上的一个因子. 取 M 的一个局部坐标邻域覆盖 tUαu, 因子 D 属于坐标邻域 Uα 的部分记为 D X Uα. 在 Uα 内存在亚纯函数 fα, 使得它在 Uα 内诱导的因子 pfαq “ D X Uα. 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则在 Uα X Uβ 上 fβ{fα 既无极点, 又无零点, 因此是非零全纯函数, 记为 fβα. 显然, tfβαu 满足连接函数要求的条件 (4.1), 因此决定了 M 上的全纯线丛, 记为 λpDq. 我们有 • λpDq 的定义是合理的. 事实上, 如果在 Uα 中另取亚纯函数 gα, 使得 pgαq “ D X Uα, 则 hα “ fα{gα 在 Uα 中没有极点及零点, 因而为非零全纯函数. 记 gβα “ gβ{gα, 则 gβα “ h ´1 β fβαhα, 因此连接函数 tgβαu 决定的全纯线丛和 tfβαu 决定的全纯线丛同构; 如果我们选取的局部坐标覆盖不同, 则通过适当的加细就得到公共的局部坐标覆盖, 这一过程同样不影响 λpDq 的同构类. • λpDq 同构于平凡丛当且仅当 D 为主要因子. 事实上, 如果 D “ pfq 为主要因子, 则可以选取 fα “ f|Uα , 此时 fβα ” 1, 因此 λpDq 为平凡丛; 反之, 如果 λpDq 同构于平凡丛, 则由上一节最后的推论, 存在平凡化开覆盖, 通过适当加细不妨设为坐标覆盖 Uα, 以及全纯函数族 ϕα : Uα Ñ C ˚, 使得在 Uα X Uβ 上 fβα “ ϕ ´1 β ϕα. 因此, 在 Uα X Uβ 上, fβϕβ “ fαϕα, 即 tfαϕαu 定义了 M 上一个整体亚纯函数, 且在每个 Uα 上, pfαϕαq “ pfαq ` pϕαq “ pfαq “ D X Uα, 从而有 pfq “ D, 即 D 为主要因子. • λp´Dq “ ´λpDq, λpD1q ` λpD2q “ λpD1 ` D2q. 这由定义可立即得到. 这说明, λ 诱导了因子类群 D 到线丛类群 L 的同态, 仍记为 λ : D Ñ L, 并且这是单同态. 例 4.2.1. 考虑黎曼球面 S 上的因子 D “ 0, 其中 0 P C Ă S 为复平面的原点. 取 S 的坐标覆盖为 U0 “ C 和 U1 “ S ´ t0u, 分别在 U0 和 U1 上取全纯函数 f0 “ z, f1 “ 1. 则 λp0q 由连接函数 tf10 “ 1{z, f01 “ zu 给出

128 第四章曲面与上同调下面的引理给出了复向量空间 lpDq 的一个新的解释. 引理 4.2.1. 对任何因子 D 均有线性同构 lpDq – ΓhpλpDqq. 证明. 任取 λpDq 的一个全纯截面 s, s 有局部表示 tsα : Uα Ñ Cu, 在 Uα X Uβ 上, sα 满足关系 sβ “ fβαsα “ fβ fα sα. 因此, sα{fα 在 M 上决定了一个整体的亚纯函数, 记为 ipsq. 在每个 Uα 上, 有 rpipsqq ` Ds X Uα “ psαq ´ pfαq ` D X Uα “ psαq ě 0. 这说明 ipsq P lpDq. 因此我们就定义了线性映射 i : ΓhpλpDqq Ñ lpDq. 反之, 给定亚纯函数 f P lpDq, 令 sα “ f ¨ fα, 由于 psαq “ pfq X Uα ` pfαq “ pfq X Uα ` D X Uα “ rpfq ` Ds X Uα ě 0. sα 为 Uα 上的全纯函数, 并且满足条件 (4.3). 因此 tsαu 决定了全纯线丛 λpDq 的一个全纯截面, 记为 jpsq. 我们就得到了线性映射 j : lpDq Ñ ΓhpλpDqq. 显然, i, j 为互逆线性映射, 因而均为线性同构. 类似地, 我们也可以给出 ipDq 的另一个解释. 在此之前, 我们定义由亚纯截面诱导的因子. 为此, 设 s 为全纯线丛 L 的亚纯截面, 并设其局部表示为 tsαu. 在 Uα 上, sα 诱导了因子 psαq. 在 Uα X Uβ 上, 连接函数 gβα 是处处非零的全纯函数, 因此有 psβq “ pgβαsαq “ pgβαq ` psαq “ psαq. 这说明在 M 上存在因子 D, 使得 D X Uα “ psαq. D 称为由亚纯截面 s 诱导的因子, 记为 psq. 显然, s 为全纯截面当且仅当 psq ě 0. 我们注意到, 黎曼曲面上的亚纯微分可以看成全纯余切丛的亚纯截面, 而亚纯微分诱导的因子和我们现在定义的作为亚纯截面诱导的因子是一致的. 引理 4.2.2. 如果 L 为全纯线丛, 则有线性同构 ΓhpL ´ λpDqq – tS P MpLq | pSq ´ D ě 0u, 特别地, ipDq – ΓhpT ˚ h M ´ λpDqq. 证明. 这个引理的证明和上一引理的证明完全类似, 留作习题. 下面的引理揭示了亚纯截面和全纯线丛的关系. 引理 4.2.3. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 则 L “ λppsqq; 反之, 任给因子 D, 存在全纯线丛 λpDq 的亚纯截面 s, 使得 D “ psq.

§4.2 因子与线丛 129 证明. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 其局部表示为 tsαu. 根据 psq 的定义, λppsqq 是由连接函数 tsβα “ sβ sα u 决定的全纯线丛. 另一方面, tsαu 满足条件 (4.3), 这说明 sβα “ gβα 就是 L 的连接函数, 因此 L “ λppsqq. 反之, 任给因子 D, 按照 λpDq 的构造, λpDq 由连接函数 tfβα “ fβ fα u 决定, 其中 fα 为 Uα 上的亚纯函数, 且 pfαq “ D X Uα. 现在, 亚纯函数族 tfαu 满足条件 (4.3), 因而决定了全纯线丛 λpDq 的一个亚纯截面, 记为 s. 由 psq 的定义, 显然有 psq “ D. 例 4.2.2. 设 M 为黎曼曲面, ω 为 M 上非零亚纯微分, 其诱导的因子为 K “ pωq. 上面的引理说明 M 的全纯余切丛 T ˚ h M 同构于 λpKq. 因此有 ipDq – ΓhpλpK ´ Dqq. 推论 4.2.4. 设 L 为全纯线丛. 则 piq 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则存在有效因子 D, 使得 L “ λpDq; piiq 如果存在因子 D1, 使得 dim ΓhpL ´ λpD1qq ą 0, 则存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 证明. piq 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则存在 L 的非零全纯截面 s, 由刚才的引理 4.2.3 立知 L “ λppsqq. piiq 如果存在因子 D1, 使得 dim ΓhpL ´ λpD1qq ą 0, 则由 piq, 存在因子 D2, 使得 L ´ λpD1q “ λpD2q, 此时 L “ λpD1 ` D2q. 推论 4.2.5. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 则 dim ΓhpLq ă 8. 证明. 如果 dim ΓhpLq “ 0, 则没有什么好证的; 如果 dim ΓhpLq ą 0, 则由刚才的推论, 存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 此时由引理 4.2.1 得 dim ΓhpLq “ dim ΓpλpDqq “ dim lpDq ă 8. 其中, 由第三章引理 3.1.1 知 lpDq 为有限维向量空间. 以后我们将证明, 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 λ 是满同态, 即对任何全纯线丛 L, 都存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 习题 4.2 1. 证明, 将 CP 1 等同于黎曼球面 S 后, 前节第三例中的全纯线丛 E 同构于 λp´0q. 2. 证明, S 的全纯切丛 ThpSq 同构于 λp´2 ¨ 0q, 全纯余切丛 T ˚ h pSq 同构于 λp2 ¨ 0q.

《黎曼曲面》课程教学资源（讲义）第四章 曲面与上同调

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