随机方程简介1布朗运动W(t)·是随机的，不是确定的·（几乎）每一条路径样本都是随时间连续变化，但不是光滑的：（几乎）每一个W(t）的样本都是t的连续函数，但W(t）没有传统意义上的导数。. W(t2) -W(ti) ~N(o,t2-ti)对任意的ti<t2<t3<t4,W(t4)-W(t3)和W(t2)-W(ti)都是独立的随机变量。2数值模拟2.1布朗运动的数值模拟在每个时间步生成一个独立的高斯变量△W～N(o,△t)，然后令W(t+△t)=W(t)+AW。11importnumpyas np1.512t=313n=1600H014dt=t/n15t=np.arange(n)*dt16W=np.zeros(n)17fori in range(n-1):18w[t+1] =w[u] +np.sqrt(dt)*np.random.randn(1)192eplt.plot(t,W)21plt.show()2.52.030772.2dx=f(x)dt+g(x)dW的数值模拟在每一个时间步，先生成一个独立随机数△W～(O,At)，然后令x(t+At)=x(t)+f(x)△t+g(x)AW.3复合随机过程问题：假如随机变量y满足(1)dy=f(t,y)dt+g(t,y)dw并且F：R×R→R是一个光滑函数，那么F(t,y）满足什么方程？1
随机方程简介 1 布朗运动W(t) • 是随机的，不是确定的 • （几乎）每一条路径样本都是随时间连续变化，但不是光滑的：（几乎）每一个W(t) 的样 本都是t 的连续函数，但W(t) 没有传统意义上的导数。 • W(t2) − W(t1) ∼ N (0, t2 − t1) • 对任意的t1 < t2 < t3 < t4, W(t4) − W(t3) 和W(t2) − W(t1) 都是独立的随机变量。 2 数值模拟 2.1 布朗运动的数值模拟 在每个时间步生成一个独立的高斯变量∆W ∼ N (0, ∆t)，然后令W(t + ∆t) = W(t) + ∆W。 2.2 dx = f(x)dt + g(x)dW 的数值模拟 在每一个时间步，先生成一个独立随机数∆W ∼ N (0, ∆t), 然后令x(t + ∆t) = x(t) + f(x)∆t + g(x)∆W. 3 复合随机过程 问题：假如随机变量y 满足 dy =f(t, y)dt + g(t, y)dW (1) 并且F : R × R −→ R 是一个光滑函数，那么F(t, y) 满足什么方程？ 1
Course notes@hhu3.1Ito引理：(dW)2=dt(dW)?=dt是一个形式写法。其原因在于下面的结论：定理3.1.令W表示一个发生在时间[0,t]中的布朗运动。对每一个n，(ti：0≤i≤n)表示区间[0,t)的一个等度划分：ti=t,△W;=W(t)-W(ti-1)。E[Z(AW:)]] =E[Z(W(t) - W(ti-1)]] = t(2)2lim Var[Z(AW;)] = lim Var[(W(ti) - W(ti-1)] = 0(3)用微积分符号写出来就是：(4)Var[[(dw)] =0(5)因此（dW)2可以等价地看成确定过程的无穷小量dt，而非随机过程的无穷小量。证明(定理3.1)：直接计算E[Z(AW,) -ZE(AW,)) = ZVar(AW,) =Z! = t(6)=snVar[2(AW:)] =E[(2(AW:)2)] - (E[Z(AW:)])(7)Z E[(AW,) (AW,)] - ?(8)ij=1-E[(AW)] +(AW;))E((AW,)2) - t?(9)ij3(At)2 +n(n - 1)(At)2 - t2(10)-_n(n+2)2-p(11)n222(12)n口3.2Ito公式定理3.2.假如随机变量y分别满足dy=f(t,y)dt+g(t,y)dw(13)2/4
Course notes@hhu 3.1 Ito 引理: (dW) 2 = dt (dW) 2 = dt 是一个形式写法。其原因在于下面的结论： 定理3.1. 令W 表示一个发生在时间[0, t] 中的布朗运动。对每一个n, {ti : 0 ≤ i ≤ n} 表示区 间[0, t] 的一个等度划分: ti = i n t, ∆Wi = W(ti) − W(ti−1)。 E h n ∑ i=1 (∆Wi) 2 i =E h n ∑ i=1 (W(ti) − W(ti−1))2 i = t (2) limn→∞ Varh n ∑ i=1 (∆Wi) 2 i = limn→∞ Varh n ∑ i=1 (W(ti) − W(ti−1))2 i = 0 (3) 用微积分符号写出来就是: E h Z t 0 (dW) 2 i =t (4) Varh Z t 0 (dW) 2 i =0 (5) 因此(dW) 2 可以等价地看成确定过程的无穷小量dt，而非随机过程的无穷小量。 证明(定理3.1): 直接计算 E h n ∑ i=1 (∆Wi) 2 i = n ∑ i=1 E((∆Wi) 2 ) = n ∑ i=1 Var(∆Wi) = n ∑ i=1 t n = t (6) Varh n ∑ i=1 (∆Wi) 2 i =E h ( n ∑ i=1 (∆Wi) 2 ) 2 i − E[ n ∑ i=1 (∆Wi) 2 ] 2 (7) = n ∑ i,j=1 E[(∆Wi) 2 (∆Wj) 2 ] − t 2 (8) = n ∑ i=1 E[(∆Wi) 4 ] + ∑ i̸=j E((∆Wi) 2 )E((∆Wj) 2 ) − t 2 (9) = n ∑ i=1 3(∆t) 2 + n(n − 1)(∆t) 2 − t 2 (10) = n(n + 2) n 2 t 2 − t 2 (11) = 2 n t 2 (12) 3.2 Ito 公式 定理3.2. 假如随机变量y 分别满足 dy =f(t, y)dt + g(t, y)dW (13) 2/4
Coursenotes@hhu并且F：R×R→R是一个光滑函数，那么u=F(t,y)满足(14)du = (Ff+ Fyf + Fwg (t,y)dt + FygdW不严格证明(定理3.2)：记t2=t+△t,ti=t，y1=y(t1),y2=y(t2),Ay=y2-y1,利用泰勒展开：(15)F(t2,y2) - F(t1, y1) = F(t2,y2) - F(t1,y2) + F(t1,y2) - F(t1,y1)(16)=F(ti,y2)At + 0(At) + F,(ti, 1)Ay + Fw(ti,y1)(Ay)2 + (Ay)=Fi(t1,yi)△t + [F(t1, 2) - F(t1,y1)]At + o(At) + F,(t1,yi)f(t1,y1)△t+ F,(t,y)g(ti,yi)AW +Fw(ti,yn)(ti, y1)t+g(t1,y)AW)? + (Ay)(17)注意[F;(t1, y2) - F(t1, y1)]t = o(At). (Ay)2 = [f(ti,y1)△t +g(t1,y1)W)2 = g2(△W)2 +0(△t) = g(ti,y1)2△t +o(△t)因此u(t2) -u(ti) = (Ff + Fyf + Fy8)At+FygAW(18)口4多元随机微分方程问题：如何定义多元函数随机过程y：R×R"→R，使得对任意固定的t,y(t,x）是关于x的光滑函数？·如果对每个xoER"，单独定义随机过程y(t,xo)，则经过任意短时间后，y(t,x）将失去对x的光滑性。·对不同的点x1,x2ER"，y(t,x1)和y(t,x2)的随机性必须是相关的。因此考虑如下形式的随机方程dy(t,x) = F(t,x,y)dt+ o;(t,y)si(t,x,y)dW(19)i=1其中E(W;(t)W,(t)=jt,F,oi,;都是"光滑"函数，F(t,x,y),i(t,x,y)R",o;(t,y)ER+，且对任意给定的t,y,(20)T(t,x,y);(t,x,y)d"x=0j此时y的光滑性由；的光滑性以及g；的递减速度决定。3/4
Course notes@hhu 并且F : R × R −→ R 是一个光滑函数，那么u = F(t, y) 满足： du = (Ft + Fy f + 1 2 Fyyg 2 (t, y))dt + FygdW (14) 不严格证明(定理3.2): 记t2 = t + ∆t, t1 = t，y1 = y(t1), y2 = y(t2), ∆y = y2 − y1, 利用泰勒展开: F(t2, y2) − F(t1, y1) = F(t2, y2) − F(t1, y2) + F(t1, y2) − F(t1, y1) (15) =Ft(t1, y2)∆t + o(∆t) + Fy(t1, y1)∆y + 1 2 Fyy(t1, y1)(∆y) 2 + o((∆y) 2 ) (16) =Ft(t1, y1)∆t + h Ft(t1, y2) − Ft(t1, y1) i ∆t + o(∆t) + Fy(t1, y1)f(t1, y1)∆t + Fy(t1, y1)g(t1, y1)∆W + 1 2 Fyy(t1, y1)[ f(t1, y1)∆t + g(t1, y1)∆W] 2 + o((∆y) 2 ) (17) 注意 • h Ft(t1, y2) − Ft(t1, y1) i ∆t = o(∆t) • (∆y) 2 = [ f(t1, y1)∆t + g(t1, y1)∆W] 2 = g 2 (∆W) 2 + o(∆t) = g(t1, y1) 2∆t + o(∆t) 因此 u(t2) − u(t1) = (Ft + Fy f + 1 2 Fyyg 2 )∆t + Fyg∆W (18) 4 多元随机微分方程 问题：如何定义多元函数随机过程y : R × Rn −→ R，使得对任意固定的t, y(t, x) 是关于x 的光滑 函数？ • 如果对每个x0 ∈ Rn，单独定义随机过程y(t, x0)，则经过任意短时间后，y(t, x) 将失去对x 的光滑性。 • 对不同的点x1, x2 ∈ Rn，y(t, x1) 和y(t, x2) 的随机性必须是相关的。 因此考虑如下形式的随机方程： dy(t, x) = F(t, x, y)dt + ∞ ∑ i=1 σi(t, y)ξi(t, x, y)dWi (19) 其中E(Wi(t)Wj(t)) = δijt, F, σi , ξi 都是“光滑”函数，F(t, x, y), ξi(t, x, y) ∈ Rm, σi(t, y) ∈ R+，且对 任意给定的t, y, Z x ξ ⊤ i (t, x, y)ξj(t, x, y)d n x = δij (20) 此时y 的光滑性由ξi 的光滑性以及σi 的递减速度决定。 3/4
Course notes@hhu作业4.1.假设x满足随机常微分方程(21)dx=-xdt+tdw(22)x(0) =0(1),写出y=x3满足的随机常微分方程，使其只含有y，不包含x（即dy=f(t,y)dt+g(t,y)dW的形式)(2),使用Python模拟x10000次，计算随机变量y(1)的样本均值和样本方差：(3),通过直接模拟y所满足的常微分方程，计算10000个样本，及y(1)的样本均值和样本协方差。4/4
Course notes@hhu 作业4.1. 假设x 满足随机常微分方程 dx = − xdt + tdW (21) x(0) =0 (22) (1),写出y = x 3 满足的随机常微分方程，使其只含有y, 不包含x (即dy = f(t, y)dt + g(t, y)dW 的形式) (2),使用Python 模拟x 10000次，计算随机变量y(1) 的样本均值和样本方差； (3),通过直接模拟y 所满足的常微分方程，计算10000个样本，及y(1) 的样本均值和样本 协方差。 4/4