《高等代数1》课程教学大纲一、课程信息课程名称：高等代数1Advanced Algebra 1课程代码：06E2104B课程类别：专业基础课/必修课适用专业：应用统计学课程学时：90学时课程学分：5学分修读学期：第2学期先修课程：数学分析1、解析几何二、课程目标高等代数是应用统计学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习后续课程提供必要的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。本课程分两个学期开设，高等代数1在第二学期开设，高等代数2在第三学期开设。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.掌握多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型的基本概念、基础知识与基本理论；初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法
《高等代数 1》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：高等代数 1 Advanced Algebra 1 课程代码：06E2104B 课程类别：专业基础课/必修课 适用专业：应用统计学 课程学时：90学时 课程学分：5学分 修读学期：第 2 学期 先修课程：数学分析 1、解析几何 二、课程目标 高等代数是应用统计学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的 一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有 较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识 建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和 抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、 特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习后续课程提供必要的基础理论 知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。 高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一 元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二 次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。 本课程分两个学期开设，高等代数 1 在第二学期开设，高等代数 2 在第三学 期开设。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1.掌握多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型的基本概念、基础 知识与基本理论；初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法
进而加深对中学代数的理解；能够运用高等代数的基本知识和基本原理进行运算，并正确求得运算结果：能够将社会经济问题转换为数学专业问题：能够达到复杂社会经济问题中的计算水平。【支撑毕业要求指标点1.1、5.2】2.理解基本定理的证明过程；训练学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；提高学生的专业能力素质，使学生获得分析、推断和预测社会经济问题的意识与能力。【支撑毕业要求指标点1.3】3.培养在高等代数基本理论的指导下，运用高等代数知识建立简单的数学模型，并正确求解的能力；学会独立思考，具有批判性思维素养，从而具备对社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合的能力；通过习题讲解讨论等方式，提高学生的信息综合能力。【支撑毕业要求指标点1.4、4.4】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【1.1】掌握数学、自然科学、经济学和统计学等专业基本知识和基本原理，具备使用工具性语言描述社会经济问题的能力。1.工程知识课程目标1【5.2】掌握常用的数据采集、处理、分析工具，能够针对社会经5.现代工具运用济领域复杂实际问题，选择和使用恰当的技术、工具和模拟软件，对复杂社会经济问题进行分析、计算与设计。【1.3】掌握统计学的基本思想和方法，应用于社会经济问题的分1.工程知识课程目标 2析、推断和预测。【1.4】能正确利用统计思想和方法分析判断软件的计算结果，对1.工程知识社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合。课程目标34.科学研究【4.4】能对实验结果进行分析和解释，并通过信息综合得到合理有效的结论。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法学时安排支撑的课程目标20第一章多项式案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1、218第二章行列式案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1、2
进而加深对中学代数的理解；能够运用高等代数的基本知识和基本原理进行运算， 并正确求得运算结果；能够将社会经济问题转换为数学专业问题；能够达到复杂 社会经济问题中的计算水平。【支撑毕业要求指标点 1.1、5.2】 2.理解基本定理的证明过程；训练学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；提 高学生的专业能力素质，使学生获得分析、推断和预测社会经济问题的意识与能 力。【支撑毕业要求指标点 1.3】 3.培养在高等代数基本理论的指导下，运用高等代数知识建立简单的数学模 型，并正确求解的能力；学会独立思考，具有批判性思维素养，从而具备对社会 经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合的能力；通过习题讲解讨论等 方式，提高学生的信息综合能力。【支撑毕业要求指标点 1.4、4.4】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 1.工程知识 5.现代工具运用 【1.1】掌握数学、自然科学、经济学和统计学等专业基本知识和 基本原理，具备使用工具性语言描述社会经济问题的能力。 【5.2】掌握常用的数据采集、处理、分析工具，能够针对社会经 济领域复杂实际问题，选择和使用恰当的技术、工具和模拟软件， 对复杂社会经济问题进行分析、计算与设计。 课程目标 2 1.工程知识 【1.3】掌握统计学的基本思想和方法，应用于社会经济问题的分 析、推断和预测。 课程目标 3 1.工程知识 4.科学研究 【1.4】能正确利用统计思想和方法分析判断软件的计算结果，对 社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合。 【4.4】能对实验结果进行分析和解释，并通过信息综合得到合理 有效的结论。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 多项式 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 20 第二章 行列式 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 18
20 第三章线性方程组案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1、218第四章矩阵案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1、214第五章二次型案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标2、3合计90学时（二）具体内容第一章多项式（20学时)【教学目标与要求】1、教学目标：多项式内容是学习高等代数其他内容的基础，本章主要学习一元多项式与多元多项式内容。通过本章内容的学习，使学生应理解数域、一元多项式、整除的概念、最大公因式和最小公倍式、因式分解定理、重因式、多项式函数、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式、多元多项式、对称多项式等概念和知识，为以后各章学习打下基础。2、教学要求：（1）掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域；知道有理数域是最小的数域，而复数域是最大的数域，如果以包含关系论大小，这两个数域是所有数域的下界和上界。（2）理解数域P上一元多项式的定义，会确定多项式的各项次数和首项，多项式的加法、减法和乘法；知道乘积的首项等于首项的乘积，理解多项式乘法的消去律：掌握加法和乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分配律。（3）理解整除的定义，熟练掌握带余除法和整除的性质。（4）理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。理解两个多项式的最小公倍式的概念，掌握最小公倍式与最大公因式之间的关系。（5）理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式，并会用标准分解式求两个多项式的最大公因式和最小公倍式
第三章 线性方程组 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 20 第四章 矩阵 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 18 第五章 二次型 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 2、3 14 合计 90 学时 （二）具体内容 第一章 多项式（20 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 多项式内容是学习高等代数其他内容的基础，本章主要学习一元多项式与多 元多项式内容。通过本章内容的学习，使学生应理解数域、一元多项式、整除的 概念、最大公因式和最小公倍式、因式分解定理、重因式、多项式函数、复系数 与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式、多元多项式、对称多项式等概念 和知识，为以后各章学习打下基础。 2、教学要求： （1）掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域；知道有理数域 是最小的数域，而复数域是最大的数域，如果以包含关系论大小，这两个数域是 所有数域的下界和上界。 （2）理解数域 P 上一元多项式的定义，会确定多项式的各项次数和首项， 多项式的加法、减法和乘法；知道乘积的首项等于首项的乘积，理解多项式乘法 的消去律；掌握加法和乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分配律。 （3）理解整除的定义，熟练掌握带余除法和整除的性质。 （4）理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式, 互素等概念及性质。 能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。理解两个多项式的最小公倍式的概 念，掌握最小公倍式与最大公因式之间的关系。 （5）理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解因式分解及唯一性 定理。掌握多项式的标准分解式，并会用标准分解式求两个多项式的最大公因式 和最小公倍式
（6）正确理解和重因式的定义，掌握重因式定理及其推论，会用辗转相除法求多项式的重因式。（7）掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根与一次因式的关系。理解多项式相等与多项式函数相等的一致性。（8）理解代数基本定理及多项式根的个数与多项式次数的关系，掌握复系数多项式的根与系数的关系。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。（9）理解本原多项式的定义，掌握有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系；掌握高斯引理及其推论，会求整系数多项式的有理；会用Eisenstein判别法判定整系数多项式的可约性，知道Eisenstein判别法是判定整系多项式在有理数域上可约的充分条件，但不是必要条件。（10）理解多元多项式定义，会用字典排列法确定多项式的首项：理解多元多项式相等与多元多项式函数相等的一致性。（11）理解对称多项式的定义，正确理解对称多项式基本定理：会用消首项法和待定系数法将对称多项式化为初等对称多项式的多项式。【教学重点与难点】1、教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式，多项式互素，辗转相除法，不可约多项式概念和性质，因式分解及唯一性定理，重因式与重根的关系，复（实）系数多项式分解定理，有理系数多项式的可约性及有理根的求法。2、教学难点：有理系数多项式的可约性，将对称多项式化为初等对称多项式的多项式。【学习内容】1.数域7.多项式函数2.一元多项式8.复系数与实系数多项式的因式分解3.整除的概念9.有理系数多项式4.最大公因式10.多元多项式5.因式分解定理11.对称多项式6.重因式【思政元素融入点】
（6）正确理解和重因式的定义，掌握重因式定理及其推论，会用辗转相除 法求多项式的重因式。 （7）掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根与一次因式的关系。 理解多项式相等与多项式函数相等的一致性。 （8）理解代数基本定理及多项式根的个数与多项式次数的关系，掌握复系 数多项式的根与系数的关系。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解 式。 （9）理解本原多项式的定义，掌握有理系数多项式的分解与整系数多项式 分解的关系；掌握高斯引理及其推论，会求整系数多项式的有理；会用 Eisenstein 判别法判定整系数多项式的可约性，知道 Eisenstein 判别法是判定整系多项式在 有理数域上可约的充分条件，但不是必要条件。 （10）理解多元多项式定义，会用字典排列法确定多项式的首项；理解多元 多项式相等与多元多项式函数相等的一致性。 （11）理解对称多项式的定义，正确理解对称多项式基本定理；会用消首项 法和待定系数法将对称多项式化为初等对称多项式的多项式。 【教学重点与难点】 1、教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式，多项式互 素，辗转相除法，不可约多项式概念和性质，因式分解及唯一性定理，重因式与 重根的关系，复（实）系数多项式分解定理，有理系数多项式的可约性及有理根 的求法。 2、教学难点：有理系数多项式的可约性，将对称多项式化为初等对称多项 式的多项式。 【学习内容】 1．数域 7．多项式函数 2．一元多项式 8．复系数与实系数多项式的因式分解 3．整除的概念 9．有理系数多项式 4．最大公因式 10．多元多项式 5．因式分解定理 11．对称多项式 6．重因式 【思政元素融入点】
在概念和定理的引入时融入科学家故事，培养学生勤奋钻研的精神。通过多项式理论发展过程的讲述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法，培养学生的数学情感，能够将社会经济问题转换为数学专业问题。第二章行列式（18学时）【教学目标与要求】1、教学目标：行列式内容是为后续学习做准备，是为学习解方程组、求解矩阵秩、解二次型、解矩阵特征值等打基础，本章主要学习行列式定义、性质、计算行列式，以及克拉姆法则等内容。通过本章学习，使学生会计算一般的行列式，并会计算特殊的线性方程组。2、教学要求：（1）理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；掌握排列的奇偶性与对换的关系。（2）深刻理解和掌握n阶行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式。（3）熟练掌握行列式的基本性质。（4）正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。（5）理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。（6）熟练掌握克拉默(Cramer)法则及其推论；将克拉默法则的证明移到第四部分，改用矩阵法进行证明。（7）理解和掌握行列式的一个级子式的余子式等概念、正确理解拉普拉斯(Laplace)定理，知道它在计算某些特殊形状行列式时有便捷优势；将行列式的乘法定理移到第四部分讲述。【教学重点与难点】1、教学重点：行列式的定义，行列式的基本性质，矩阵的初等变换与行列式性质的对应关系，按一行（列）展开的公式，克拉默(Cramer)法则
在概念和定理的引入时融入科学家故事，培养学生勤奋钻研的精神。通过多 项式理论发展过程的讲述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产 生的各种数学思想方法，培养学生的数学情感，能够将社会经济问题转换为数学 专业问题。 第二章 行列式（18 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 行列式内容是为后续学习做准备，是为学习解方程组、求解矩阵秩、解二次 型、解矩阵特征值等打基础，本章主要学习行列式定义、性质、计算行列式，以 及克拉姆法则等内容。通过本章学习，使学生会计算一般的行列式，并会计算特 殊的线性方程组。 2、教学要求： （1）理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；掌握排列的奇偶 性与对换的关系。 （2）深刻理解和掌握 n 阶行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式。 （3）熟练掌握行列式的基本性质。 （4）正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列 式性质计算一些简单行列式。 （5）理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列） 展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的 技巧。 （6）熟练掌握克拉默(Cramer)法则及其推论；将克拉默法则的证明移到第 四部分，改用矩阵法进行证明。 （7）理解和掌握行列式的一个级子式的余子式等概念、正确理解拉普拉斯 (Laplace)定理，知道它在计算某些特殊形状行列式时有便捷优势；将行列式的乘 法定理移到第四部分讲述。 【教学重点与难点】 1、教学重点：行列式的定义，行列式的基本性质，矩阵的初等变换与行列 式性质的对应关系，按一行（列）展开的公式，克拉默(Cramer)法则
2、教学难点：行列式按一行（列）展开性质、按多行（列）展开。【学习内容】1.引言5.行列式的计算2.排列6.行列式按一行（列）展开3.n阶行列式7.克拉默法则4.n阶行列式的性质8.拉普拉斯定理·行列式的乘法规则【思政元素融入点】利用行列式的规范性引入德育元素：诚信，严谨，科学。通过专业知识和德育元素的结合，让学生体会科学的方法论中严谨，实事求是的重要性，从而达到培养科学思维方式的目的。针对不同类型行列式的计算，可以教会学生用行列式的性质进行化简，总结规律。告诉学生人生没有近路可走，但我们走的每一步，都是算数的。“条条大路通罗马”，通过不同类型行列式之间的相互关系与转化过程，培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神。第三章线性方程组（20学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性方程组理论是高等代数中的重要内容之一。本章主要学习：消元法、n维向量空间、线性相关性、矩阵的秩、线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构等内容。通过本章学习，使学生学会求解线性方程组，会计算矩阵秩。为以后学习二次型、线性变换等打下基础。2、教学要求：（1）理解和掌握一般线性方程组及其系数矩阵、增广矩阵、解及两方程组同解的概念：线性方程组的初等变换等概念及保解性质：掌握将一般方程组化为阶梯形方程组与将增广矩阵化为阶梯形的等价性；会求线性方程组的一般解。（2）理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义：熟练掌握向量的加、减法和数与向量的乘法，知道它们满足8条规则，并有4条基本性质。（3）理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质；掌握两个量组等价的定义及等价性质定理：深刻理解向量组的极大无关组与原向量组的等价性；知道向量组线性无关是它的延长组线性无关的充分条件，但不是必要条
2、教学难点：行列式按一行（列）展开性质、按多行（列）展开。 【学习内容】 1．引言 5．行列式的计算 2．排列 6．行列式按一行（列）展开 3．n 阶行列式 7．克拉默法则 4．n 阶行列式的性质 8．拉普拉斯定理·行列式的乘法规则 【思政元素融入点】 利用行列式的规范性引入德育元素：诚信，严谨，科学。通过专业知识和德 育元素的结合，让学生体会科学的方法论中严谨，实事求是的重要性，从而达到 培养科学思维方式的目的。针对不同类型行列式的计算，可以教会学生用行列式 的性质进行化简，总结规律。告诉学生人生没有近路可走，但我们走的每一步， 都是算数的。“条条大路通罗马”，通过不同类型行列式之间的相互关系与转化过 程，培养学生严谨的科学观以及不断进取钻研的精神。 第三章 线性方程组（20 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性方程组理论是高等代数中的重要内容之一。本章主要学习：消元法、n 维向量空间、线性相关性、矩阵的秩、线性方程组有解判别定理、线性方程组解 的结构等内容。通过本章学习，使学生学会求解线性方程组，会计算矩阵秩。为 以后学习二次型、线性变换等打下基础。 2、教学要求： （1）理解和掌握一般线性方程组及其系数矩阵、增广矩阵、解及两方程组 同解的概念；线性方程组的初等变换等概念及保解性质；掌握将一般方程组化为 阶梯形方程组与将增广矩阵化为阶梯形的等价性；会求线性方程组的一般解。 （2）理解和掌握 n 维向量及两个 n 维向量相等的定义；熟练掌握向量的加、 减法和数与向量的乘法，知道它们满足 8 条规则，并有 4 条基本性质。 （3）理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质；掌握两个 向量组等价的定义及等价性质定理；深刻理解向量组的极大无关组与原向量组的 等价性；知道向量组线性无关是它的延长组线性无关的充分条件，但不是必要条
件；掌握向量组的秩的定义，知道理解它是与极大无关组的取法无关的不变量；理解增广矩阵的行向量组等价的两个线性方程组同解，所以在解方程组时，常用与增广矩阵的行向量组的极大无关组来构造与原方程组同理的方程组。（4）深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义；会用方阵的秩或行（列）向量组的线性相关性情况判别行列式是否为零；掌握矩阵的秩与其子式的关系。（5）熟练掌握线性方程组的有解判别定理；掌握一般线性方程组的解的三种可能情况，理解齐次线性方程组的解只有两种可能的情况。（6）正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系，解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时的全部解。【教学重点与难点】1、教学重点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部解。2、教学难点：向量组的线性相关性理论、矩阵的秩、基础解系的求法、线性方程组解的结构。【学习内容】1.消元法4.矩阵的秩2.n维向量空间5.线性方程组有解判别定理3.线性相关性6.线性方程组解的结构【思政元素融入点】让学生了解方程组求解过程中，虽然形式发生了变化，但是解并没有发生变化，注意以“变”为突破，以“不变”为根基的解决方法，知道形变而质不变的道理。第四章矩阵（18学时）【教学目标与要求】1、教学目标：
件；掌握向量组的秩的定义，知道理解它是与极大无关组的取法无关的不变量； 理解增广矩阵的行向量组等价的两个线性方程组同解，所以在解方程组时，常用 与增广矩阵的行向量组的极大无关组来构造与原方程组同理的方程组。 （4）深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义；会用方阵的秩或行（列） 向量组的线性相关性情况判别行列式是否为零；掌握矩阵的秩与其子式的关系。 （5）熟练掌握线性方程组的有解判别定理；掌握一般线性方程组的解的三 种可能情况，理解齐次线性方程组的解只有两种可能的情况。 （6）正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概念。 熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时 的全部解。 【教学重点与难点】 1、教学重点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、 线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、 求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程 组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构 定理、求一般线性方程组有解时的全部解。 2、教学难点：向量组的线性相关性理论、矩阵的秩、基础解系的求法、线 性方程组解的结构。 【学习内容】 1．消元法 4．矩阵的秩 2．n 维向量空间 5．线性方程组有解判别定理 3．线性相关性 6．线性方程组解的结构 【思政元素融入点】 让学生了解方程组求解过程中，虽然形式发生了变化，但是解并没有发生变 化，注意以“变”为突破，以“不变”为根基的解决方法，知道形变而质不变的道理。 第四章 矩阵（18 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标：
矩阵理论是高等代数的核心内容之一。本章主要学习：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆、矩阵的分块、初等矩阵、分块矩阵的初等变换及应用举例等内容。通过本章学习，使学生理解和掌握矩阵的相关知识，为后续知识的学习做好准备。2、教学要求：（1）了解矩阵概念产生的背景。（2）掌握矩阵的加法、乘法、数乘、转置、乘方和矩阵多项式等运算的定义及其规律；理解乘法和数乘两种运算满足8条规则和4条基质；知道矩阵乘法不满足交换律，但同底方阵的不同方幕是可交换的，由此推出同一矩阵的两个矩阵多项式是可交换的。（3）掌握矩阵乘积的行列式定理及其证明过程；掌握矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。（4）理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n级方阵可逆的充要条件（分别用行列式、秩和向量组的线性相关性来表述）；掌握克拉默法则的矩阵证法：会用公式法求级数较低的矩阵的逆矩阵。（5）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法可运算的条件，会用待定分块法求分块矩阵的逆。（6）理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握矩阵的相抵标准形，会用初等变换或初等矩阵来描述矩阵可逆的充要条件；会用初等变换法求方阵的逆矩阵。（7）理解分块初等初等矩阵与分块初等变换之间的关系，了解分块初等变换的基本规律。【教学重点与难点】1、教学重点：矩阵乘法、矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、伴随矩阵、级方阵可逆的充要条件、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵。2、教学难点：矩阵乘积的秩、用初等变换的方法求逆矩阵、矩阵的分块运算法及其规律。【学习内容】1.矩阵概念的一些背景5.矩阵的分块
矩阵理论是高等代数的核心内容之一。本章主要学习：矩阵的运算、矩阵乘 积的行列式与秩、矩阵的逆、矩阵的分块、初等矩阵、分块矩阵的初等变换及应 用举例等内容。通过本章学习，使学生理解和掌握矩阵的相关知识，为后续知识 的学习做好准备。 2、教学要求： （1）了解矩阵概念产生的背景。 （2）掌握矩阵的加法、乘法、数乘、转置、乘方和矩阵多项式等运算的定 义及其规律；理解乘法和数乘两种运算满足 8 条规则和 4 条基质；知道矩阵乘法 不满足交换律，但同底方阵的不同方幂是可交换的，由此推出同一矩阵的两个矩 阵多项式是可交换的。 （3）掌握矩阵乘积的行列式定理及其证明过程；掌握矩阵乘积的秩与它的 因子的秩的关系。 （4）理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个 n 级方阵 可逆的充要条件（分别用行列式、秩和向量组的线性相关性来表述）；掌握克拉 默法则的矩阵证法；会用公式法求级数较低的矩阵的逆矩阵。 （5）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法可运算的条件，会 用待定分块法求分块矩阵的逆。 （6）理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌 握矩阵的相抵标准形，会用初等变换或初等矩阵来描述矩阵可逆的充要条件；会 用初等变换法求方阵的逆矩阵。 （7）理解分块初等初等矩阵与分块初等变换之间的关系，了解分块初等变 换的基本规律。 【教学重点与难点】 1、教学重点：矩阵乘法、矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与它的因子的 秩的关系、可逆矩阵、伴随矩阵、级方阵可逆的充要条件、分块矩阵的意义及运 算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵。 2、教学难点：矩阵乘积的秩、用初等变换的方法求逆矩阵、矩阵的分块运 算法及其规律。 【学习内容】 1．矩阵概念的一些背景 5．矩阵的分块
2.矩阵的运算6.初等矩阵3.矩阵乘积的行列式与秩7.分块矩阵的初等变换及应用举例4.矩阵的逆【思政元素融入点】通过介绍《九章算术》中第八章“方程”，让学生了解采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵：解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。以此弘扬中国文化，增强了学生民族自豪感、文化自信心和爱国情怀，提高学生学习线性代数的热情。同时让学生清楚矩阵进行初等变化，秩不变，这就是所谓“形变质不变”的辩证思想。根据行列式的值来判断矩阵可逆性；根据方程组系数矩阵和增广矩阵的秩来判断方程组是否有解，是根据它们的“量”来确定它们对应的“质”。在线性代数的学习中，要善于运用量变与质变的辩证关系。第五章二次型（14学时）【教学目标与要求】1、教学目标：二次型内容是解析几何的推广。本章主要学习：二次型的矩阵表示、标准形、唯一性、正定二次型等内容。通过本章学习，使学生学会化二次型为标准形，会判断二次型的正定性，为后续学习欧氏空间作准备。2、教学要求：（1）理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示法及二次型与对称矩阵的一一对应关系；理解矩阵合同的概念及性质；掌握二次型的非退化线性替换与其矩阵的合同变换的一致性。（2）理解二次型的标准形，理解用配方法证明标准形的存在性过程及其与非退化线性替换的一致性；理解非退化线性替换与成对初等行列变换法的一致性，会用成对初等行列变换法化二次型为标准形。（3）理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；了解惯性定理的证明
2．矩阵的运算 6．初等矩阵 3．矩阵乘积的行列式与秩 7．分块矩阵的初等变换及应用举例 4．矩阵的逆 【思政元素融入点】 通过介绍《九章算术》中第八章“方程”，让学生了解采用分离系数的方法表 示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初 等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到 17 世 纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。以此弘扬中国文化，增强了学 生民族自豪感、文化自信心和爱国情怀，提高学生学习线性代数的热情。同时让 学生清楚矩阵进行初等变化，秩不变，这就是所谓“形变质不变”的辩证思想。根 据行列式的值来判断矩阵可逆性；根据方程组系数矩阵和增广矩阵的秩来判断方 程组是否有解，是根据它们的“量”来确定它们对应的“质”。在线性代数的学习中， 要善于运用量变与质变的辩证关系。 第五章 二次型（14 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 二次型内容是解析几何的推广。本章主要学习：二次型的矩阵表示、标准形、 唯一性、正定二次型等内容。通过本章学习，使学生学会化二次型为标准形，会 判断二次型的正定性，为后续学习欧氏空间作准备。 2、教学要求： （1）理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示法及二 次型与对称矩阵的一一对应关系；理解矩阵合同的概念及性质；掌握二次型的非 退化线性替换与其矩阵的合同变换的一致性。 （2）理解二次型的标准形，理解用配方法证明标准形的存在性过程及其与 非退化线性替换的一致性；理解非退化线性替换与成对初等行列变换法的一致性， 会用成对初等行列变换法化二次型为标准形。 （3）理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；了解惯性定理的证 明
（4）理解正定、半正定、半负定、负定和不定二次型及正定、半正定、半负定、负定和不定矩阵等概念：理解非退化线性替换（合同变换）不改变实二次型（实对称矩阵）的正定性原理，从而实二次型（实对称矩阵）与它的标准形有相同的正定性；理解实二次型的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号差等概念，并能熟练应用它们判定实二次型（实对称矩阵）的正定性；会用矩阵的顺序主子式判定实二次型（实对称矩阵）的正定性。【教学重点与难点】1、教学重点：正定二次型。2、教学难点：实二次型的规范形的唯一性。【学习内容】1.二次型及其矩阵表示3.唯一性2.标准形4.正定二次型【思政元素融入点】让学生了解对二次型进行变换，是把不一样的形式统一到一个规范型，将问题简单化，这有利于分析问题的本质，便于问题的解决。进而明白所有事物都有内在的统一性。坚持内在的核心的正统的价值观对于理解社会具有重要意义。世界上的任何一件事情，任何一个表面上的轻而易举，其实背后都有一次一次的亲身实践。也正是这一次次的失败和总结，成就了一代又一代我们数学领域杰出的人才。四、教学方法与手段本课程坚持以学生为中心，积极创新教学模式、融入思政元素，形成案例式为主、翻转教学辅助的教学模式，开发学生潜能。具体做法有：（1）每章从案例引入，通过分析案例，引导学生搞清该部分的主线及知识框架。每节课也从案例开始，使学生对数学概念产生的实际背景，数学概念的内涵和外延，定理的条件和结论，如何用定理去计算，证明有关的命题，比较分析类似数学概念的异同，找出内在联系。（2）坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。如在矩阵的初等变换等内容中融入思政元素，树立以“变”为突破，以“不变”为根基，形变质不变的哲学观点，教导学生认识每一个事物的时候一定要通过表象弄清实质，明白形式改变背后隐藏的真谛
（4）理解正定、半正定、半负定、负定和不定二次型及正定、半正定、半 负定、负定和不定矩阵等概念；理解非退化线性替换（合同变换）不改变实二次 型（实对称矩阵）的正定性原理，从而实二次型（实对称矩阵）与它的标准形有 相同的正定性；理解实二次型的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号差等概念， 并能熟练应用它们判定实二次型（实对称矩阵）的正定性；会用矩阵的顺序主子 式判定实二次型（实对称矩阵）的正定性。 【教学重点与难点】 1、教学重点：正定二次型。 2、教学难点：实二次型的规范形的唯一性。 【学习内容】 1．二次型及其矩阵表示 3．唯一性 2．标准形 4．正定二次型 【思政元素融入点】 让学生了解对二次型进行变换，是把不一样的形式统一到一个规范型，将问 题简单化，这有利于分析问题的本质，便于问题的解决。进而明白所有事物都有 内在的统一性。坚持内在的核心的正统的价值观对于理解社会具有重要意义。世 界上的任何一件事情，任何一个表面上的轻而易举，其实背后都有一次一次的亲 身实践。也正是这一次次的失败和总结，成就了一代又一代我们数学领域杰出的 人才。 四、教学方法与手段 本课程坚持以学生为中心，积极创新教学模式、融入思政元素，形成案例式 为主、翻转教学辅助的教学模式，开发学生潜能。具体做法有： （1）每章从案例引入，通过分析案例，引导学生搞清该部分的主线及知识 框架。每节课也从案例开始，使学生对数学概念产生的实际背景，数学概念的内 涵和外延，定理的条件和结论，如何用定理去计算，证明有关的命题，比较分析 类似数学概念的异同，找出内在联系。 （2）坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。如在矩阵的初等变换等 内容中融入思政元素，树立以“变”为突破，以“不变”为根基，形变质不变的哲学 观点，教导学生认识每一个事物的时候一定要通过表象弄清实质，明白形式改变 背后隐藏的真谛