《高等代数II》课程教学大纲一、课程信息课程名称：高等代数ⅡHigher Algebra II课程代码：06S1105B、06S2105B课程类别：专业基础课程/必修课适用专业：数学与应用数学、应用统计学课程学时：75学时课程学分：4学分修读学期：第3学期先修课程：数学分析1、解析几何二、课程目标高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习数学学科后续课程（如抽象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等）提供必要的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。本课程分两个学期开设，高等代数1在第二学期开设，高等代数2在第三学期开设
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：高等代数Ⅱ Higher Algebra Ⅱ 课程代码：06S1105B、06S2105B 课程类别：专业基础课程/必修课 适用专业：数学与应用数学、应用统计学 课程学时：75学时 课程学分：4学分 修读学期：第3学期 先修课程：数学分析1、解析几何 二、课程目标 高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一,是理论性、应用性很 强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方 法有较深刻的认识, 提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学 知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知 识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与 抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习数学学科后续课程（如 抽象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等）提供必要 的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。 高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一 元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二 次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。 本课程分两个学期开设，高等代数 1 在第二学期开设，高等代数 2 在第三学 期开设
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.系统掌握线性空间、线性变换、入-矩阵、欧式空间等代数核心理论；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；掌握学习数学学科后续课程必要的基础理论知识，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习建立良好的知识储备；能够运用高等代数的基本理论和知识进行运算，并正确求得运算结果：理解数学学科的育人价值，感悟数学教学中的育人活动。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、6.2】2.能够正确运用高等代数的理论进行逻辑推理，能够对有关的高等代数知识和问题进行直观想象；培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质：树立终身学习理念，培养学生课堂参与度、自主学习习惯和职后发展的能力；培养学生将遇到的问题转化为教研问题的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、4.3、7.1)3.培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建领地掌握中学数学教学中所需的知识；同时，通过案例式教学、翻转课堂、习题讲解等方式，激发学生探索与求知的欲望，提高学生的教学能力、沟通合作技能：具备团队合作精神和一定的创新能力；培养学生自主学习。【支撑毕业要求指标点3.2、7.1、7.3、8.1、8.3]（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。3.学科素养课程目标 16.综合育人【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。【6.2学科育人】理解数学学科育人价值，能在数学教学中融入思政并进行育人活动
（一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 系统掌握线性空间、线性变换、 -矩阵、欧式空间等代数核心理论；进 一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；掌握学习数学学科 后续课程必要的基础理论知识，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其 它相关学科的学习建立良好的知识储备；能够运用高等代数的基本理论和知识进 行运算，并正确求得运算结果；理解数学学科的育人价值，感悟数学教学中的育 人活动。【支撑毕业要求指标点 3.1、3.3、6.2】 2. 能够正确运用高等代数的理论进行逻辑推理，能够对有关的高等代数知 识和问题进行直观想象；培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业 能力素质；树立终身学习理念，培养学生课堂参与度、自主学习习惯和职后发展 的能力；培养学生将遇到的问题转化为教研问题的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、 3.3、4.3、7.1】 3. 培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建瓴地掌握中学数 学教学中所需的知识；同时，通过案例式教学、翻转课堂、习题讲解等方式，激 发学生探索与求知的欲望，提高学生的教学能力、沟通合作技能；具备团队合作 精神和一定的创新能力；培养学生自主学习。【支撑毕业要求指标点3.2、7.1、7.3、 8.1、8.3】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求指标点的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 6.综合育人 【3.1 知识素养】 具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学 科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直 观想象、数据分析等数学学科的专业能力。 【6.2 学科育人】 理解数学学科育人价值，能在数学教学中融入 思政并进行育人活动
【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直3.学科素养观想象，数据分析等数学学科的专业能力。课程目标24.教学能力【4.3教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科7.学会反思的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。【3.2学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值，了解新技术，县备一定的信息化素养。【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不3.学科素养断学习和适应发展的能力。4.教学能力【7.3勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方课程目标37.学会反思法分析和解决数学教育教学中的问题。【8.1团结协作】具有团体意识，掌握团队协作的基本策略，能够8.沟通合作参与小组学习、专题研讨、团队互动等学习活动，善于分享经验和想法。【8.3学习共同体】理解学习共同体在中学数学学习中的重要性，乐于参与学习共同体，具备构建积极向上学习共同体的能力。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排20第六章线性空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、322第七章线性变换案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、310第八章入矩阵案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1第九章21欧几里得空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2第十章2双线性函数案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1合计75学时
课程目标 2 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 【3.1 知识素养】 具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学 科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直 观想象、数据分析等数学学科的专业能力。 【4.3 教研能力】 了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能 力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不 断学习和适应发展的能力。 课程目标 3 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 8.沟通合作 【3.2 学科融合】 了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实 践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化 素养。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不 断学习和适应发展的能力。 【7.3 勤学善思】 掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方 法分析和解决数学教育教学中的问题。 【8.1 团结协作】 具有团体意识，掌握团队协作的基本策略，能够 参与小组学习、专题研讨、团队互动等学习活动，善于分享经验和 想法。 【8.3 学习共同体】 理解学习共同体在中学数学学习中的重要性， 乐于参与学习共同体，具备构建积极向上学习共同体的能力。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第六章 线性空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 20 第七章 线性变换 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 22 第八章 矩阵 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1 10 第九章 欧几里得空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 21 第十章 双线性函数 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1 2 合计 75 学时
（二）具体内容第六章线性空间（20学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习：线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使学生学到线性空间讨论的三种研究途径。2、教学要求：1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及4条基本性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。3）理解向量是一个典型的数域上的线性空间，其中的线性相关性理论可以移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间的基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。9）掌握向量组的极大无关组与它的坐标组的极大无关组的对应关系，会用初等变换法求向量组的极大无关组。【教学重点与难点】1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直和，线性空间同构，极大无关组的求法
（二）具体内容 第六章 线性空间（20 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习： 线性空间的定义与 简单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、 子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使 学生学到线性空间讨论的三种研究途径。 2、教学要求： 1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。 2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及 4 条基本性 质；会判断一个代数系统是否是线性空间。 3）理解向量是一个典型的数域 上的线性空间，其中的线性相关性理论可以 移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间的 基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。 4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理；掌握向量 组生成子空间的定义及等价条件。 6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条 件。 9）掌握向量组的极大无关组与它的坐标组的极大无关组的对应关系,会用初 等变换法求向量组的极大无关组。 【教学重点与难点】 1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关 系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直 和，线性空间同构，极大无关组的求法
2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。【学习内容】1集合与映射2线性空间的定义与简单性质3维数、基与坐标4基变换与坐标变换5线性子空间6子空间的交与和7子空间的直和8线性空间的同构9极大无关组的求法【思政元素融入点】线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象能力和勇于探索的科学精神。而线性空间中向量组的最大线性无关组的概念可以引入国与家的关系，最大无关组（家）是向量组（国）的一部分，向量组的任意一个向量能由最大无关组线性表示，让学生更好的体会家与国的关系，增强学生的爱国主义情感。各行各业的劳动者不忘初心，牢记使命，共同建设我们美丽的家园，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而拼搏奋斗。第七章线性变换（22学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形等内容。2、教学要求：1）掌握线性变换的定义及性质。2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性变换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多项式是可交换的。3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质
2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。 【学习内容】 1 集合与映射 2 线性空间的定义与简单性质 3 维数、基与坐标 4 基变换与坐标变换 5 线性子空间 6 子空间的交与和 7 子空间的直和 8 线性空间的同构 9 极大无关组的求法 【思政元素融入点】 线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽 象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象 能力和勇于探索的科学精神。 而线性空间中向量组的最大线性无关组的概念可 以引入国与家的关系，最大无关组（家）是向量组（国）的一部分，向量组的任 意一个向量能由最大无关组线性表示，让学生更好的体会家与国的关系，增强学 生的爱国主义情感。各行各业的劳动者不忘初心，牢记使命，共同建设我们美丽 的家园，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而拼搏奋斗。 第七章 线性变换（22 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变 换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角 矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形等内容。 2、教学要求： 1）掌握线性变换的定义及性质。 2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性变 换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多项 式是可交换的。 3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在 不同基下的矩阵相似等性质
4）理解线性变换的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，掌握它们与矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的关系；会通过求矩阵的特征值和特征向量来求线性变换的特征值和特征向量：了解（可逆）线性变换（矩阵）的特征值和特征向量与逆变换（矩阵）及线性变换（矩阵）多项式的特征值和特征向量之间的关系；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系；正确理解哈密尔顿一凯莱定理。5）掌握n维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的3组充要条件和一个充分但不必要的条件。6）掌握线性变换的值域、核及秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，知道有限维线性空间的线性变换是单射与是满射的等价性；理解值域与核的和可能是直和也可能不是。7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是0一子空间；理解两个可交换的线性变的任一个的值域与核是另一个的不变子空间；深刻理解线性变换的矩阵可准对角化与空间变分解成不变子空间的直和的等价性；了解将线性空间按线性变换的特征多项式分解成不变子空间的直和的条件。8）正确理解若尔当（Jordan）标准形。【教学重点与难点】1、教学重点：线性变换的概念及运算，线性变换与矩阵的联系，矩阵相似，线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换（矩阵）的对角化，不变子空间。2、教学难点：线性变换的值域与核，线性变换（矩阵）的对角化。【学习内容】1线性变换的定义2线性变换的运算3线性变换的矩阵4线性变换的特征值、特征向量、特征多项式5对角矩阵6线性变换的值域与核7不变子空间8若尔当（Jordan）标准形【思政元素融入点】通过线性变换的对角化的判别与计算、特征值特征向量的定义、几何意义，求解方法及应用，培养学生注意在生活中善于总结提炼，在纷扰复杂的社会现象
4）理解线性变换的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，掌握它 们与矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的关系；会通过求矩阵的特征值和特 征向量来求线性变换的特征值和特征向量；了解（可逆）线性变换（矩阵）的特 征值和特征向量与逆变换（矩阵）及线性变换（矩阵）多项式的特征值和特征向 量之间的关系；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系；正确理解哈密尔顿- 凯莱定理。 5）掌握 n 维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的 3 组充要 条件和一个充分但不必要的条件。 6）掌握线性变换的值域、核及秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换 的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，知道有限维 线性空间的线性变换是单射与是满射的等价性；理解值域与核的和可能是直和也 可能不是。 7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是σ-子空间；理解两个 可交换的线性变的任一个的值域与核是另一个的不变子空间；深刻理解线性变换 的矩阵可准对角化与空间变分解成不变子空间的直和的等价性；了解将线性空间 按线性变换的特征多项式分解成不变子空间的直和的条件。 8）正确理解若尔当（Jordan）标准形。 【教学重点与难点】 1、教学重点：线性变换的概念及运算，线性变换与矩阵的联系，矩阵相似， 线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，哈 密尔顿-凯莱定理，线性变换（矩阵）的对角化，不变子空间。 2、教学难点：线性变换的值域与核，线性变换（矩阵）的对角化。 【学习内容】 1 线性变换的定义 2 线性变换的运算 3 线性变换的矩阵 4 线性变换的特征值、特征向量、特征多项式 5 对角矩阵 6 线性变换的值域与核 7 不变子空间 8 若尔当（Jordan）标准形 【思政元素融入点】 通过线性变换的对角化的判别与计算、特征值特征向量的定义、几何意义， 求解方法及应用，培养学生注意在生活中善于总结提炼，在纷扰复杂的社会现象
中练就透过现象看本质的能力。遇事坚持自己的特质原则，如此才能轻装上阵，提高效率。第八章入一矩阵（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：入-矩阵内容是解决一般线性变换的标准形问题。本章主要学习：入-矩阵、矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、数字矩阵相似的条件、初等因子、数字方阵的若尔当标准形、数字方阵的有理标准形、最小多项式等内容。通过学习使学生学会三个因子的计算，学会计算矩阵的若尔当标准形。2、教学要求：1）理解矩阵的概念，掌握矩阵的子式不为零的含义及用子式确定矩阵的秩；掌握矩阵可逆的条件，知道满秩不一定可逆；掌握矩阵的初等变换与数字矩阵初等变换的异同点，知道初等变换不改变矩阵的秩。2）理解和掌握矩阵的等价标准形的特征，掌握用初等变换法求标准形的技巧。3）理解行列式因子及不变因子的定义，掌握两矩阵等价的充分必要条件，会用行列式因子求矩阵的标准形。4）了解数字矩阵相似的充要条件。5）理解一般矩阵和数字矩阵的初等因子的定义，掌握三种因子的转化方法。6）理解数字方阵的若尔当标准形的定义及其存在性证明，掌握求若尔当标准形的基本方法。7)理解数字方阵的有理标准形定义，掌握它的基本求法。8)理解数字方阵的最小多项式的概念及基本性质，会用试因式法和不变因式法求最小多项式；了解最小多项式的一些应用。【教学重点与难点】1、教学重点：数字矩阵的若尔当标准形，最小多项式及其应用。2、教学难点：用初等变换法化，矩阵为标准形。【学习内容】1元-矩阵2矩阵在初等变换下的标准形
中练就透过现象看本质的能力。遇事坚持自己的特质原则，如此才能轻装上阵， 提高效率。 第八章 λ－矩阵（10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： -矩阵内容是解决一般线性变换的标准形问题。本章主要学习： -矩阵、 矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、 数字矩阵相似的条件、初等因子、数 字方阵的若尔当标准形、数字方阵的有理标准形、最小多项式等内容。通过学习 使学生学会三个因子的计算，学会计算矩阵的若尔当标准形。 2、教学要求： 1）理解矩阵的概念，掌握矩阵的子式不为零的含义及用子式确定矩阵的秩； 掌握矩阵可逆的条件，知道满秩不一定可逆；掌握矩阵的初等变换与数字矩阵初 等变换的异同点，知道初等变换不改变矩阵的秩。 2）理解和掌握矩阵的等价标准形的特征，掌握用初等变换法求标准形的技 巧。 3）理解行列式因子及不变因子的定义，掌握两 矩阵等价的充分必要条件， 会用行列式因子求矩阵的标准形。 4）了解数字矩阵相似的充要条件。 5）理解一般矩阵和数字矩阵的初等因子的定义，掌握三种因子的转化方法。 6）理解数字方阵的若尔当标准形的定义及其存在性证明，掌握求若尔当标 准形的基本方法。 7)理解数字方阵的有理标准形定义，掌握它的基本求法。 8)理解数字方阵的最小多项式的概念及基本性质，会用试因式法和不变因式 法求最小多项式；了解最小多项式的一些应用。 【教学重点与难点】 1、教学重点：数字矩阵的若尔当标准形，最小多项式及其应用。 2、教学难点：用初等变换法化，矩阵为标准形。 【学习内容】 1 -矩阵 2 矩阵在初等变换下的标准形
3不变因子4数字矩阵相似的条件5初等因子6数字方阵的若尔当标准形7数字方阵的有理标准形8最小多项式【思政元素融入点】通过学习三个因子及矩阵的若尔当标准形的计算，培养学生了解从不同途径解决同类问题的思想。所有事物都有内在的统一性。坚持内在的核心的正统的价值观对于理解社会具有重要意义。世界上的任何一件事情，任何一个表面上的轻而易举，其实背后都有一次一次的亲身实践。也正是这一次次的失败和总结，成就了一代又一代我们数学领域杰出的人才。第九章欧几里得空间（21学时）【教学目标与要求】1、教学目标：欧氏空间是高等代数的重要内容之一。是线性空间与线性变换讨论的深入，它的研究手法是类似于解析几何，它是研究线性空间的度量性质。本章主要学习：欧氏空间定义与基本概念、标准正交基、同构、正交变换、子空间、实对称矩阵的标准形、向量到子空间的距离、最小二乘法、酉空间介绍等内容。通过学习使学生学会欧氏空间的判定，学会用正交线性变换化实对称矩阵为对角形。2、教学要求：1）理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及空间基的度量矩阵等概念和基本性质。2）理解正交基（向量组）、标准正交基（组）的概念，掌握施密特正交化过程，并能写出从一般基到标准正交基的过渡矩阵。3）深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。4）理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。5）正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质
3 不变因子 4 数字矩阵相似的条件 5 初等因子 6 数字方阵的若尔当标准形 7 数字方阵的有理标准形 8 最小多项式 【思政元素融入点】 通过学习三个因子及矩阵的若尔当标准形的计算，培养学生了解从不同途径 解决同类问题的思想。所有事物都有内在的统一性。坚持内在的核心的正统的价 值观对于理解社会具有重要意义。世界上的任何一件事情，任何一个表面上的轻 而易举，其实背后都有一次一次的亲身实践。也正是这一次次的失败和总结，成 就了一代又一代我们数学领域杰出的人才。 第九章 欧几里得空间（21 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 欧氏空间是高等代数的重要内容之一。是线性空间与线性变换讨论的深入， 它的研究手法是类似于解析几何，它是研究线性空间的度量性质。本章主要学习： 欧氏空间定义与基本概念、标准正交基、同构、正交变换、子空间、实对称矩阵 的标准形、向量到子空间的距离、最小二乘法、酉空间介绍等内容。通过学习使 学生学会欧氏空间的判定，学会用正交线性变换化实对称矩阵为对角形。 2、教学要求： 1）理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交 及空间基的度量矩阵等概念和基本性质。 2）理解正交基（向量组）、标准正交基（组）的概念，掌握施密特正交化 过程，并能写出从一般基到标准正交基的过渡矩阵。 3）深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同 构与空间维数之间的关系。 4）理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向 量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。 5）正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧 氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质
6）深刻理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交线性替换化实二次型为标准形。7）理解欧氏空间中任一个向量到有限维子空间的向量的距离中以到正交投影向量的距离最短，知道由此可以推出求解线性方程组的最小二乘解。8）理解复内积空间（酉空间）的定义，了解它与欧氏空间的几何异同点；掌握酉矩阵和埃尔米特矩阵的定义，了解它们与正交矩和实对称矩阵的异同点。【教学重点与难点】1、教学重点：欧氏空间的定义，向量的长度，向量与向量、向量与子空间、子空间与子空间之间的几何关系：施密特正交化过程及运算技巧：标准正交基在研究正交变换和对称变换方面的作用：正交矩阵的基本性质：实对称矩阵的相似标准形的建立过程；正交线性替换在化简实二次型上应用。2、教学难点：正交变换，对称变换，实对称矩阵的标准形。【学习内容】1定义与基本概念2标准正交基3同构4正交变换5子空间6实对称矩阵的标准形7向量到子空间的距离，最小二乘法8酉空间介绍【思政元素融入点】欧式空间、酉空间是特殊的线性空间，体现了一般到特殊的辩证关系。具体的、特殊的是抽象化、一般化的源泉，以此训练学生的抽象思维品质，让学生体验到抽象的高等代数的逻辑美、形式美，从而增强学生学好这门课的信心，提高他们的辩证思维能力，培养他们的数学素质。第十章双线性函数与辛空间介绍（2学时）【教学自标与要求】1、教学目标：本章内容是欧式空间与二次型内容的提高，是站在双线性函数的高度来研究欧式空间与二次型。内容有难度，只给学生简单介绍，引导学生知道研究思路就可以了。2、教学要求：
6）深刻理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握 求正交阵的方法。能用正交线性替换化实二次型为标准形。 7）理解欧氏空间中任一个向量到有限维子空间的向量的距离中以到正交投 影向量的距离最短，知道由此可以推出求解线性方程组的最小二乘解。 8）理解复内积空间（酉空间）的定义，了解它与欧氏空间的几何异同点； 掌握酉矩阵和埃尔米特矩阵的定义，了解它们与正交矩和实对称矩阵的异同点。 【教学重点与难点】 1、教学重点：欧氏空间的定义，向量的长度，向量与向量、向量与子空间、 子空间与子空间之间的几何关系；施密特正交化过程及运算技巧；标准正交基在 研究正交变换和对称变换方面的作用；正交矩阵的基本性质；实对称矩阵的相似 标准形的建立过程；正交线性替换在化简实二次型上应用。 2、教学难点：正交变换，对称变换，实对称矩阵的标准形。 【学习内容】 1 定义与基本概念 2 标准正交基 3 同构 4 正交变换 5 子空间 6 实对称矩阵的标准形 7 向量到子空间的距离，最小二乘法 8 酉空间介绍 【思政元素融入点】 欧式空间、酉空间是特殊的线性空间，体现了一般到特殊的辩证关系。具体 的、特殊的是抽象化、一般化的源泉，以此训练学生的抽象思维品质，让学生体 验到抽象的高等代数的逻辑美、形式美，从而增强学生学好这门课的信心，提高 他们的辩证思维能力，培养他们的数学素质。 第十章 双线性函数与辛空间介绍（2 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 本章内容是欧式空间与二次型内容的提高，是站在双线性函数的高度来研究 欧式空间与二次型。内容有难度，只给学生简单介绍，引导学生知道研究思路就 可以了。 2、教学要求：
1）了解线性函数和对偶空间的概念。2）了解空间中两组基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系；理解线性空间与它的二次对偶空间同构的原理。3）了解双线性函数的定义及其矩阵表示法，理解双线性函数非退化性与其度量矩阵的非退化性的等价性；了解对称双线性函数的定义及其标准形；了解反对称双线性函数的定义及其标准形。【教学重点与难点】1、教学重点：对偶空间及对偶基，双线性函数及其矩阵表示，对称双线性函数及其标准形。2、教学难点：反对称双线性函数及其标准形。【学习内容】1线性函数2对偶空间3双线性函数四、教学方法本课程坚持以学生为中心，积极创新教学模式、融入思政元素，形成案例式为主、翻转教学辅助的教学模式，开发学生潜能。具体做法有：（1）每章从案例引入，通过分析案例，引导学生搞清该部分的主线及知识框架。每节课也从案例开始，使学生对数学概念产生的实际背景，数学概念的内涵和外延，定理的条件和结论，如何用定理去计算，证明有关的命题，比较分析类似数学概念的异同，找出内在联系。（2）坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。如在矩阵的初等变换等内容中融入思政元素，树立以“变”为突破，以“不变”为根基，形变质不变的哲学观点，教导学生认识每一个事物的时候一定要通过表象弄清实质，明白形式改变背后隐藏的真谛。（3）坚持智慧教学，广泛使用智慧树平台资源、知到app等信息化手段，实现翻转课堂的教学模式。积极引导学生利用智慧树等网络资源，进行课程信息传递过程，教师能够提前了解学生的学习困难，在课堂上给予有效的辅导。利用
1）了解线性函数和对偶空间的概念。 2）了解空间中两组基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系；理解 线性空间与它的二次对偶空间同构的原理。 3）了解双线性函数的定义及其矩阵表示法，理解双线性函数非退化性与其 度量矩阵的非退化性的等价性；了解对称双线性函数的定义及其标准形；了解反 对称双线性函数的定义及其标准形。 【教学重点与难点】 1、教学重点：对偶空间及对偶基，双线性函数及其矩阵表示，对称双线性 函数及其标准形。 2、教学难点：反对称双线性函数及其标准形。 【学习内容】 1 线性函数 2 对偶空间 3 双线性函数 四、教学方法 本课程坚持以学生为中心，积极创新教学模式、融入思政元素，形成案例式 为主、翻转教学辅助的教学模式，开发学生潜能。具体做法有： （1）每章从案例引入，通过分析案例，引导学生搞清该部分的主线及知识 框架。每节课也从案例开始，使学生对数学概念产生的实际背景，数学概念的内 涵和外延，定理的条件和结论，如何用定理去计算，证明有关的命题，比较分析 类似数学概念的异同，找出内在联系。 （2）坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。如在矩阵的初等变换等 内容中融入思政元素，树立以“变”为突破，以“不变”为根基，形变质不变的哲学 观点，教导学生认识每一个事物的时候一定要通过表象弄清实质，明白形式改变 背后隐藏的真谛。 （3）坚持智慧教学，广泛使用智慧树平台资源、知到 app 等信息化手段， 实现翻转课堂的教学模式。积极引导学生利用智慧树等网络资源，进行课程信息 传递过程，教师能够提前了解学生的学习困难，在课堂上给予有效的辅导。利用